Complex Numbers MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Complex Numbers - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ముందుగా సంఖ్యను అకరణీయం చేద్దాం

(1) మరియు (2) లను ఉపయోగించి

కాబట్టి సరైన సమాధానం మరియు సరైన ఎంపిక 

సిద్ధాంతం:

i^4k = 1, i^4k+1 = i, i^4k+2 = - 1, i^4k+3 = - i, ఇక్కడ k ∈ ℤ

గణన:

ఇచ్చినవి, Z1 = 4i40 - 5i35 + 6i17 + 2

= 4i4(10) - 5i(4(8)+3) + 6i(4(4)+1) + 2

= 4(1) - 5(- i) + 6(i) + 2

= 4 + 5i + 6i + 2

= 6 + 11i

అలాగే, Z2 = -1 + i

∴ |Z1 + Z2|

= |6 + 11i - 1 + i|

= |5 + 12i|

=

= 13

∴ |Z1 + Z2| విలువ 13.

సరైన సమాధానం 2వ ఎంపిక.

భావన:

• z = x + iy అయితే ​

గణన:

z = a + ib అనుకుందాం

మనకు తెలిసినట్లుగా, z = x + iy అయితే

गणना​:

= 

= 

= 

= 

= 

∴ सही विकल्प (3) है 

భావన:

సంక్లిష్ట సంయోగం: z = a + bi అనుకుందాం, ఇక్కడ a మరియు b వాస్తవ సంఖ్యలు. z యొక్క సంక్లిష్ట సంయోగం గా సూచించబడుతుంది, మరియు అది a - bi.

సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క గుణకార విలోమం: z యొక్క గుణకార విలోమం z^-1 లేదా .

z^-1 =

(x - iy) తో భాగించి గుణించడం

⇒

సాధన:

z = x + iy అనుకుందాం, = x - iy

మరియు z^-1 =

⇒

⇒

∴

∴ సరైన ఎంపిక (1)

సిద్ధాంతం-

• e^iθ = cosθ + isinθ ,ఇక్కడ i ఊహాత్మక సంఖ్య.
• ఏకత్వపు సంకీర్ణ మూలాల మొత్తం సున్నా.

గణన-

⇒

⇒ (i² = -1)

⇒

⇒

సమీకరణం యొక్క n మూలాల మొత్తం 0 అని తెలుసు

⇒

⇒

⇒

∴

= -i (-1)

= i

∴

సిద్ధాంతం:

సాధన:

దత్తం, arg

⇒ arg(z - 1) - arg(z + 1) = [∵ arg=arg(z₁)-arg(z₂)]

z = x + iy అని అనుకుందాం

⇒ arg(x + iy - 1) - arg(x + iy + 1) =

⇒ - =

⇒ =

⇒ =

⇒ =

⇒ = tan() = √3

⇒ y = x² + y² - 1

⇒ x² + y² - y - 1 = 0

ఇది ఒక వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.

కాబట్టి, బిందుపథం ఒక వృత్తం.

సరైన సమాధానం 2వ ఎంపిక.

సిద్ధాంతం:

z = x + iy ఒక సంకీర్ణ సంఖ్య అనుకుందాం.

అప్పుడు, arg(z) =

• arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)
• = arg(z1) - arg(z2)

గణన:

z = x + iy అనుకుందాం

∴ = π/4

⇒ arg(z - z₁) - arg(z - z₂) = π/4

⇒ = π/4

⇒ = 1

⇒ 6(y - 5) =

⇒ 6(y - 5) = (x - 9)(x - 3) + (y - 5)²

⇒ (x - 9)(x - 3) + (y - 5)2 = 6(y - 5)

⇒ x² -12x + 27 + y² - 10y + 25 = 6y - 30

⇒ x2 + y2 - 12x - 16y + 82 = 0

∴ |z - 6 - 8i|² = (x - 6)² + (y - 8)²

= x² - 12x + 36 + y² -16y + 64

= x2 + y2 - 12x - 16y + 100

= (x2 + y2 - 12x - 16y + 82) + 18

= 18

⇒ |z - 6 - 8i| = 3√2

∴ |z - 6 - 8i| విలువ 3√2.

సరైన సమాధానం 4వ ఎంపిక.

భావన:

• z = x + iy అయితే ​

గణన:

z = a + ib అనుకుందాం

మనకు తెలిసినట్లుగా, z = x + iy అయితే

సిద్ధాంతం:

zz̅ = |z|²

గణన:

ఇచ్చినది,

⇒ |z₁ - 2z₂| = |2 - z₁z̅₂|

⇒ |z₁ - 2z₂|² = |2 - z₁z̅₂|²

⇒ (z₁ - 2z₂)(z̅₁ - 2z̅₂) = (2 - z₁z̅₂)(2 - z̅₁z₂)

⇒ z₁z̅₁ - 2z₁z̅₂ - 2z₂z̅₁ + 4z₂z̅₂ = 4 - 2z̅₁z₂ - 2z₁z̅₂ + z₁z̅₁z₂z̅₂

⇒ |z₁|² + 4|z₂|² - 4 - |z₁|²|z₂|² = 0

⇒ (|z₁|² - 4)(1 - |z₂|²) = 0

⇒ |z₁|² = 4 [∵ |z₂| ≠ 1]

⇒ |z₁| = 2

అందువల్ల, |z₁| విలువ 2.

సరైన సమాధానం 4వ ఎంపిక.

సమాధానం : 2

పరిష్కారం:

Z₁ = 2 + i

Z₂ = 3 - 4i

=

=

=

a + bi =

∴ a = , b =

ఇప్పుడు -7a + b

=

=

=