Tangents and Normals MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Tangents and Normals - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

• একটি প্রদত্ত বক্ররেখার ঢাল, একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে y = f(x),

প্রদত্ত বিন্দুতে ⇒ y' = dy/dx

গণনা:

প্রদত্ত: y = 4x - 5 হল বক্ররেখার স্পর্শক y2 = px3 + q এ (2, 3)  

• x এর ক্ষেত্রে পার্থক্য করুন,

\(⇒ 2y. \frac{dy}{dx} = 3 px^2\)

⇒ \(\frac{dy}{dx} = \frac{3p}{2} \left( \frac{x^2}{y} \right)\)

∴ \(\left| \frac{dy}{dx} \right|_{2, 3}= \frac{3p}{2} × \frac{4}{3} = 2p\)

• প্রদত্ত রেখার জন্য, স্পর্শকের ঢাল = 4 (y = mx + c এর সাথে তুলনা করা)

⇒ 2p = 4

⇒ p = 2

• যেহেতু (2, 3) প্রদত্ত বক্ররেখা y এর উপর পড়ে আছে,

⇒ 9 = 2 × 8 + q

⇒ q = - 7

ধারণা:

• দুটি বক্ররেখার মধ্যে ছেদকের কোণটি একটি সাধারণ বিন্দুতে উভয় বক্ররেখার স্পর্শকের মধ্যে ছেদকের কোণের সমান হবে।
• যদি প্রথম বক্ররেখার একটি সাধারণ বিন্দুতে একটি স্পর্শকের ঢাল m1 হয় এবং দ্বিতীয় বক্ররেখার একটি সাধারণ বিন্দুতে একটি স্পর্শকের ঢাল m2 হয় তাহলে ছেদ কোণ,

\(⇒ tan θ = \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \;\;\;\;\; \ldots \left( 1 \right)\)

গণনা:

প্রদত্ত: স্পর্শকের সাধারণ বিন্দু হল (1, 1)

• প্রথম বক্ররেখার জন্য, y = x²

⇒ \(\frac{dy}{dx} = m_1 = 2x\)

\(⇒ \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(1, 1)} \) = 2 = m₁

• দ্বিতীয় বক্ররেখার জন্য, x = y²

⇒ 1 = 2y \(\frac{dy}{dx} \)

\(⇒ \frac{dy}{dx} = m_2 = \frac{1}{2y} ⇒ \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(1, 1)} = \frac{1}{2}\)

• সমীকরণ 1 ব্যবহার করে,

\(⇒ tan θ = \frac{2 - \frac{1}{2}}{1 + 2 \times \frac{1}{2}}= \frac{3}{4}\)

⇒ θ = tan^-1 (3/4)

তাই সঠিক উত্তর হল বিকল্প 4

ধারণা:

• যদি একটি রেখা ধনাত্মক X-অক্ষের সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত অর্থে একটি কোণ θ তৈরি করে তবে সেই কোণের স্পর্শকটিকে ঢাল বলা হয়।
• বক্ররেখার একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্বাভাবিকের ঢাল,

  \(\Rightarrow m_n = \frac{-1}{dy/dx}\;\;\;\;\; \ldots \left( 1 \right)\)

গণনা:

প্রদত্ত: বিন্দুতে (3, 4) স্বাভাবিক দ্বারা তৈরি কোণ হল \(\frac{3 \pi}{4}\)

• সমীকরণ 1 ব্যবহার করে,

\(⇒\tan \frac{3 \pi}{4} = \frac{-1}{(dy/dx)_{(3, 4)}}\)

∴ \(⇒\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(3, 4)} = 1, \)

⇒ f'(3) = 1

তাই সঠিক উত্তর হল বিকল্প 4

ধারণা:

• যদি প্রদত্ত বক্ররেখার একটি বিন্দুতে স্পর্শকটি উল্লম্ব হয় তবে একই বিন্দুতে স্বাভাবিকটি 0 এর ঢাল সহ অনুভূমিক হবে।

গণনা:

প্রদত্ত: t এজেন্টটি উল্লম্ব

y3 + 3x2 = 12y.....(1)

⇒ \(3y^2. \frac{dy}{dx} + 6x = 12 \frac{dy}{dx} ⇒ \frac{dy}{dx} = \frac{6x}{12 - 3y^2}\)

\(⇒ \frac{dx}{dy} = \frac{12 - 3y^2}{6x}\;\;\;\;\; \ldots \left( 2 \right)\)

উল্লম্ব স্পর্শক জন্য,

\(⇒ \frac{dx}{dy} = 0\)

• সমীকরণ 2 ব্যবহার করে,

⇒ 12 - 3y² = 0

⇒ y = ± 2

• সমীকরণ (i) এ y = 2 এর মান বসিয়ে পাই,

⇒ x = ± \(\frac{4}{\sqrt 3}\) এবং

• সমীকরণ (i) এ y = - 2 এর মান বসিয়ে পাই,

⇒ 3x² = -16, কোন বাস্তব সমাধান নেই

• সুতরাং, চূড়ান্ত বিন্দুগুলি হল \(\left( \pm \frac{4}{\sqrt 3} , 2 \right) \)

তাই সঠিক উত্তর হল বিকল্প 4

ধারণা:

যখন উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ জানা যায় তখন সরল জ্যামিতি এবং পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে আমরা দুটি ছেদকারী বৃত্তের সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য পেতে পারি।

গণনা :

প্রথমে D বিন্দুতে C₁P ব্যাসার্ধে C₂ থেকে একটি লম্ব আঁকুন।

এখন আমরা স্পষ্ট দেখতে পাচ্ছি যে সামান্তরিকে C₂D, PQ এর সমান এবং DP = C₂Q = 4 একক

C₁C₂ = 4 + 6 = 10 একক

C₁D = C₁P – DP = 6 – 4 = 2 একক

এছাড়াও আমরা দেখতে পাচ্ছি যে PQ = DC₂ (সামান্তরিকের বিপরীত বাহু)

∴ \(PQ = D{C_2} = \;\sqrt {{{\left( {{C_1}{C_2}} \right)}^2} - {{(D{C_1})}^2}} = \sqrt {{{\left( {10} \right)}^2} - {{(2)}^2}} = 4\sqrt 6 \) একক

ধারণা :

যদি রেখা y = mx + c বৃত্তের স্পর্শক হয় x2 + y2 = a2 তাহলে, c2 = a2 (1 + m2)

গণনা :

প্রদত্ত: রেখার সমীকরণ হল y = y = mx + 10 এবং রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক x2 + y2 = 5

এখানে, আমাদের m এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি যে, যদি রেখা y = mx + c বৃত্তের স্পর্শক হয় x2 + y2 = a2 তাহলে c2 = a2 (1 + m2)

রেখা এবং বৃত্তের প্রদত্ত সমীকরণটি যথাক্রমে y = mx + c এবং x2 + y2 = a2 এর সাথে তুলনা করে পাই,

⇒ c = 10 এবং a2 = 5

⇒ c2 = 100

∵ c2 = a2 (1 + m2)

উপরের সমীকরণে a2 = 4 এবং c2 = 256 প্রতিস্থাপন করে পাই,

⇒ 100 = 5 ⋅ (1 + m2)

⇒ 1 + m2 = 20

⇒ m = ± √19

অতএব, বিকল্প B সঠিক উত্তর।

ধারণা:

যখন উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ জানা যায় তখন সরল জ্যামিতি এবং পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে আমরা দুটি ছেদকারী বৃত্তের সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য পেতে পারি।

গণনা :

প্রথমে D বিন্দুতে C₁P ব্যাসার্ধে C₂ থেকে একটি লম্ব আঁকুন।

এখন আমরা স্পষ্ট দেখতে পাচ্ছি যে সামান্তরিকে C₂D, PQ এর সমান এবং DP = C₂Q = 4 একক

C₁C₂ = 4 + 6 = 10 একক

C₁D = C₁P – DP = 6 – 4 = 2 একক

এছাড়াও আমরা দেখতে পাচ্ছি যে PQ = DC₂ (সামান্তরিকের বিপরীত বাহু)

∴ \(PQ = D{C_2} = \;\sqrt {{{\left( {{C_1}{C_2}} \right)}^2} - {{(D{C_1})}^2}} = \sqrt {{{\left( {10} \right)}^2} - {{(2)}^2}} = 4\sqrt 6 \) একক

ধারণা:

• একটি প্রদত্ত বক্ররেখার ঢাল, একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে y = f(x),

প্রদত্ত বিন্দুতে ⇒ y' = dy/dx

গণনা:

প্রদত্ত: y = 4x - 5 হল বক্ররেখার স্পর্শক y2 = px3 + q এ (2, 3)  

• x এর ক্ষেত্রে পার্থক্য করুন,

\(⇒ 2y. \frac{dy}{dx} = 3 px^2\)

⇒ \(\frac{dy}{dx} = \frac{3p}{2} \left( \frac{x^2}{y} \right)\)

∴ \(\left| \frac{dy}{dx} \right|_{2, 3}= \frac{3p}{2} × \frac{4}{3} = 2p\)

• প্রদত্ত রেখার জন্য, স্পর্শকের ঢাল = 4 (y = mx + c এর সাথে তুলনা করা)

⇒ 2p = 4

⇒ p = 2

• যেহেতু (2, 3) প্রদত্ত বক্ররেখা y এর উপর পড়ে আছে,

⇒ 9 = 2 × 8 + q

⇒ q = - 7

ধারণা:

• দুটি বক্ররেখার মধ্যে ছেদকের কোণটি একটি সাধারণ বিন্দুতে উভয় বক্ররেখার স্পর্শকের মধ্যে ছেদকের কোণের সমান হবে।
• যদি প্রথম বক্ররেখার একটি সাধারণ বিন্দুতে একটি স্পর্শকের ঢাল m1 হয় এবং দ্বিতীয় বক্ররেখার একটি সাধারণ বিন্দুতে একটি স্পর্শকের ঢাল m2 হয় তাহলে ছেদ কোণ,

\(⇒ tan θ = \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \;\;\;\;\; \ldots \left( 1 \right)\)

গণনা:

প্রদত্ত: স্পর্শকের সাধারণ বিন্দু হল (1, 1)

• প্রথম বক্ররেখার জন্য, y = x²

⇒ \(\frac{dy}{dx} = m_1 = 2x\)

\(⇒ \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(1, 1)} \) = 2 = m₁

• দ্বিতীয় বক্ররেখার জন্য, x = y²

⇒ 1 = 2y \(\frac{dy}{dx} \)

\(⇒ \frac{dy}{dx} = m_2 = \frac{1}{2y} ⇒ \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(1, 1)} = \frac{1}{2}\)

• সমীকরণ 1 ব্যবহার করে,

\(⇒ tan θ = \frac{2 - \frac{1}{2}}{1 + 2 \times \frac{1}{2}}= \frac{3}{4}\)

⇒ θ = tan^-1 (3/4)

তাই সঠিক উত্তর হল বিকল্প 4

ধারণা:

• যদি প্রদত্ত বক্ররেখার একটি বিন্দুতে স্পর্শকটি উল্লম্ব হয় তবে একই বিন্দুতে স্বাভাবিকটি 0 এর ঢাল সহ অনুভূমিক হবে।

গণনা:

প্রদত্ত: t এজেন্টটি উল্লম্ব

y3 + 3x2 = 12y.....(1)

⇒ \(3y^2. \frac{dy}{dx} + 6x = 12 \frac{dy}{dx} ⇒ \frac{dy}{dx} = \frac{6x}{12 - 3y^2}\)

\(⇒ \frac{dx}{dy} = \frac{12 - 3y^2}{6x}\;\;\;\;\; \ldots \left( 2 \right)\)

উল্লম্ব স্পর্শক জন্য,

\(⇒ \frac{dx}{dy} = 0\)

• সমীকরণ 2 ব্যবহার করে,

⇒ 12 - 3y² = 0

⇒ y = ± 2

• সমীকরণ (i) এ y = 2 এর মান বসিয়ে পাই,

⇒ x = ± \(\frac{4}{\sqrt 3}\) এবং

• সমীকরণ (i) এ y = - 2 এর মান বসিয়ে পাই,

⇒ 3x² = -16, কোন বাস্তব সমাধান নেই

• সুতরাং, চূড়ান্ত বিন্দুগুলি হল \(\left( \pm \frac{4}{\sqrt 3} , 2 \right) \)

তাই সঠিক উত্তর হল বিকল্প 4

ধারণা:

• যদি একটি রেখা ধনাত্মক X-অক্ষের সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত অর্থে একটি কোণ θ তৈরি করে তবে সেই কোণের স্পর্শকটিকে ঢাল বলা হয়।
• বক্ররেখার একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্বাভাবিকের ঢাল,

  \(\Rightarrow m_n = \frac{-1}{dy/dx}\;\;\;\;\; \ldots \left( 1 \right)\)

গণনা:

প্রদত্ত: বিন্দুতে (3, 4) স্বাভাবিক দ্বারা তৈরি কোণ হল \(\frac{3 \pi}{4}\)

• সমীকরণ 1 ব্যবহার করে,

\(⇒\tan \frac{3 \pi}{4} = \frac{-1}{(dy/dx)_{(3, 4)}}\)

∴ \(⇒\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(3, 4)} = 1, \)

⇒ f'(3) = 1

তাই সঠিক উত্তর হল বিকল্প 4

ধারণা :

যদি রেখা y = mx + c বৃত্তের স্পর্শক হয় x2 + y2 = a2 তাহলে, c2 = a2 (1 + m2)

গণনা :

প্রদত্ত: রেখার সমীকরণ হল y = y = mx + 10 এবং রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক x2 + y2 = 5

এখানে, আমাদের m এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি যে, যদি রেখা y = mx + c বৃত্তের স্পর্শক হয় x2 + y2 = a2 তাহলে c2 = a2 (1 + m2)

রেখা এবং বৃত্তের প্রদত্ত সমীকরণটি যথাক্রমে y = mx + c এবং x2 + y2 = a2 এর সাথে তুলনা করে পাই,

⇒ c = 10 এবং a2 = 5

⇒ c2 = 100

∵ c2 = a2 (1 + m2)

উপরের সমীকরণে a2 = 4 এবং c2 = 256 প্রতিস্থাপন করে পাই,

⇒ 100 = 5 ⋅ (1 + m2)

⇒ 1 + m2 = 20

⇒ m = ± √19

অতএব, বিকল্প B সঠিক উত্তর।