Sequences & Series (Convergence) MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Sequences & Series (Convergence) - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

स्पष्टीकरण:

f(x) = 3/((1-x)(1+2x)) = A/(1-x) + B/(1+2x)

A और B को हल करने पर हमें प्राप्त होता है:

A = 1, B = 2

इसलिए, f(x) = 1/(1-x) + 2/(1+2x)

अब, हम गुणोत्तर श्रेणी प्रसार का उपयोग कर सकते हैं:

1/(1-x) = 1 + x + x² + x³ + x⁴ + ⋯

और 1/(1+2x) = 1 - 2x + 4x² - 8x³ + 16x⁴ + ⋯

दूसरी श्रेणी को 2 से गुणा करने पर:

2/(1+2x) = 2 - 4x + 8x² - 16x³ + 32x⁴ + ⋯

अब, हम f(x) का प्रसार प्राप्त करने के लिए दोनों श्रेणियों को जोड़ सकते हैं:

f(x) = (1 + x + x² + x³ + x⁴ + ⋯ ) + (2 - 4x + 8x² - 16x³ + 32x⁴ + ⋯ )

x² का गुणांक ज्ञात करने के लिए:

पहली श्रृंखला से x2 + दूसरी श्रृंखला से x2 = +8 x 2

इसलिए, f(x) के प्रसार में x2 का गुणांक 9 है। 

अतः 9 सही उत्तर है।

दिया है:

प्रयुक्त संकल्पना:

सीमा तुलना परीक्षण​:

यदि an और bn दो धनात्मक श्रेणियाँ इस प्रकार हैं कि   जहां c > 0 और परिमित तब, या तो दोनों श्रेणियाँ एक साथ अभिसरण या अपसरण करती हैं

P - श्रेणी परीक्षण:

 ∑ , p > 1 के लिए अभिसारी है और p ≤  1 के लिए अपसारी है 

दी गई श्रेणी का nवां पद = u_n = 

मान लीजिये कि 

∴ तुलना परीक्षण द्वारा, Σun और Σvn अभिसरण या अपसरण दोनों करती हैं।

लेकिन Σvn अभिसारी है। [p श्रेणी परीक्षण  - p = 2 > 1]

 ∴ Σu_n अभिसारी है।

दिया है:

प्रयुक्त संकल्पना:

सीमा तुलना परीक्षण​:

यदि an और bn दो धनात्मक श्रेणियाँ इस प्रकार हैं कि   जहां c > 0 और परिमित तब, या तो दोनों श्रेणियाँ एक साथ अभिसरण या अपसरण करती हैं

P - श्रेणी परीक्षण:

 ∑ , p > 1 के लिए अभिसारी है और p ≤  1 के लिए अपसारी है 

दी गई श्रेणी का nवां पद = u_n = 

मान लीजिये कि 

∴ तुलना परीक्षण द्वारा, Σun और Σvn अभिसरण या अपसरण दोनों करती हैं।

लेकिन Σvn अभिसारी है। [p श्रेणी परीक्षण  - p = 2 > 1]

 ∴ Σu_n अभिसारी है।

अवधारणा -

रीमान लेबेस्गु लेम्मा -

यदि |f| का लेबेस्ग समाकलन परिमित है,तब |f| का फूरियर रूपांतरण  शून्य हो जाता है क्योंकि उसका कोणांक अनंत हो जाता है।

स्पष्टीकरण -

हमें अनुक्रम   प्राप्त है

ध्यान दें कि f(x) एक कॉम्पैक्ट समुच्चय पर सतत होने के कारण परिबद्ध है और |sin t | ≤ 1 है

इसलिए,    ∀ n  जहाँ M, f(x) पर परिबद्ध है।

इस प्रकार अनुक्रम {bn} परिबद्ध है।

खंडश: समाकलन द्वारा, हमें प्राप्त होता है 

b_n  = 

चूँकि f'(t) सतत है, तब रीमान लेबेस्गु लेम्मा द्वारा, जो कि "यदि |f| का लेब्सेग समाकलन परिमित है तब |f| का फूरियर रूपांतरण शून्य हो जाता है क्योंकि उसका कोणांक अनंत हो जाता है।"

इस प्रकार विशेष रूप से, b_n और n b_n → 0 क्योंकि n → ∞ 

अतः, विकल्प (1) और (2) सही हैं।

विकल्प (iii) के लिए -

 भी निरपेक्ष अभिसारी है क्योंकि bn  परिबद्ध है तथा 0 की ओर अभिसारी है।

अतः, विकल्प (3) सही है।

अतः, विकल्प (4) सही विकल्प है।

अवधारणा -

P - परिक्षण -  , p > 1 के लिए अभिसारी है

स्पष्टीकरण -

दिया गया है कि  \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) धनात्मक वास्तविक संख्या का एक अनुक्रम इस प्रकार है कि  अपसारी है। 

विकल्प (i) के लिए -

माना a_n = 1/n धनात्मक वास्तविक संख्या का एक अनुक्रम इस प्रकार है कि  अपसारी है।

अब, 

= , P - परीक्षण से अपसारी श्रेणी है।

अत:, विकल्प (i) असत्य है।

विकल्प (iii) के लिए -

माना an = 1/n धनात्मक वास्तविक संख्या का एक अनुक्रम इस प्रकार है कि   अपसारी है।

अब 

= , P - परीक्षण से अपसारी श्रेणी है।

अत:, विकल्प (iii) असत्य है।

अत:, विकल्प (iv) भी असत्य है।

विकल्प (iii) के लिए -

मानाan = 1/n^k धनात्मक वास्तविक संख्या का एक अनुक्रम इस प्रकार है कि  अपसारी है।

अब, 

= 

इसलिए, स्पष्ट रूप से n2  हर में सबसे छोटी घात है इसलिए p - परीक्षण से, श्रेणी अभिसारी है

अत:, विकल्प (ii) सत्य है।

अवधारणा:

लाइबनीज परीक्षण: (-1)ⁿbn, जहाँ या तो सभी bn धनात्मक हैं या सभी bn ऋणात्मक हैं, अभिसारी होती है यदि

(i) |bn| एकसमान रूप से घटता है अर्थात, |bn+1| ≤ |bn|

(ii)

व्याख्या:

an = (−1)n+1

= (−1)n+1

= (−1)n+1

इसलिए श्रेणी

इसलिए यहाँ b_n = , bn+1 =

इसलिए bn+1 n

इसके अलावा = = 0

इसलिए लाइबनीज परीक्षण द्वारा an अभिसारी है।

अब श्रेणी = =

इसलिए सीमा तुलना परीक्षण द्वारा, यह P - परीक्षण द्वारा अपसारी श्रेणी है।

इसलिए दी गई श्रेणी सशर्त अभिसारी है।

विकल्प (3) सही है।

आधिकारिक उत्तर कुंजी में - विकल्प (2) और (3) दोनों सही हैं।

स्पष्टीकरण:

सुझाव: n > के लिए उपयुक्त विकल्प लेकर विकल्पों को त्यागने का प्रयास करें।

विकल्प (1). मान लें a _n = 1 तो (-1) ⁿ . ≠ 0

विकल्प (2). मान लीजिए a n = और = तो

   अभिसारी नहीं.

विकल्प (3), विकल्प (4): (नोट: हो सकता है आपको अधिक प्रयास करना पड़े) फिर एक समुद्र,

मान लें a _n = (-1) ⁿ तो

लेकिन यहाँ निश्चित 'b St ऊपर की श्रृंखला cgt बन जाती है। आप b = ½ या = -½ ले सकते हैं लेकिन दोनों नहीं, अन्यथा विशिष्टता खो जाएगी।

⇒ विकल्प (3) गलत है।

विकल्प (4): जैसा कि पहले चर्चा की गई है, b = ½ और = लें तो लगभग श्रृंखला अभिसारी हो जाती है। इसलिए विकल्प (4) सत्य है।

स्पष्टीकरण:

 अभिसारी है, इसलिए  = 0

चूँकि प्रत्येक अभिसारी श्रेढ़ी परिबद्ध है। 

इसलिए {anbn} परिबद्ध है।

इसलिए {an}, {bn} में से कम से कम एक परिबद्ध है। 

विकल्प (1) सही है। 

an = n, bn=  इसलिए  अभिसारी है। 

लेकिन ∑ an अभिसारी नहीं है और {an} परिबद्ध नहीं है।

विकल्प (2), (4) असत्य हैं। 

माना an = bn=  

तब  अभिसारी है लेकिन ∑ an, ∑ bn दोनों अभिसारी नहीं हैं। 

विकल्प (3) गलत है। 

संकल्पना:

स्पष्टीकरण:

   = 

   = 

   = 

   = 

   = 

  = e - 1 - (e - 1 - 1) (as )

   = e - 1 - e + 1 + 1 = 1

विकल्प (4) सत्य है

अवधारणा -

(i) n³ + 1 = (n+1)(n² + 1 - n)

(ii)  और 

(iii) 

स्पष्टीकरण -

हमें प्राप्त है: श्रेणी  

= 

=  

= 

= 

= 

= (e - 1) + e = 2e - 1

अत:, दी गई श्रेणी अभिसारी है और परिमित सीमा 2e - 1 की ओर अभिसरित है।

अत:, विकल्प (iii) सही है।

अवधारणा -

P - परिक्षण - 

, p > 1 के लिए अभिसारी है

स्पष्टीकरण -

विकल्प (ii) के लिए -

यदि a_n = 1/n एक ऋणेतर वास्तविक संख्या का अनुक्रम है।

यदि P - परीक्षण से  अभिसारी है।

लेकिन  अपसारी श्रेणी है 

अत:, विकल्प (ii) असत्य है।

विकल्प (i) के लिए -

यदि  अभिसारी  है, तब किसी भी अभिसारी श्रेणी के लिए  भी अभिसारी होगा।

अत:, विकल्प (i) सत्य है।

विकल्प (iii) के लिए -

यदि  अभिसारी है, तब  या तो अभिसारी या साथ ही अपसारी भी है।

लेकिन दोनों ही स्थिति में, श्रेणी  अभिसारी है।

अत:, विकल्प (iii) सत्य है।

अवधारणा -

रीमान लेबेस्गु लेम्मा -

यदि |f| का लेबेस्ग समाकलन परिमित है,तब |f| का फूरियर रूपांतरण  शून्य हो जाता है क्योंकि उसका कोणांक अनंत हो जाता है।

स्पष्टीकरण -

हमें अनुक्रम   प्राप्त है

ध्यान दें कि f(x) एक कॉम्पैक्ट समुच्चय पर सतत होने के कारण परिबद्ध है और |sin t | ≤ 1 है

इसलिए,    ∀ n  जहाँ M, f(x) पर परिबद्ध है।

इस प्रकार अनुक्रम {bn} परिबद्ध है।

खंडश: समाकलन द्वारा, हमें प्राप्त होता है 

b_n  = 

चूँकि f'(t) सतत है, तब रीमान लेबेस्गु लेम्मा द्वारा, जो कि "यदि |f| का लेब्सेग समाकलन परिमित है तब |f| का फूरियर रूपांतरण शून्य हो जाता है क्योंकि उसका कोणांक अनंत हो जाता है।"

इस प्रकार विशेष रूप से, b_n और n b_n → 0 क्योंकि n → ∞ 

अतः, विकल्प (1) और (2) सही हैं।

विकल्प (iii) के लिए -

 भी निरपेक्ष अभिसारी है क्योंकि bn  परिबद्ध है तथा 0 की ओर अभिसारी है।

अतः, विकल्प (3) सही है।

अतः, विकल्प (4) सही विकल्प है।

अवधारणा -

(i) ∑ |a_n | अभिसारी है, तब ∑ an निरपेक्ष अभिसारी है।

(ii) अनुपात परीक्षण - 

यदि  है, तब श्रेणी ∑ an अभिसारी है।

स्पष्टीकरण -

हमें प्राप्त श्रेणी  है

अब, निरपेक्ष अभिसारी के लिए -

अब अनुपात परीक्षण का प्रयोग करने पर -

अतः, श्रेणी  अभिसारी है और दी गई श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी है।

अत:, विकल्प (i) सत्य है।

अवधारणा -

(i)  यदि n सम है तब (-1)n = 1 

(ii)  यदि n विषम है तब (-1)n = -1

(iii)   है, तब 

स्पष्टीकरण -

हमें प्राप्त अनुक्रम है: 

अब, चूँकि n →  ∞ ,

a_n = 0 + (-1)ⁿ cos³(0) + (-1)ⁿ

अब हम स्थितियाँ बनाते हैं -

स्थिति - I - यदि n सम है तब उपरोक्त समीकरण में (-1)ⁿ = 1 रखने पर, हमें प्राप्त होता है 

an = 0 + 1 x cos3(0) + 1 x  = 1 + 1 = 2

स्थिति - II -  यदि n विषम है तब  उपरोक्त समीकरण में (-1)n = -1 रखने पर, हमें प्राप्त होता है

an = 0 - 1 x cos3(0) - 1 x  = -1 + 1 = 0

अतः, सबसे बड़ा और सबसे छोटा सीमा बिंदु 2 और 0 हैं।

इसलिए, विकल्प (i) और (iv) गलत है।

साथ ही, हम जानते हैं कि अनुक्रम, अनुक्रम के निम्नक और उच्चक के बीच में अभिसारी है।

अतः, विकल्प (iii) सही है और (ii) गलत है।