Operations on Matrix MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Operations on Matrix - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

(i) एक आव्यूह A को व्युत्क्रमणीय कहा जाता है, यदि  |A| ≠ 0, अर्थात आव्यूह B इस प्रकार विद्यमान है कि AB = I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है।

स्पष्टीकरण:

BA + B2 = I - BA2 

⇒ BA + B2 + BA2 = I

⇒ B(A + B + A2) = I

इसलिए, हमें एक आव्यूह इस प्रकार प्राप्त होता है कि B(B(A + B + A2) = I

इसलिए, B व्युत्क्रमणीय है। 

अतः विकल्प (2) सही है। 

प्रतिउदाहरण:

A = 0 के लिए , B = I 

BA + B2 = I - BA2 संतुष्ट करता है। 

लेकिन A और AB दोनों अव्युत्क्रमणीय हैं। 

अतः विकल्प (1) और (4) सही नहीं है। 

A = - I के लिए, B = I 

BA + B2 = I - BA2 संतुष्ट करता है। 

लेकिन A + B = 0, इसलिए A + B अव्युत्क्रमणीय है। 

अतः विकल्प (3) सही नहीं है। 

सही उत्तर विकल्प 2 है।

दिया गया है: A =  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 2&2 \end{array}} \right]\), B = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ \alpha}\\ \beta&1 \end{array}} \right]\)

गणना:

⇒ A + B = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 2&2 \end{array}} \right]\) + \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ \alpha}\\ \beta&1 \end{array}} \right]\)

α और β के संगत मान की तुलना करने पर,

⇒ 3(2 - β) = 6 - 2β

⇒ 6 - 3β = 6 - 2β

⇒  β = 0

⇒ -α - 3 = -(3 + 2α)

⇒ -α - 3 = -3 -  2α

⇒ α = 0

⇒ α = β = 0 

अतः, α और β के मान शून्य हैं।

संकल्पना:

\(A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{2 × 2}}\) इसका अर्थ है कि दिए गए मैट्रिक्स में 2 पंक्तियाँ और 2 कॉलम हैं क्योंकि [A]_{m × n} मैट्रिक्स के आकार को दर्शाता है।

a_ij मैट्रिक्स के घटकों के स्थान को निरुपित करता है।

\(A=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a_{11}}&a_{12}\\ {a_{21}}&a_{22} \end{array}} \right]\)

गणना:

दिय गया है:

\({a_{ij}} = \frac{1}{2}\left( {3i - 2j} \right)\)

\( \Rightarrow {a_{11}} = 1/2,\,{a_{12}} = - 1/2\,and\,{a_{21}} = 2,\,{a_{22}} = 1\)

\(\therefore A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{2 × 2}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right]\)

\(\therefore A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1/2}&{ - 1/2}\\ 2&1 \end{array}} \right].\)

दिया गया:

आव्यूह A की कोटि 2 × 3 है और आव्यूह B की कोटि 3 × 5 है।

अवधारणा:

कोटि p × q के आव्यूह A और कोटि q × r के आव्यूह B को गुणा करके प्राप्त आव्यूह की कोटि p × r है।

समाधान:

प्रश्न के अनुसार,

आव्यूह A की कोटि 2 × 3 है और आव्यूह B की कोटि 3 × 5 है।

फिर A को B से गुणा करके प्राप्त आव्यूह की कोटि 2 × 5 है

अतः विकल्प 2 सही है।

संप्रत्यय:

क्रॉस गुणनफल:

दो सदिशों \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) के लिए, जिनके बीच का कोण θ है, क्रॉस गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(\rm \vec A× \vec B=\vec n|\vec A||\vec B|\sin \theta\),

जहाँ,

\(\rm \vec n\) सदिशों \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) वाले तल के लंबवत इकाई सदिश है।

यदि \(\rm \vec A = a_1̂ i +a_2̂ j+ a_3̂ k\) और \(\rm \vec B = b_1̂ i +b_2̂ j+b_3 ̂ k\), तो उनका क्रॉस गुणनफल होगा:

\(\rm \vec A×\vec B=\begin{vmatrix} \rm ̂ i & \rm ̂ j & \rm ̂ k \\ \rm a_1 & \rm a_2 & \rm a_3 \\ \rm b_1 & \rm b_2 & \rm b_3\end{vmatrix}\).

A̅ x B̅ = î(a_2.b₃ - a₃.b₂) - ĵ(a₁.b₃ - a₃.b₁) + k̂(a₁.b₂ - a₂.b₁)

गणना:

दिया गया है:

A = 1.ux + 2.uy + 3.uz,

B = 1.ux + 1.uy + 1.uz और

C = 3.ux + 2.uy + 1.uz,

हमें ज्ञात करना है,

(A x B).C

इसलिए पहले A और B के बीच क्रॉस गुणनफल की गणना करने की आवश्यकता है और फिर परिणामी को C के साथ डॉट गुणनफल करने की आवश्यकता है।

\(̅ A × ̅ B = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_x}}&{{u_y}}&{{u_z}}\\ 1&2&3\\ 1&1&1 \end{array}} \right|\)

A̅ x B̅ = -ux + 2uy - uz

अब C के साथ डॉट गुणनफल की गणना करना

(A̅ x B̅).C̅ = (- ux + 2uy - uz).(3ux + 2uy + uz)

(A̅ x B̅).C̅ = (-3 + 4 - 1) = 0

इसलिए हल विकल्प (3) है।

आव्यूह का गुणन क्रमविनिमेय नहीं है क्योंकि यदि MN का गुणनफल मौजूद है, तो यह आवश्यक नहीं है कि NM का गुणनफल भी मौजूद हो।

उदाहरण:

आइए हम दो 2 × 2 आव्यूह (समान आयाम) पर विचार करें जैसा कि दिखाया गया है:

\(M=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right]\)

\(N=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]\)

M × N देते है:

\(M× N =\left[ \begin{matrix} (1)(2)+(2)(1) & (1)( 1)+(2)( 3) \\ (3)( 2)+(4)( 1) & (3)( 1)+(4)(3) \\ \end{matrix} \right]\)

\(M× N =\left[ \begin{matrix} 4 & 7 \\ 10 & 15 \\ \end{matrix} \right]\)

इसी प्रकार, N × M देते है:

\(N× M =\left[ \begin{matrix} (2)(1)+(1)(3) & (2)(2)+(1)(4) \\ (1)(1)+(3)(3) & (1)(2)+(3)(4) \\ \end{matrix} \right]\)

\(N× M =\left[ \begin{matrix} 5 & 8 \\ 10 & 14 \\ \end{matrix} \right]\)

हम देखते हैं कि (M × N)2×2  ≠ (N × M)2×2, भले ही दो आव्यूह के आयाम बराबर हों।

लेकिन अगर हम दो 2 × 2 तत्समक आव्यूह (समान आयाम) लेते हैं, तो गुणनफल क्रमविनिमेय होगा, यानी यदि:

\(M=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right]\) और

\(N=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right]\)

(M × N)2×2  = (N × M)2×2

इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि (M × N)2×2 हमेशा (N × M)2×2 के बराबर नहीं होता है

नोट: N3×4 × M 2×3 भी मौजूद नहीं है, क्योंकि वे गुणन के अनुकूल नहीं हैं।

संप्रत्यय:

क्रॉस गुणनफल:

दो सदिशों \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) के लिए, जिनके बीच का कोण θ है, क्रॉस गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(\rm \vec A× \vec B=\vec n|\vec A||\vec B|\sin \theta\),

जहाँ,

\(\rm \vec n\) सदिशों \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) वाले तल के लंबवत इकाई सदिश है।

यदि \(\rm \vec A = a_1̂ i +a_2̂ j+ a_3̂ k\) और \(\rm \vec B = b_1̂ i +b_2̂ j+b_3 ̂ k\), तो उनका क्रॉस गुणनफल होगा:

\(\rm \vec A×\vec B=\begin{vmatrix} \rm ̂ i & \rm ̂ j & \rm ̂ k \\ \rm a_1 & \rm a_2 & \rm a_3 \\ \rm b_1 & \rm b_2 & \rm b_3\end{vmatrix}\).

A̅ x B̅ = î(a_2.b₃ - a₃.b₂) - ĵ(a₁.b₃ - a₃.b₁) + k̂(a₁.b₂ - a₂.b₁)

गणना:

दिया गया है:

A = 1.ux + 2.uy + 3.uz,

B = 1.ux + 1.uy + 1.uz और

C = 3.ux + 2.uy + 1.uz,

हमें ज्ञात करना है,

(A x B).C

इसलिए पहले A और B के बीच क्रॉस गुणनफल की गणना करने की आवश्यकता है और फिर परिणामी को C के साथ डॉट गुणनफल करने की आवश्यकता है।

\(̅ A × ̅ B = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_x}}&{{u_y}}&{{u_z}}\\ 1&2&3\\ 1&1&1 \end{array}} \right|\)

A̅ x B̅ = -ux + 2uy - uz

अब C के साथ डॉट गुणनफल की गणना करना

(A̅ x B̅).C̅ = (- ux + 2uy - uz).(3ux + 2uy + uz)

(A̅ x B̅).C̅ = (-3 + 4 - 1) = 0

इसलिए हल विकल्प (3) है।

दिया गया:

आव्यूह A की कोटि 2 × 3 है और आव्यूह B की कोटि 3 × 5 है।

अवधारणा:

कोटि p × q के आव्यूह A और कोटि q × r के आव्यूह B को गुणा करके प्राप्त आव्यूह की कोटि p × r है।

समाधान:

प्रश्न के अनुसार,

आव्यूह A की कोटि 2 × 3 है और आव्यूह B की कोटि 3 × 5 है।

फिर A को B से गुणा करके प्राप्त आव्यूह की कोटि 2 × 5 है

अतः विकल्प 2 सही है।

आव्यूह का गुणन क्रमविनिमेय नहीं है क्योंकि यदि MN का गुणनफल मौजूद है, तो यह आवश्यक नहीं है कि NM का गुणनफल भी मौजूद हो।

उदाहरण:

आइए हम दो 2 × 2 आव्यूह (समान आयाम) पर विचार करें जैसा कि दिखाया गया है:

\(M=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right]\)

\(N=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]\)

M × N देते है:

\(M× N =\left[ \begin{matrix} (1)(2)+(2)(1) & (1)( 1)+(2)( 3) \\ (3)( 2)+(4)( 1) & (3)( 1)+(4)(3) \\ \end{matrix} \right]\)

\(M× N =\left[ \begin{matrix} 4 & 7 \\ 10 & 15 \\ \end{matrix} \right]\)

इसी प्रकार, N × M देते है:

\(N× M =\left[ \begin{matrix} (2)(1)+(1)(3) & (2)(2)+(1)(4) \\ (1)(1)+(3)(3) & (1)(2)+(3)(4) \\ \end{matrix} \right]\)

\(N× M =\left[ \begin{matrix} 5 & 8 \\ 10 & 14 \\ \end{matrix} \right]\)

हम देखते हैं कि (M × N)2×2  ≠ (N × M)2×2, भले ही दो आव्यूह के आयाम बराबर हों।

लेकिन अगर हम दो 2 × 2 तत्समक आव्यूह (समान आयाम) लेते हैं, तो गुणनफल क्रमविनिमेय होगा, यानी यदि:

\(M=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right]\) और

\(N=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right]\)

(M × N)2×2  = (N × M)2×2

इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि (M × N)2×2 हमेशा (N × M)2×2 के बराबर नहीं होता है

नोट: N3×4 × M 2×3 भी मौजूद नहीं है, क्योंकि वे गुणन के अनुकूल नहीं हैं।

संकल्पना:

\(A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{2 × 2}}\) इसका अर्थ है कि दिए गए मैट्रिक्स में 2 पंक्तियाँ और 2 कॉलम हैं क्योंकि [A]_{m × n} मैट्रिक्स के आकार को दर्शाता है।

a_ij मैट्रिक्स के घटकों के स्थान को निरुपित करता है।

\(A=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a_{11}}&a_{12}\\ {a_{21}}&a_{22} \end{array}} \right]\)

गणना:

दिय गया है:

\({a_{ij}} = \frac{1}{2}\left( {3i - 2j} \right)\)

\( \Rightarrow {a_{11}} = 1/2,\,{a_{12}} = - 1/2\,and\,{a_{21}} = 2,\,{a_{22}} = 1\)

\(\therefore A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{2 × 2}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right]\)

\(\therefore A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1/2}&{ - 1/2}\\ 2&1 \end{array}} \right].\)

सही उत्तर विकल्प 2 है।

दिया गया है: A =  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 2&2 \end{array}} \right]\), B = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ \alpha}\\ \beta&1 \end{array}} \right]\)

गणना:

⇒ A + B = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 2&2 \end{array}} \right]\) + \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ \alpha}\\ \beta&1 \end{array}} \right]\)

α और β के संगत मान की तुलना करने पर,

⇒ 3(2 - β) = 6 - 2β

⇒ 6 - 3β = 6 - 2β

⇒  β = 0

⇒ -α - 3 = -(3 + 2α)

⇒ -α - 3 = -3 -  2α

⇒ α = 0

⇒ α = β = 0 

अतः, α और β के मान शून्य हैं।

संप्रत्यय:

क्रॉस गुणनफल:

दो सदिशों \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) के लिए, जिनके बीच का कोण θ है, क्रॉस गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(\rm \vec A× \vec B=\vec n|\vec A||\vec B|\sin \theta\),

जहाँ,

\(\rm \vec n\) सदिशों \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) वाले तल के लंबवत इकाई सदिश है।

यदि \(\rm \vec A = a_1̂ i +a_2̂ j+ a_3̂ k\) और \(\rm \vec B = b_1̂ i +b_2̂ j+b_3 ̂ k\), तो उनका क्रॉस गुणनफल होगा:

\(\rm \vec A×\vec B=\begin{vmatrix} \rm ̂ i & \rm ̂ j & \rm ̂ k \\ \rm a_1 & \rm a_2 & \rm a_3 \\ \rm b_1 & \rm b_2 & \rm b_3\end{vmatrix}\).

A̅ x B̅ = î(a_2.b₃ - a₃.b₂) - ĵ(a₁.b₃ - a₃.b₁) + k̂(a₁.b₂ - a₂.b₁)

गणना:

दिया गया है:

A = 1.ux + 2.uy + 3.uz,

B = 1.ux + 1.uy + 1.uz और

C = 3.ux + 2.uy + 1.uz,

हमें ज्ञात करना है,

(A x B).C

इसलिए पहले A और B के बीच क्रॉस गुणनफल की गणना करने की आवश्यकता है और फिर परिणामी को C के साथ डॉट गुणनफल करने की आवश्यकता है।

\(̅ A × ̅ B = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_x}}&{{u_y}}&{{u_z}}\\ 1&2&3\\ 1&1&1 \end{array}} \right|\)

A̅ x B̅ = -ux + 2uy - uz

अब C के साथ डॉट गुणनफल की गणना करना

(A̅ x B̅).C̅ = (- ux + 2uy - uz).(3ux + 2uy + uz)

(A̅ x B̅).C̅ = (-3 + 4 - 1) = 0

इसलिए हल विकल्प (3) है।

गणना:

(i) एक आव्यूह A को व्युत्क्रमणीय कहा जाता है, यदि  |A| ≠ 0, अर्थात आव्यूह B इस प्रकार विद्यमान है कि AB = I, जहाँ I तत्समक आव्यूह है।

स्पष्टीकरण:

BA + B2 = I - BA2 

⇒ BA + B2 + BA2 = I

⇒ B(A + B + A2) = I

इसलिए, हमें एक आव्यूह इस प्रकार प्राप्त होता है कि B(B(A + B + A2) = I

इसलिए, B व्युत्क्रमणीय है। 

अतः विकल्प (2) सही है। 

प्रतिउदाहरण:

A = 0 के लिए , B = I 

BA + B2 = I - BA2 संतुष्ट करता है। 

लेकिन A और AB दोनों अव्युत्क्रमणीय हैं। 

अतः विकल्प (1) और (4) सही नहीं है। 

A = - I के लिए, B = I 

BA + B2 = I - BA2 संतुष्ट करता है। 

लेकिन A + B = 0, इसलिए A + B अव्युत्क्रमणीय है। 

अतः विकल्प (3) सही नहीं है।