किन्हीं भी दो दूरीक समष्टियों (X, dX), (Y, dY) के लिए प्रतिचित्र f ∶ X → Y को संवृत प्रतिचित्र कहते हैं यदि जब भी F के X में संवृत होने पर, f(F) भी Y में संवृत हो। दूरीक समष्टि के उपसमुच्चय B के लिए, B को प्रेरित दूरीक देते हैं। X x Y पर दूरीक को d((x, y), (x', y')) = max{dX(x, x'), dY(y, y')} से दर्शाते हैं। निम्न में से कौन-सा सत्य है?

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CSIR-UGC (NET) Mathematical Science: Held on (26 Nov 2020)
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  1. किसी भी उपसमुच्चय A ⊆ X के लिए आविष्टि प्रतिचित्र i ∶ A → X संवृत है।
  2. p1(x, y) = x द्वारा दिया गया प्रक्षेपी प्रतिचित्र p1 X x Y → X संवृत है।
  3. मानें कि f X → Y, g Y → Z संतत प्रतिचित्र हैं। यदि g ∘ f X → Z एक संवृत प्रतिचित्र हो तब g | f(X) f(X) → Z संवृत है। यहां g |f(X) से आशय f(X) तक प्रतिबंधित प्रतिचित्र g है।
  4. यदि f X → Y संवृत बॉल को संवृत समुच्चय में लेता हो तो f संवृत है।

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : मानें कि f X → Y, g Y → Z संतत प्रतिचित्र हैं। यदि g ∘ f X → Z एक संवृत प्रतिचित्र हो तब g | f(X) f(X) → Z संवृत है। यहां g |f(X) से आशय f(X) तक प्रतिबंधित प्रतिचित्र g है।
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Detailed Solution

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व्याख्या:

विकल्प (1) और (4) के लिए:

मान लीजिये A = (0, 1) ⊆

i : (0, 1) → संवृत नहीं है क्योंकि (0, 1) स्वयं में संवृत है लेकिन में नहीं। i संवृत गोलों को संवृत गोलों में ले जाता है, फिर भी यह संवृत फलन नहीं है।

इसलिए विकल्प (1) और (4) असत्य हैं।

विकल्प (2) के लिए:

मान लीजिये X = Y =

और A = {(x, y) ∈ 2 | xy = 1}.

A, का आलेख है, इसलिए यह संवृत है।

हालांकि P1[A] = - {0} जो में संवृत नहीं है।

इसलिए विकल्प (2) असत्य है।

विकल्प (3) के लिए:

मान लीजिये A ⊆ f[X] संवृत है।

तब A = f [f-1(A)].

चूँकि f संतत है, f -1[A] X में संवृत है।

इसलिए, g[A] = g [f [f-1(A)]] संवृत है, क्योंकि g o f = (g o f) [f-1[A]] मान्यतानुसार संवृत है।

इसलिए विकल्प (3) सत्य है।

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Last updated on Jul 8, 2025

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