Question
Download Solution PDFकिन्हीं भी दो दूरीक समष्टियों (X, dX), (Y, dY) के लिए प्रतिचित्र f ∶ X → Y को संवृत प्रतिचित्र कहते हैं यदि जब भी F के X में संवृत होने पर, f(F) भी Y में संवृत हो। दूरीक समष्टि के उपसमुच्चय B के लिए, B को प्रेरित दूरीक देते हैं। X x Y पर दूरीक को d((x, y), (x', y')) = max{dX(x, x'), dY(y, y')} से दर्शाते हैं। निम्न में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
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विकल्प (1) और (4) के लिए:
मान लीजिये A = (0, 1) ⊆ ℝ
i : (0, 1) → ℝ संवृत नहीं है क्योंकि (0, 1) स्वयं में संवृत है लेकिन ℝ में नहीं। i संवृत गोलों को संवृत गोलों में ले जाता है, फिर भी यह संवृत फलन नहीं है।
इसलिए विकल्प (1) और (4) असत्य हैं।
विकल्प (2) के लिए:
मान लीजिये X = Y = ℝ
और A = {(x, y) ∈ ℝ2 | xy = 1}.
A,
हालांकि P1[A] = ℝ - {0} जो ℝ में संवृत नहीं है।
इसलिए विकल्प (2) असत्य है।
विकल्प (3) के लिए:
मान लीजिये A ⊆ f[X] संवृत है।
तब A = f [f-1(A)].
चूँकि f संतत है, f -1[A] X में संवृत है।
इसलिए, g[A] = g [f [f-1(A)]] संवृत है, क्योंकि g o f = (g o f) [f-1[A]] मान्यतानुसार संवृत है।
इसलिए विकल्प (3) सत्य है।
Last updated on Jul 8, 2025
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