Locus MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Locus - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 27, 2025
Latest Locus MCQ Objective Questions
Locus Question 1:
आठ इकाई लंबाई की एक छड़ इस प्रकार गति करती है कि इसके सिरे A और B सदैव क्रमशः रेखाओं x - y + 2 = 0 और y + 2 = 0 पर स्थित रहते हैं। यदि छड़ AB को 2 ∶ 1 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु P का बिंदुपथ 9(x2 + αy2 + βxy + γx + 28y) – 76 = 0 है, तो α – β – γ बराबर है:
Answer (Detailed Solution Below)
Locus Question 1 Detailed Solution
गणना
α = 3k + 2
2β = 3h - a = 3h - 3k - 2
इसलिए, AB = 8
⇒
⇒
⇒ 9[(3k - h + 2)2 + 4(k + 2)2] = 64 x 4
⇒ 9(x2 + 13y2 - 6xy - 4x + 28y) = 76
α - β - γ = 13 + 6 + 4 = 23
अतः विकल्प 2 सही है।
Locus Question 2:
यदि एक चर सरल रेखा, रेखाओं
Answer (Detailed Solution Below)
Locus Question 2 Detailed Solution
दिया गया है:
रेखाएँ:
चर रेखा उनके प्रतिच्छेद बिंदु से गुजरती है।
X-अक्ष को A और Y-अक्ष को B पर प्रतिच्छेद करती है।
बिंदु P, AB को अनुपात -2:3 में विभाजित करता है।
गणना
1)
पहले समीकरण को 2 से गुणा करें:
दूसरे समीकरण को घटाएँ:
प्रतिच्छेद बिंदु:
2) चर रेखा का समीकरण:
3) A और B के निर्देशांक:
A (x-अंतःखंड, y=0):
B (y-अंतःखंड, x=0):
4) P (h, k) के निर्देशांक:
विभाजन सूत्र:
5) m के व्यंजकों को समान करें:
6) P (h, k) का बिंदुपथ:
इसलिए, विकल्प 4 सही है।
Locus Question 3:
माना A = (0, 4) और B = (2 cos θ, 2 sin θ), कुछ 0 के लिए। मान लीजिए P रेखाखंड AB को 2 : 3 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। P का बिन्दुपथ निम्न है
Answer (Detailed Solution Below)
Locus Question 3 Detailed Solution
संकल्पना:
1) बिंदुओं (x1, y1)और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा को m:n के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक हैं
2) cos2 θ + sin2 θ = 1
3) एक वृत्त का सामान्य समीकरण निम्न है
जहां (a, b) केंद्र के निर्देशांक हैं और r त्रिज्या है।
गणना:
दिया गया है A = (0, 4) और B = (2 cos θ, 2 sin θ) कुछ 0 के लिए
P, AB को आंतरिक रूप से 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
माना P के निर्देशांक (h, k) है।
अनुभाग सूत्र द्वारा ( (h, k) =
⇒ (h, k) =
⇒ h =
⇒ 5h = 4 cos θ ....(1)
और 5k - 12 = 4sin θ ....(2)
समी (1) और समी(2) का वर्ग करने और जोड़ने पर
⇒
हम जानते हैं कि cos2 θ + sin2 θ = 1
⇒
⇒ h2 + (k -
समीकरण (x - a)2 + (y - b)2 = r2 के रूप में है।
अतः बिन्दु P का बिन्दुपथ एक वृत्त है।
सही उत्तर विकल्प 1 है।
Locus Question 4:
वास्तविक चर a > 1 के लिए, कार्तीय तल में बिंदुओं Ak = (ka, ak), k = 1, 2, ..... n पर विचार कीजिए। यदि α और β क्रमशः x-निर्देशांकों के अंकगणितीय माध्य और Ak के y निर्देशांकों के ज्यामितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करते हैं, तब बिंदु P(α, β) का स्थान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Locus Question 4 Detailed Solution
अवधारणा:
- K संख्याओं का अंकगणितीय माध्य k द्वारा विभाजित संख्याओं का योग है।
- k संख्याओं का ज्यामितीय माध्य, संख्याओं के गुणनफल का kवां मूल।
- पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग है:
गणना:
दिया गया है, Ak = कार्तीय तल में (ka, ak), k = 1, 2, ..... n
यहाँ, α x-निर्देशांकों के अंकगणितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करता है।
⇒ α =
⇒ α =
⇒ α =
⇒ a =
अब β
⇒ β =
⇒ β =
⇒ β =
a का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
β =
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
β2 =
बिंदु का अभीष्ट बिंदुपथ y2 =
Locus Question 5:
एक बिंदु के बिंदुपथ का समीकरण क्या होगा, जो बिंदु (2, 3) और (4, 5) से समान दूरी पर स्थित है?
Answer (Detailed Solution Below)
Locus Question 5 Detailed Solution
संकल्पना:
दो बिंदुओं (a, b) और (c, d) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी गई है:
दूरी
व्याख्या:
मान लीजिए, कि बिंदु P(h, k) दिए गए बिंदु A(2, 3) और B(4, 5) से समान दूरी पर स्थित है।
⇒ PA = PB
⇒ (h - 2)2 + (k - 3)2 = (h - 4)2 + (k - 5)2
इसलिए, (a - b)2 = a2 + 2ab + b2
⇒ [h2 - (2 × 2 × h) + 22 ] + [k2 - (2 × 3 × k) + 32 ] =
[h2 - (2 × 4 × ) + 42] + [k2 - (2 × 5 × h) + 52]
⇒ (h2 - 4h + 4) + (k2 - 6k + 9) = (h2 - 8h + 16) + (k2 - 10k + 25)
⇒ - 4h + 4 - 6k + 9 = - 8h + 16 - 10k + 25
⇒ - 4h + 8h - 6k + 10k = 16 + 25 - 4 - 9
⇒ 4h + 4k = 28
⇒ h + k = 7
h = x और k = y को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं,
x + y = 7
∴ अभीष्ट बिंदुपथ x + y = 7 होगा।
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रेखा x + y = p को निर्देशांक अक्षों से काटने पर प्राप्त रेखाखंड के मध्यबिंदु के बिंदुपथ का समीकरण क्या है, (जहां p एक वास्तविक संख्या है)?
Answer (Detailed Solution Below)
Locus Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
द्वि-आयामी तल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी
गणना:
दिया गया:
रेखा का समीकरण x + y = p है।
मान लीजिए कि रेखा निर्देशांक अक्षों को A और B पर काटती है और यदि C(h, k) AB का मध्यबिंदु है, तो
अब निर्देशांक अक्षों पर रेखा द्वारा बनाया गया अंत: खंड p है।
बिंदु C(h, k) बिंदु A(p, 0) और B(0, p) से समान दूरी पर है
चूँकि C मध्यबिंदु है, AC = BC
⇒
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
⇒ (h - p)2 + k2 = h2 + (k - p)2
⇒ h2 + p2 - 2hp + k2 = h2 + k2 + p2 - 2pk
⇒ - 2hp = - 2pk
⇒ h = k
अब, मध्य-बिंदु का बिंदुपथ प्राप्त करने के लिए (h, k) को (x, y) से बदलें ,
⇒ x = y
∴ x - y = 0 सही है।
बिंदु A से समदूरस्थ बिन्दुओं का बिंदु पथ किसका निर्माण करता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Locus Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
यदि एक तल में गति करने वाले बिन्दुओं का बिंदु पथ इस प्रकार है कि बिंदु A से इनकी दूरी नियत हो, तो अनुरेखित वक्र एक वृत्त कहलाता है।
- स्थिर बिंदु A वृत्त का केंद्र बन जाएगा।
- स्थिर दूरी वृत्त की त्रिज्या बन जाएगी।
विभिन्न अभियांत्रिकी वृत्त दिए गए हैं:
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शंकु को एक सरल रेखा द्वारा निर्मित किया जाता है, जिसमें रेखा का एक सिरा स्थिर रखा जाता है और अन्य सिरे द्वारा एक बंद वृत्त निर्मित किया जाता है। |
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शांकव: एक तल में गतिमान बिंदु का बिंदु पथ इस प्रकार होता है कि एक स्थिर बिंदु (फोकस) से इसकी दूरी और सरल रेखा (नियता) से इसकी दूरी का अनुपात हमेशा नियत रहता है। |
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दीर्घवृत्त एक बिंदु का बिंदु पथ होता है, जो एक तल में इस प्रकार गति करता है कि एक स्थिर बिंदु (फोकस) से इसकी दूरी और एक स्थिर सरल रेखा (नियता) से इसकी दूरी का अनुपात नियत रहता है और 1 से कम होता है।
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परवलय एक बिंदु का बिंदु पथ होता है, जो एक तल में इस प्रकार गति करता है कि एक स्थिर बिंदु (फोकस) से इसकी दूरी और एक स्थिर सरल रेखा (नियता) से इसकी दूरी हमेशा समान होती है।PF/PM = 1 |
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अतिपरवलय एक बिंदु का बिंदु पथ होता है, जो एक तल में इस प्रकार गति करता है कि एक स्थिर बिंदु (फोकस) से इसकी दूरी और एक स्थिर सरल रेखा (नियता) से इसकी दूरी का अनुपात हमेशा नियत होता है और एक से अधिक होता है। |
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वक्रों का चक्रजीय समूह: जब एक वक्र अन्य दूसरे वक्र पर फिसले लुढ़कता है, तो घूर्णन वक्र के किसी बिंदु का पथ वेल्लज कहलाता है। जब घूर्णन वक्र एक वृत्त होता है और वक्र जिस पर यह घूर्णन करता है, वह एक सरल रेखा या वृत्त होता है, तो हम एक वक्रों का एक चक्रजीय समूह प्राप्त करते है। |
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एक चक्रज एक घूर्णित वृत्त (जनित्र) की परिधि पर एक बिंदु का बिंदु पथ होता है, जो एक स्थिर सरल रेखा या एक निर्दिष्ट रेखा पर बिना फिसले घूर्णन करता है। |
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अधिचक्रज एक घूर्णित वृत्त (जनित्र) की परिधि पर एक बिंदु का बिंदु पथ होता है, जो एक अन्य वृत्त के बाहर की ओर बिना फिसले घूर्णन करता है, जिसे निर्दिष्ट वृत्त भी कहते है। |
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अंतश्चक्रज एक घूर्णित वृत्त (जनित्र) की परिधि पर एक बिंदु (P) का बिंदु पथ होता है, जो एक अन्य वृत्त के अन्दर की ओर बिना फिसले घूर्णन करता है, जिसे निर्दिष्ट वृत्त भी कहते है। |
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एक चक्राभ एक घूर्णित वृत्त की परिधि के अन्दर एक बिंदु (P) का बिंदु पथ होता है, जो एक स्थिर सरल रेखा या स्थिर वृत्त के अनुदिश बिना फिसले घूर्णन करता है |
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Locus Question 8:
रेखा x + y = p को निर्देशांक अक्षों से काटने पर प्राप्त रेखाखंड के मध्यबिंदु के बिंदुपथ का समीकरण क्या है, (जहां p एक वास्तविक संख्या है)?
Answer (Detailed Solution Below)
Locus Question 8 Detailed Solution
संकल्पना:
द्वि-आयामी तल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी
गणना:
दिया गया:
रेखा का समीकरण x + y = p है।
मान लीजिए कि रेखा निर्देशांक अक्षों को A और B पर काटती है और यदि C(h, k) AB का मध्यबिंदु है, तो
अब निर्देशांक अक्षों पर रेखा द्वारा बनाया गया अंत: खंड p है।
बिंदु C(h, k) बिंदु A(p, 0) और B(0, p) से समान दूरी पर है
चूँकि C मध्यबिंदु है, AC = BC
⇒
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
⇒ (h - p)2 + k2 = h2 + (k - p)2
⇒ h2 + p2 - 2hp + k2 = h2 + k2 + p2 - 2pk
⇒ - 2hp = - 2pk
⇒ h = k
अब, मध्य-बिंदु का बिंदुपथ प्राप्त करने के लिए (h, k) को (x, y) से बदलें ,
⇒ x = y
∴ x - y = 0 सही है।
Locus Question 9:
माना A = (0, 4) और B = (2 cos θ, 2 sin θ), कुछ 0 के लिए। मान लीजिए P रेखाखंड AB को 2 : 3 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। P का बिन्दुपथ निम्न है
Answer (Detailed Solution Below)
Locus Question 9 Detailed Solution
संकल्पना:
1) बिंदुओं (x1, y1)और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा को m:n के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक हैं
2) cos2 θ + sin2 θ = 1
3) एक वृत्त का सामान्य समीकरण निम्न है
जहां (a, b) केंद्र के निर्देशांक हैं और r त्रिज्या है।
गणना:
दिया गया है A = (0, 4) और B = (2 cos θ, 2 sin θ) कुछ 0 के लिए
P, AB को आंतरिक रूप से 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
माना P के निर्देशांक (h, k) है।
अनुभाग सूत्र द्वारा ( (h, k) =
⇒ (h, k) =
⇒ h =
⇒ 5h = 4 cos θ ....(1)
और 5k - 12 = 4sin θ ....(2)
समी (1) और समी(2) का वर्ग करने और जोड़ने पर
⇒
हम जानते हैं कि cos2 θ + sin2 θ = 1
⇒
⇒ h2 + (k -
समीकरण (x - a)2 + (y - b)2 = r2 के रूप में है।
अतः बिन्दु P का बिन्दुपथ एक वृत्त है।
सही उत्तर विकल्प 1 है।
Locus Question 10:
वास्तविक चर a > 1 के लिए, कार्तीय तल में बिंदुओं Ak = (ka, ak), k = 1, 2, ..... n पर विचार कीजिए। यदि α और β क्रमशः x-निर्देशांकों के अंकगणितीय माध्य और Ak के y निर्देशांकों के ज्यामितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करते हैं, तब बिंदु P(α, β) का स्थान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Locus Question 10 Detailed Solution
अवधारणा:
- K संख्याओं का अंकगणितीय माध्य k द्वारा विभाजित संख्याओं का योग है।
- k संख्याओं का ज्यामितीय माध्य, संख्याओं के गुणनफल का kवां मूल।
- पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग है:
गणना:
दिया गया है, Ak = कार्तीय तल में (ka, ak), k = 1, 2, ..... n
यहाँ, α x-निर्देशांकों के अंकगणितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करता है।
⇒ α =
⇒ α =
⇒ α =
⇒ a =
अब β
⇒ β =
⇒ β =
⇒ β =
a का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
β =
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
β2 =
बिंदु का अभीष्ट बिंदुपथ y2 =
Locus Question 11:
उस बिंदु का बिंदुपथ क्या है जो बिंदु (m + n, n - m) और बिंदु (m - n, n + m) से समान दूरी पर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Locus Question 11 Detailed Solution
संकल्पना:
बिंदुओं का बिंदुपथ, बिंदुओं का समूह है, जो दी गई शर्तों को पूरा करता है।
(x1, y1) और (x2, y2) के बीच की दूरी का सूत्र = √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
गणना:
मान लीजिए (x, y) उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जो बिंदु (m + n, n - m) और बिंदु (m - n, n + m) से समान दूरी पर हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,
⇒ √[x - (m + n)]2 + [y - (n - m)]2 = √[x - (m - n)]2 + [y - (n + m)]2
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
⇒ [x - (m + n)]2 + [y - (n - m)]2 = [x - (m - n)]2 + [y - (n + m)]2
⇒ x2 - 2x(m + n) + (m + n)2 + y2 - 2y(n - m) + (n - m)2 = x2 - 2x(m - n) + (m - n)2 + y2 - 2y(n + m) + (n + m)2
⇒ - 2x(m + n) - 2y(n - m) = - 2x(m - n) - 2y(n + m)
⇒ - 2nx + 2my = 2nx - 2my
⇒ 4my = 4nx
⇒ my = nx
∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।
Locus Question 12:
बिंदु A से समदूरस्थ बिन्दुओं का बिंदु पथ किसका निर्माण करता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Locus Question 12 Detailed Solution
व्याख्या:
यदि एक तल में गति करने वाले बिन्दुओं का बिंदु पथ इस प्रकार है कि बिंदु A से इनकी दूरी नियत हो, तो अनुरेखित वक्र एक वृत्त कहलाता है।
- स्थिर बिंदु A वृत्त का केंद्र बन जाएगा।
- स्थिर दूरी वृत्त की त्रिज्या बन जाएगी।
विभिन्न अभियांत्रिकी वृत्त दिए गए हैं:
|
शंकु को एक सरल रेखा द्वारा निर्मित किया जाता है, जिसमें रेखा का एक सिरा स्थिर रखा जाता है और अन्य सिरे द्वारा एक बंद वृत्त निर्मित किया जाता है। |
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शांकव: एक तल में गतिमान बिंदु का बिंदु पथ इस प्रकार होता है कि एक स्थिर बिंदु (फोकस) से इसकी दूरी और सरल रेखा (नियता) से इसकी दूरी का अनुपात हमेशा नियत रहता है। |
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दीर्घवृत्त एक बिंदु का बिंदु पथ होता है, जो एक तल में इस प्रकार गति करता है कि एक स्थिर बिंदु (फोकस) से इसकी दूरी और एक स्थिर सरल रेखा (नियता) से इसकी दूरी का अनुपात नियत रहता है और 1 से कम होता है।
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परवलय एक बिंदु का बिंदु पथ होता है, जो एक तल में इस प्रकार गति करता है कि एक स्थिर बिंदु (फोकस) से इसकी दूरी और एक स्थिर सरल रेखा (नियता) से इसकी दूरी हमेशा समान होती है।PF/PM = 1 |
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अतिपरवलय एक बिंदु का बिंदु पथ होता है, जो एक तल में इस प्रकार गति करता है कि एक स्थिर बिंदु (फोकस) से इसकी दूरी और एक स्थिर सरल रेखा (नियता) से इसकी दूरी का अनुपात हमेशा नियत होता है और एक से अधिक होता है। |
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वक्रों का चक्रजीय समूह: जब एक वक्र अन्य दूसरे वक्र पर फिसले लुढ़कता है, तो घूर्णन वक्र के किसी बिंदु का पथ वेल्लज कहलाता है। जब घूर्णन वक्र एक वृत्त होता है और वक्र जिस पर यह घूर्णन करता है, वह एक सरल रेखा या वृत्त होता है, तो हम एक वक्रों का एक चक्रजीय समूह प्राप्त करते है। |
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एक चक्रज एक घूर्णित वृत्त (जनित्र) की परिधि पर एक बिंदु का बिंदु पथ होता है, जो एक स्थिर सरल रेखा या एक निर्दिष्ट रेखा पर बिना फिसले घूर्णन करता है। |
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अधिचक्रज एक घूर्णित वृत्त (जनित्र) की परिधि पर एक बिंदु का बिंदु पथ होता है, जो एक अन्य वृत्त के बाहर की ओर बिना फिसले घूर्णन करता है, जिसे निर्दिष्ट वृत्त भी कहते है। |
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अंतश्चक्रज एक घूर्णित वृत्त (जनित्र) की परिधि पर एक बिंदु (P) का बिंदु पथ होता है, जो एक अन्य वृत्त के अन्दर की ओर बिना फिसले घूर्णन करता है, जिसे निर्दिष्ट वृत्त भी कहते है। |
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एक चक्राभ एक घूर्णित वृत्त की परिधि के अन्दर एक बिंदु (P) का बिंदु पथ होता है, जो एक स्थिर सरल रेखा या स्थिर वृत्त के अनुदिश बिना फिसले घूर्णन करता है |
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Locus Question 13:
एक बिंदु के बिंदुपथ का समीकरण क्या होगा, जो बिंदु (2, 3) और (4, 5) से समान दूरी पर स्थित है?
Answer (Detailed Solution Below)
Locus Question 13 Detailed Solution
संकल्पना:
दो बिंदुओं (a, b) और (c, d) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी गई है:
दूरी
व्याख्या:
मान लीजिए, कि बिंदु P(h, k) दिए गए बिंदु A(2, 3) और B(4, 5) से समान दूरी पर स्थित है।
⇒ PA = PB
⇒ (h - 2)2 + (k - 3)2 = (h - 4)2 + (k - 5)2
इसलिए, (a - b)2 = a2 + 2ab + b2
⇒ [h2 - (2 × 2 × h) + 22 ] + [k2 - (2 × 3 × k) + 32 ] =
[h2 - (2 × 4 × ) + 42] + [k2 - (2 × 5 × h) + 52]
⇒ (h2 - 4h + 4) + (k2 - 6k + 9) = (h2 - 8h + 16) + (k2 - 10k + 25)
⇒ - 4h + 4 - 6k + 9 = - 8h + 16 - 10k + 25
⇒ - 4h + 8h - 6k + 10k = 16 + 25 - 4 - 9
⇒ 4h + 4k = 28
⇒ h + k = 7
h = x और k = y को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं,
x + y = 7
∴ अभीष्ट बिंदुपथ x + y = 7 होगा।
Locus Question 14:
आठ इकाई लंबाई की एक छड़ इस प्रकार गति करती है कि इसके सिरे A और B सदैव क्रमशः रेखाओं x - y + 2 = 0 और y + 2 = 0 पर स्थित रहते हैं। यदि छड़ AB को 2 ∶ 1 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु P का बिंदुपथ 9(x2 + αy2 + βxy + γx + 28y) – 76 = 0 है, तो α – β – γ बराबर है:
Answer (Detailed Solution Below)
Locus Question 14 Detailed Solution
गणना
α = 3k + 2
2β = 3h - a = 3h - 3k - 2
इसलिए, AB = 8
⇒
⇒
⇒ 9[(3k - h + 2)2 + 4(k + 2)2] = 64 x 4
⇒ 9(x2 + 13y2 - 6xy - 4x + 28y) = 76
α - β - γ = 13 + 6 + 4 = 23
अतः विकल्प 2 सही है।
Locus Question 15:
यदि एक चर सरल रेखा, रेखाओं
Answer (Detailed Solution Below)
Locus Question 15 Detailed Solution
दिया गया है:
रेखाएँ:
चर रेखा उनके प्रतिच्छेद बिंदु से गुजरती है।
X-अक्ष को A और Y-अक्ष को B पर प्रतिच्छेद करती है।
बिंदु P, AB को अनुपात -2:3 में विभाजित करता है।
गणना
1)
पहले समीकरण को 2 से गुणा करें:
दूसरे समीकरण को घटाएँ:
प्रतिच्छेद बिंदु:
2) चर रेखा का समीकरण:
3) A और B के निर्देशांक:
A (x-अंतःखंड, y=0):
B (y-अंतःखंड, x=0):
4) P (h, k) के निर्देशांक:
विभाजन सूत्र:
5) m के व्यंजकों को समान करें:
6) P (h, k) का बिंदुपथ:
इसलिए, विकल्प 4 सही है।