एक ठोस धात्विक लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 1792π सेमी² है और इसके आधार की त्रिज्या 32 सेमी है। इसे पिघलाकर 42 समान त्रिज्या वाली ठोस गोलाकार गेंदों में ढाला जाता है। एक गेंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल (सेमी² में) क्या है?

दिया गया है:

एक ठोस धात्विक लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = 1792π सेमी²

बेलन की आधार त्रिज्या (r_c) = 32 सेमी

बेलन को पिघलाकर 42 समान त्रिज्या वाली ठोस गोलाकार गेंदों में ढाला जाता है।

प्रयुक्त सूत्र:

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr_ch_c (जहाँ r_c आधार त्रिज्या और h_c बेलन की ऊँचाई है)

बेलन का आयतन = πr_c²h_c

गोले का आयतन = (4/3)πr_s³ (जहाँ r_s गोले की त्रिज्या है)

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr_s²

परिकलन:

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का उपयोग करके बेलन की ऊँचाई (hc) ज्ञात करें: 

CSA = 2πrchc

1792π = 2π × 32 × hc

1792 = 2 × 32 × hc

1792 = 64 × hc

hc = 1792 / 64

h_c = 28 सेमी

बेलन का आयतन = πr_c²h_c

= π × (32)2 × 28

= π × 1024 × 28

= 28672π सेमी³

42 गेंदों का कुल आयतन = 42 × एक गोलाकार गेंद का आयतन

28672π = 42 × (4/3)πr_s³

28672 = 42 × (4/3)r_s³

28672 = (168/3)r_s³

28672 = 56r_s³

r_s³ = 28672 / 56

r_s³ = 512

r_s = ∛512

r_s = 8 सेमी

एक गेंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr_s²

= 4π × (8)²

= 4π × 64

= 256π सेमी²

∴ सही उत्तर विकल्प 1 है।