एक वैज्ञानिक ने एक विशेष प्रयोग के संबंध में 11 अवलोकन एकत्र किए और माध्य, माध्यिका, प्रसरण, अधिकतम और न्यूनतम जैसे सारांश परिणामों की गणना की। बाद में, वैज्ञानिक ने पाया कि दो अवलोकन 54 व 43 को गलती से 45 व 34 के रूप में दर्ज किया गया था। इस संदर्भ में निम्नलिखित में से कौनसा कथन सही है?

(i) संशोधित माध्य प्रारंभिक माध्य से अधिक होगा।

(ii) यदि प्रारंभिक माध्यिका 36 थी, तो सही माध्यिका 36 से कम होगी।

(iii) प्रारंभिक प्रसरण और संशोधित प्रसरण समान हैं।

Question

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This question was previously asked in

MH SET Official Paper 3: Held on 16th April 2017

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Answer 1

दिया गया है:

अवलोकनों की संख्या = 11

गलत अवलोकन = 45 और 34

सही अवलोकन = 54 और 43

प्रयुक्त सूत्र:

माध्य = अवलोकनों का योगफल/अवलोकनों की संख्या

माध्यिका (विषम पदों के लिए) = [(n + 1)/2]वां पद

माध्यिका (सम पदों के लिए) = [(n/2)_वां पद + (n/2 +1)वां पद]/2

प्रसरण = \({S^2} = \frac{{\sum {{{({x_i} - \bar x)}^2}} }}{{n - 1}}\) (\({\bar x}\) = माध्य)

गणना:

माना प्रारंभिक माध्य = x

कुल योगफल = माध्य × अवलोकनों की संख्या

⇒ कुल योगफल = 11x

⇒ कुल सही मान = 11x - 45 - 34 + 54 + 43

⇒ कुल सही माध्य = 11x + 18

⇒ सही माध्य = (11x + 18)/11

⇒ सही माध्य = x + 18/11

कथन (i) सही है क्योंकि सही माध्य प्रारंभिक माध्य से अधिक है।

यदि प्रारंभिक माध्यिका 36 है

⇒ [(11 + 1)/2]वां पद 36 है

⇒ 6वां पद 36 है

⇒ _ _ _ _ _ 36 _ _ _ _ _ (वे आरोही क्रम में हैं)

यदि 45 और 34 को निकाल दिया जाता है

⇒ _ _ _ _ 36 _ _ _ _

और 54 और 43 को जोड़ा जाता है

⇒ दोनों संख्याओं को 36 के दाएँ ओर जोड़ा जाएगा

⇒ _ _ _ _ 36 _ _ _ _ _ _

यदि अवलोकन अलग-अलग थे तो सही माध्यिका 36 से अधिक या 36 के बराबर होगी।

कथन (ii) सही नहीं है।

\({S^2} = \frac{{\sum {{{({x_i} - \bar x)}^2}} }}{{n - 1}}\) = प्रसरण

चूँकि प्रसरण माध्य पर निर्भर करता है

⇒ प्रसरण भी बदलेगा

कथन (iii) सत्य नहीं है।