Complex Numbers MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Complex Numbers - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

ধরা যাক z = x + iy একটি জটিল সংখ্যা।

তাহলে, arg(z) =

• arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)
• = arg(z1) - arg(z2)

গণনা:

ধরা যাক z = x + iy

∴ = π/4

⇒ arg(z - z₁) - arg(z - z₂) = π/4

⇒ = π/4

⇒ = 1

⇒ 6(y - 5) =

⇒ 6(y - 5) = (x - 9)(x - 3) + (y - 5)²

⇒ (x - 9)(x - 3) + (y - 5)2 = 6(y - 5)

⇒ x² -12x + 27 + y² - 10y + 25 = 6y - 30

⇒ x2 + y2 - 12x - 16y + 82 = 0

∴ |z - 6 - 8i|² = (x - 6)² + (y - 8)²

= x² - 12x + 36 + y² -16y + 64

= x2 + y2 - 12x - 16y + 100

= (x2 + y2 - 12x - 16y + 82) + 18

= 18

⇒ |z - 6 - 8i| = 3√2

∴ |z - 6 - 8i| এর মান 3√2।

সঠিক উত্তর বিকল্প 4

ধারণা:

|z - z_o| = r, একটি বৃত্তকে প্রতিনিধিত্ব করে যার কেন্দ্র = z_o এবং ব্যাসার্ধ = r

গণনা:

ধরা যাক w = (3z̅ + 4)z

⇒ w = 3zz̅ + 4z

⇒ w = 3|z|² + 4z

⇒ w = 75 + 4z

⇒ w - 75 = 4z

⇒ |w - 75| = 4|z| = 4|z̅| = 20 [∵ |z| = |z̅|]

⇒ |w - 75| = 20, যা একটি বৃত্তকে প্রতিনিধিত্ব করে যার কেন্দ্র (75, 0) এবং ব্যাসার্ধ 20 একক।

∴ (3z̅ + 4)z একটি বৃত্তে অবস্থান করে।

সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 2।

ধারণা:

যদি z = a + ib হয়, তাহলে |z| =

যদি z = a + ib হয়, তাহলে =

|z₁z₂| = |z₁| x |z₂|

গণনা:

প্রদত্ত z1 = 1 - 2i , z2 = 1 + i এবং z3 = 3 + 4i

∴ = =

অনুরূপভাবে = 2 x = 2 x = 2 x = (1 - i)

= (1 - i)

⇒ \(\frac{1}{z_{2}} \) =

= z₃ x \(\frac{1}{z_{2}} \) = (3 + 4i) x

⇒ =

আমাদের খুঁজে বের করতে হবে

= x

= x

= x

= x

=

=

=

=

=

=

মান নির্ণয় করে পাই .

ধারণা:

|z - z_o| = r, একটি বৃত্তকে প্রতিনিধিত্ব করে যার কেন্দ্র = z_o এবং ব্যাসার্ধ = r

গণনা:

ধরা যাক w = (3z̅ + 4)z

⇒ w = 3zz̅ + 4z

⇒ w = 3|z|² + 4z

⇒ w = 75 + 4z

⇒ w - 75 = 4z

⇒ |w - 75| = 4|z| = 4|z̅| = 20 [∵ |z| = |z̅|]

⇒ |w - 75| = 20, যা একটি বৃত্তকে প্রতিনিধিত্ব করে যার কেন্দ্র (75, 0) এবং ব্যাসার্ধ 20 একক।

∴ (3z̅ + 4)z একটি বৃত্তে অবস্থান করে।

সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 2।

ধারণা:

সমাধান:

প্রদত্ত, arg

⇒ arg(z - 1) - arg(z + 1) = [∵ arg=arg(z₁)-arg(z₂₎]

z = x + iy বসিয়ে

⇒ arg(x + iy - 1) - arg(x + iy + 1) =

⇒ - =

⇒ =

⇒ =

⇒ =

⇒ = tan() = √3

⇒ y = x² + y² - 1

⇒ x² + y² - y - 1 = 0

⇒ x2 + y2 - 2⋅y - 1 + - = 0

⇒ x2 + (y - )² - = 0

⇒ x2 + (y - )2 = ()², যা একটি বৃত্তকে নির্দেশ করে

∴ সঞ্চারপথটি একটি বৃত্তকে নির্দেশ করে।

সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 2।

ধারণা:

ধরা যাক z = x + iy একটি জটিল সংখ্যা।

তাহলে, arg(z) =

• arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)
• = arg(z1) - arg(z2)

গণনা:

ধরা যাক z = x + iy

∴ = π/4

⇒ arg(z - z₁) - arg(z - z₂) = π/4

⇒ = π/4

⇒ = 1

⇒ 6(y - 5) =

⇒ 6(y - 5) = (x - 9)(x - 3) + (y - 5)²

⇒ (x - 9)(x - 3) + (y - 5)2 = 6(y - 5)

⇒ x² -12x + 27 + y² - 10y + 25 = 6y - 30

⇒ x2 + y2 - 12x - 16y + 82 = 0

∴ |z - 6 - 8i|² = (x - 6)² + (y - 8)²

= x² - 12x + 36 + y² -16y + 64

= x2 + y2 - 12x - 16y + 100

= (x2 + y2 - 12x - 16y + 82) + 18

= 18

⇒ |z - 6 - 8i| = 3√2

∴ |z - 6 - 8i| এর মান 3√2।

সঠিক উত্তর বিকল্প 4

গণনা:

2 + =

⇒ + + =

⇒ =

⇒ =

⇒ a = 9 এবং b = 10

এখন, x = 2 + 5i

⇒ (x − 2)² = − 25

⇒ x² − 4x + 29 = 0

∴ x³ − 5x² + 33x − 19

= (x − 1)(x² − 4x + 29) + 10

= 10

= b

∴ (x3 - 5x2 + 33x - 19) এর মান b হবে।

সঠিক উত্তর বিকল্প 4.

ধারণা:

a² - b² = (a - b)(a + b)

i² = -1,i⁴ = 1

গণনা:

এর মান নির্ণয় করতে হবে।

             (∵ a² - b² = (a - b)(a + b))

= i²⁰ = (i⁴)⁵ = 1⁵ = 1

ব্যাখ্যা -

প্রদত্ত সমীকরণ ,

⇒

এরপর, আমরা লক্ষ্য করি যে -1000 কে -10³ লেখা যায়।

সুতরাং, আমাদের আছে:

উভয় পক্ষের ঘনমূল নিলে, আমরা পাই:

যেখানে ω এককের ঘনমূল (ω³ = 1) এবং ω ≠ 1। এককের ঘনমূলগুলি হল 1, ω, এবং ω², যেখানে ω এবং ω² জটিল সংখ্যা এবং ω² = ω⁻¹

তাই, z - 100 এর সম্ভাব্য মানগুলি হল:

z - 100 = -10, -10ω, -10ω²

z এর জন্য সমাধান করে, আমরা পাই:

z = 100 - 10

z = 100 - 10ω

z = 100 - 10ω²

অতএব, সমাধানগুলি হল:

z = 90, 100 - 10ω, 100 - 10ω²

⇒ z = 90, 10(10 - ω), 10(10 - ω2)

অতএব, বিকল্প (2) সঠিক।

ধারণা:

cosθ + i sinθ = e^iθ

গণনা:

প্রদত্ত, zk = =

∴ z1 z2 z3 z4 =

=

=

=

= - 1

∴ নির্ণেয় উত্তর - 1

সঠিক উত্তর বিকল্প 1 

ধারণা:

x3 = 1 সমীকরণের বীজগুলি এককের ঘনমূল দ্বারা প্রদত্ত।

1 এককের ঘনমূল , ω এবং ω2, যা দ্বারা প্রদত্ত।

এককের ঘনমূলের ধর্ম:

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0
• ω2 =

গণনা:

প্রদত্ত, z2 + z + 1 = 0

⇒ z = ω, ω² , যেখানে ω এককের ঘনমূল।

ধরা যাক z = ω

∴

=

=

= 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4

= 12

∴ প্রয়োজনীয় মান 12।

সঠিক উত্তর বিকল্প 1 

ধারণা:

x3 = 1 সমীকরণের মূলগুলি এককের ঘনমূল দ্বারা প্রদত্ত।

এককের ঘনমূল 1, ω এবং ω2, যা দ্বারা প্রদত্ত।

এককের ঘনমূলের ধর্ম:

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0

গণনা:

প্রদত্ত,

= [∵ ω + ω2 = - 1]

=

=

=

=

=

= i - i

= 0

∴ প্রয়োজনীয় উত্তর 0।

সঠিক উত্তর বিকল্প 1