Operations on Matrix MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Operations on Matrix - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Mar 20, 2025
Latest Operations on Matrix MCQ Objective Questions
Operations on Matrix Question 1:
माना n × n कोटि के आव्यूह A, B इस प्रकार हैं कि BA + B2 = I - BA2, जहाँ I कोटि n × n का तत्समक आव्यूह है। निम्नलिखित में से कौन सा सदैव सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrix Question 1 Detailed Solution
गणना:
(i) एक आव्यूह A को व्युत्क्रमणीय कहा जाता है, यदि |A| ≠ 0, अर्थात आव्यूह B इस प्रकार विद्यमान है कि AB = I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है।
स्पष्टीकरण:
BA + B2 = I - BA2
⇒ BA + B2 + BA2 = I
⇒ B(A + B + A2) = I
इसलिए, हमें एक आव्यूह इस प्रकार प्राप्त होता है कि B(B(A + B + A2) = I
इसलिए, B व्युत्क्रमणीय है।
अतः विकल्प (2) सही है।
प्रतिउदाहरण:
A = 0 के लिए , B = I
BA + B2 = I - BA2 संतुष्ट करता है।
लेकिन A और AB दोनों अव्युत्क्रमणीय हैं।
अतः विकल्प (1) और (4) सही नहीं है।
A = - I के लिए, B = I
BA + B2 = I - BA2 संतुष्ट करता है।
लेकिन A + B = 0, इसलिए A + B अव्युत्क्रमणीय है।
अतः विकल्प (3) सही नहीं है।
Operations on Matrix Question 2:
माना आव्यूह A =
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrix Question 2 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 2 है।
दिया गया है: A =
गणना:
⇒ A + B =
α और β के संगत मान की तुलना करने पर,
⇒ 3(2 - β) = 6 - 2β
⇒ 6 - 3β = 6 - 2β
⇒ β = 0
⇒ -α - 3 = -(3 + 2α)
⇒ -α - 3 = -3 - 2α
⇒ α = 0
⇒ α = β = 0
अतः, α और β के मान शून्य हैं।
Operations on Matrix Question 3:
यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrix Question 3 Detailed Solution
संकल्पना:
aij मैट्रिक्स के घटकों के स्थान को निरुपित करता है।
गणना:
दिय गया है:
Operations on Matrix Question 4:
आव्यूह A की कोटि 2 × 3 है और आव्यूह B की कोटि 3 × 5 है। फिर A को B से गुणा करके प्राप्त आव्यूह की कोटि है
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrix Question 4 Detailed Solution
दिया गया:
आव्यूह A की कोटि 2 × 3 है और आव्यूह B की कोटि 3 × 5 है।
अवधारणा:
कोटि p × q के आव्यूह A और कोटि q × r के आव्यूह B को गुणा करके प्राप्त आव्यूह की कोटि p × r है।
समाधान:
प्रश्न के अनुसार,
आव्यूह A की कोटि 2 × 3 है और आव्यूह B की कोटि 3 × 5 है।
फिर A को B से गुणा करके प्राप्त आव्यूह की कोटि 2 × 5 है
अतः विकल्प 2 सही है।
Operations on Matrix Question 5:
यदि A, B और C सदिश हैं और A = 1.ux + 2.uy + 3.uz, B = 1.ux + 1.uy + 1.uz और C = 3.ux + 2.uy + 1.uz है, तो (A x B).C होगा:
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrix Question 5 Detailed Solution
संप्रत्यय:
क्रॉस गुणनफल:
दो सदिशों
जहाँ,
यदि
A̅ x B̅ = î(a2.b3 - a3.b2) - ĵ(a1.b3 - a3.b1) + k̂(a1.b2 - a2.b1)
गणना:
दिया गया है:
A = 1.ux + 2.uy + 3.uz,
B = 1.ux + 1.uy + 1.uz और
C = 3.ux + 2.uy + 1.uz,
हमें ज्ञात करना है,
(A x B).C
इसलिए पहले A और B के बीच क्रॉस गुणनफल की गणना करने की आवश्यकता है और फिर परिणामी को C के साथ डॉट गुणनफल करने की आवश्यकता है।
A̅ x B̅ = -ux + 2uy - uz
अब C के साथ डॉट गुणनफल की गणना करना
(A̅ x B̅).C̅ = (- ux + 2uy - uz).(3ux + 2uy + uz)
(A̅ x B̅).C̅ = (-3 + 4 - 1) = 0
इसलिए हल विकल्प (3) है।
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समान आयाम M, N, और अदिश c के आव्यूहों के लिए, इनमें से कौन-सा गुण हमेशा धारण नहीं करता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrix Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFआव्यूह का गुणन क्रमविनिमेय नहीं है क्योंकि यदि MN का गुणनफल मौजूद है, तो यह आवश्यक नहीं है कि NM का गुणनफल भी मौजूद हो।
उदाहरण:
आइए हम दो 2 × 2 आव्यूह (समान आयाम) पर विचार करें जैसा कि दिखाया गया है:
M × N देते है:
इसी प्रकार, N × M देते है:
हम देखते हैं कि (M × N)2×2 ≠ (N × M)2×2, भले ही दो आव्यूह के आयाम बराबर हों।
लेकिन अगर हम दो 2 × 2 तत्समक आव्यूह (समान आयाम) लेते हैं, तो गुणनफल क्रमविनिमेय होगा, यानी यदि:
(M × N)2×2 = (N × M)2×2
इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि (M × N)2×2 हमेशा (N × M)2×2 के बराबर नहीं होता है
नोट: N3×4 × M 2×3 भी मौजूद नहीं है, क्योंकि वे गुणन के अनुकूल नहीं हैं।
यदि A, B और C सदिश हैं और A = 1.ux + 2.uy + 3.uz, B = 1.ux + 1.uy + 1.uz और C = 3.ux + 2.uy + 1.uz है, तो (A x B).C होगा:
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrix Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
क्रॉस गुणनफल:
दो सदिशों
जहाँ,
यदि
A̅ x B̅ = î(a2.b3 - a3.b2) - ĵ(a1.b3 - a3.b1) + k̂(a1.b2 - a2.b1)
गणना:
दिया गया है:
A = 1.ux + 2.uy + 3.uz,
B = 1.ux + 1.uy + 1.uz और
C = 3.ux + 2.uy + 1.uz,
हमें ज्ञात करना है,
(A x B).C
इसलिए पहले A और B के बीच क्रॉस गुणनफल की गणना करने की आवश्यकता है और फिर परिणामी को C के साथ डॉट गुणनफल करने की आवश्यकता है।
A̅ x B̅ = -ux + 2uy - uz
अब C के साथ डॉट गुणनफल की गणना करना
(A̅ x B̅).C̅ = (- ux + 2uy - uz).(3ux + 2uy + uz)
(A̅ x B̅).C̅ = (-3 + 4 - 1) = 0
इसलिए हल विकल्प (3) है।
Operations on Matrix Question 8:
आव्यूह A की कोटि 2 × 3 है और आव्यूह B की कोटि 3 × 5 है। फिर A को B से गुणा करके प्राप्त आव्यूह की कोटि है
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrix Question 8 Detailed Solution
दिया गया:
आव्यूह A की कोटि 2 × 3 है और आव्यूह B की कोटि 3 × 5 है।
अवधारणा:
कोटि p × q के आव्यूह A और कोटि q × r के आव्यूह B को गुणा करके प्राप्त आव्यूह की कोटि p × r है।
समाधान:
प्रश्न के अनुसार,
आव्यूह A की कोटि 2 × 3 है और आव्यूह B की कोटि 3 × 5 है।
फिर A को B से गुणा करके प्राप्त आव्यूह की कोटि 2 × 5 है
अतः विकल्प 2 सही है।
Operations on Matrix Question 9:
समान आयाम M, N, और अदिश c के आव्यूहों के लिए, इनमें से कौन-सा गुण हमेशा धारण नहीं करता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrix Question 9 Detailed Solution
आव्यूह का गुणन क्रमविनिमेय नहीं है क्योंकि यदि MN का गुणनफल मौजूद है, तो यह आवश्यक नहीं है कि NM का गुणनफल भी मौजूद हो।
उदाहरण:
आइए हम दो 2 × 2 आव्यूह (समान आयाम) पर विचार करें जैसा कि दिखाया गया है:
M × N देते है:
इसी प्रकार, N × M देते है:
हम देखते हैं कि (M × N)2×2 ≠ (N × M)2×2, भले ही दो आव्यूह के आयाम बराबर हों।
लेकिन अगर हम दो 2 × 2 तत्समक आव्यूह (समान आयाम) लेते हैं, तो गुणनफल क्रमविनिमेय होगा, यानी यदि:
(M × N)2×2 = (N × M)2×2
इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि (M × N)2×2 हमेशा (N × M)2×2 के बराबर नहीं होता है
नोट: N3×4 × M 2×3 भी मौजूद नहीं है, क्योंकि वे गुणन के अनुकूल नहीं हैं।
Operations on Matrix Question 10:
यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrix Question 10 Detailed Solution
संकल्पना:
aij मैट्रिक्स के घटकों के स्थान को निरुपित करता है।
गणना:
दिय गया है:
Operations on Matrix Question 11:
माना आव्यूह A =
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrix Question 11 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 2 है।
दिया गया है: A =
गणना:
⇒ A + B =
α और β के संगत मान की तुलना करने पर,
⇒ 3(2 - β) = 6 - 2β
⇒ 6 - 3β = 6 - 2β
⇒ β = 0
⇒ -α - 3 = -(3 + 2α)
⇒ -α - 3 = -3 - 2α
⇒ α = 0
⇒ α = β = 0
अतः, α और β के मान शून्य हैं।
Operations on Matrix Question 12:
यदि A, B और C सदिश हैं और A = 1.ux + 2.uy + 3.uz, B = 1.ux + 1.uy + 1.uz और C = 3.ux + 2.uy + 1.uz है, तो (A x B).C होगा:
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrix Question 12 Detailed Solution
संप्रत्यय:
क्रॉस गुणनफल:
दो सदिशों
जहाँ,
यदि
A̅ x B̅ = î(a2.b3 - a3.b2) - ĵ(a1.b3 - a3.b1) + k̂(a1.b2 - a2.b1)
गणना:
दिया गया है:
A = 1.ux + 2.uy + 3.uz,
B = 1.ux + 1.uy + 1.uz और
C = 3.ux + 2.uy + 1.uz,
हमें ज्ञात करना है,
(A x B).C
इसलिए पहले A और B के बीच क्रॉस गुणनफल की गणना करने की आवश्यकता है और फिर परिणामी को C के साथ डॉट गुणनफल करने की आवश्यकता है।
A̅ x B̅ = -ux + 2uy - uz
अब C के साथ डॉट गुणनफल की गणना करना
(A̅ x B̅).C̅ = (- ux + 2uy - uz).(3ux + 2uy + uz)
(A̅ x B̅).C̅ = (-3 + 4 - 1) = 0
इसलिए हल विकल्प (3) है।
Operations on Matrix Question 13:
माना n × n कोटि के आव्यूह A, B इस प्रकार हैं कि BA + B2 = I - BA2, जहाँ I कोटि n × n का तत्समक आव्यूह है। निम्नलिखित में से कौन सा सदैव सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Operations on Matrix Question 13 Detailed Solution
गणना:
(i) एक आव्यूह A को व्युत्क्रमणीय कहा जाता है, यदि |A| ≠ 0, अर्थात आव्यूह B इस प्रकार विद्यमान है कि AB = I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है।
स्पष्टीकरण:
BA + B2 = I - BA2
⇒ BA + B2 + BA2 = I
⇒ B(A + B + A2) = I
इसलिए, हमें एक आव्यूह इस प्रकार प्राप्त होता है कि B(B(A + B + A2) = I
इसलिए, B व्युत्क्रमणीय है।
अतः विकल्प (2) सही है।
प्रतिउदाहरण:
A = 0 के लिए , B = I
BA + B2 = I - BA2 संतुष्ट करता है।
लेकिन A और AB दोनों अव्युत्क्रमणीय हैं।
अतः विकल्प (1) और (4) सही नहीं है।
A = - I के लिए, B = I
BA + B2 = I - BA2 संतुष्ट करता है।
लेकिन A + B = 0, इसलिए A + B अव्युत्क्रमणीय है।
अतः विकल्प (3) सही नहीं है।