k এর মান কত হলে kx + y + z = 1, x + ky + z = k এবং x + y + kz = k² এর সমীকরণের সিস্টেমের কোনো সমাধান নেই?

ধারণা

ধরি, সমীকরণের বিন্যাস হল,

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

\(\; \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right]\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right] = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_1}}\\ {{d_2}}\\ {{d_3}} \end{array}} \right]\)

⇒ AX = B

⇒ X = A^-1 B = \(\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}\;B\)

⇒ যদি det (A) ≠ 0 হয়, সিস্টেমটি অনন্য সমাধানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

⇒ যদি det (A) = 0 এবং (adj A)। B = 0, সিস্টেম সামঞ্জস্যপূর্ণ, অসীমভাবে অনেকগুলি সমাধান সহ ।

⇒ যদি det (A) = 0 এবং (adj A)। B ≠ 0, সিস্টেম অসামঞ্জস্যপূর্ণ (কোন সমাধান নেই)

গণনা:

প্রদত্ত:

kx + y + z = 1, x + ky + z = k এবং x + y + kz = k²

\( \Rightarrow {\rm{A}} = {\rm{}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right],{\rm{B}} = {\rm{}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right]{\rm{and\;C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {\rm{k}}\\ {{{\rm{k}}^2}} \end{array}} \right]\)

⇒ প্রদত্ত সমীকরণের কোনো সমাধান না থাকার জন্য, |A| = 0

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right| = 0\)

⇒ k(k² – 1) - 1(k – 1) + 1(1 – k) = 0

⇒ k³ – k – k + 1 + 1 – k = 0

⇒ k³ -3k +2 = 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) = 0

⇒ k = 1, -2

যদি আমরা উপরের প্রদত্ত সমীকরণগুলিতে k = 1 রাখি, তবে সমস্ত সমীকরণ একই হয়ে যাবে।

সুতরাং, k = - 2 হলে প্রদত্ত সমীকরণের কোনো সমাধান নেই।