Application of Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Application of Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Mar 24, 2025

पाईये Application of Integrals उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Application of Integrals MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Application of Integrals MCQ Objective Questions

Application of Integrals Question 1:

वक्र y2 = 4x और रेखा x = 3 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है:

  1. \(3\sqrt3\)
  2. \(3\sqrt8\)
  3. 8
  4. \(8\sqrt3\)
  5. 10

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(8\sqrt3\)

Application of Integrals Question 1 Detailed Solution

गणना

qImage67b6fd0a024335ac07546736

दिया गया है:

परवलय: y² = 4x

रेखा: x = 3

चूँकि y² = 4x है, तब y = \(2\sqrt{x}\) (प्रथम चतुर्थांश में, y > 0)

अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 x (क्षेत्र OCAO का क्षेत्रफल)

क्षेत्रफल = \(2 \int_{0}^{3} y \, dx\)

क्षेत्रफल = \(2 \int_{0}^{3} 2\sqrt{x} \, dx\)

क्षेत्रफल = \(4 \int_{0}^{3} x^{\frac{1}{2}} \, dx\)

⇒ क्षेत्रफल = \(4 \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{3}\)

क्षेत्रफल = \(4 \times \frac{2}{3} \left[ (3)^{\frac{3}{2}} - 0 \right]\)

क्षेत्रफल = \(\frac{8}{3} (3\sqrt{3})\)

∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = \(8\sqrt{3}\) वर्ग इकाई

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

Application of Integrals Question 2:

परवलय y = x2 और y2 = x से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ________ है।

  1. \(\frac{3}{4}\)
  2. 3
  3. \(\frac{1}{2}\)
  4. \(\frac{1}{3}\)
  5. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\frac{1}{3}\)

Application of Integrals Question 2 Detailed Solution

गणना

परवलय y = x2 और x = y2 का प्रतिच्छेद बिंदु है
F1 Vinanti State govt. 03.07.23 D6

y = (y2)2 ⇒ y = y4

⇒ y = 0, y = 1

∴ x = 0, x = 1

इसलिए, प्रतिच्छेद बिंदु O (0, 0) और (1, 1) हैं;

∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\rm \int^1_0(y_2-y_1)dx\)

\(\rm \int^1_0(\sqrt x-x^2)dx\)

\(\rm \left[\frac{x^{3/2}}{3/2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\left[\frac{1^{3/2}}{3/2}-\frac{1^3}{3}\right]-\left[\frac{0^{3/2}}{3/2}-\frac{0^3}{3}\right]\)

= \(\rm \left[\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\right]-[0]=\left(\frac{1}{3}\right)\)

वैकल्पिक विधि:

हम जानते हैं कि यदि परवलय y2 = 4ax और x2 = 4by हैं। 

तो परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल = \(\rm \left(\frac{4a\times4b}{3}\right)\)

\(A=\rm \left(\frac{1\times1}{3}\right) =\frac{1}{3}\)

अतः विकल्प 4 सही है। 

Application of Integrals Question 3:

वृत्त x2 + y2 = 36 के उस भाग का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए जो परवलय y2 = 9x के बाहर है:

  1. 24π + 3√3
  2. 12π + 3√3
  3. 12π - 3√3
  4. 24π - 3√3
  5. 12π – √3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 24π - 3√3

Application of Integrals Question 3 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है, x2 + y2 = 36…(i) जो परवलय y2 = 9x…(ii) के बाहर है।

समीकरण (ii) को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है x2 + 9x = 36

⇒ x2 + 12x - 3x - 36 = 0

⇒ x(x + 12) - 3(x + 12) = 0

⇒ (x + 12)(x - 3) = 0

⇒ x = 3[चूँकि वे धनात्मक x-अक्ष पर मिलते हैं]

⇒ y = ± 3√3

वक्र बिंदु (3, ± 3√3) पर प्रतिच्छेद करते हैं।

F1 Priyas Physics 30 09 2024 D1

∴ आवश्यक क्षेत्रफल

= \(\pi r^2-2\left[\int_0^3 \sqrt{9 x} d x+\int_3^6 \sqrt{36-x^2} d x\right]\)

= \(36 \pi-12 \sqrt{3}-2\left(\frac{x}{2} \sqrt{36-x^2}+18 \sin ^{-1}\left(\frac{x}{6}\right)\right)_3^6\)

= \(36 \pi-12 \sqrt{3}-2\left(9-\left(\frac{9 \sqrt{3}}{2}+3 \pi\right)\right)\)

= 24π - 3√3

∴ आवश्यक क्षेत्रफल 24π - 3√3 है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

Application of Integrals Question 4:

क्षेत्र {(x, y) ∈ R|4x2 ≤ y ≤ 8x + 12} का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) है:

  1. 125/3
  2. 128/3
  3. 124/3
  4. 127/3
  5. 129/3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 128/3

Application of Integrals Question 4 Detailed Solution

स्पष्टीकरण -

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प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,

4x2 = 8x + 12

⇒ x2 − 2x − 3 = 0

⇒ x = 3, −1

परिबद्ध क्षेत्रफल निम्नवत दिया गया है
\(A = \int_{-1}^{3} (8x + 12 - 4x^2) \, dx \)

\(A = \left[ \frac{8x^2}{2} + 12x - \frac{4x^3}{3} \right]_{-1}^{3} \)

= 44 - (4/3)

= 128/3

इसलिए सही विकल्प (2) है। 

Application of Integrals Question 5:

A = {(x, y ); x2 ≤ y ≤ min {x + 2, 4 - 3x}} द्वारा दिए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल है

  1. \(\frac{31}{8}\)
  2. \(\frac{17}{6}\)
  3. \(\frac{19}{6}\)
  4. \(\frac{27}{8}\)
  5. \(\frac{19}{16}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\frac{17}{6}\)

Application of Integrals Question 5 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है, A = {(x, y) : x2 ≤ y ≤ min {x + 2, 4 - 3x}

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अब, y = min {x + 2, 4 - 3x} = \(\left\{\begin{matrix} x+2, & x\leq\frac{1}{2} \\ 4x-3, & x>\frac{1}{2} \\ \end{matrix}\right.\)

∴ अभीष्ट क्षेत्र का क्षेत्रफल

\(A=\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\left(x+2-x^2\right) d x+\int_{\frac{1}{2}}^1\left(4-3 x-x^2\right) d x\)

= \(\left[\frac{x^2}{2}+2 x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{\frac{1}{2}}+\left[4 x-\frac{3 x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{\frac{1}{2}}^1\)

= \(\left(\frac{1}{8}+1-\frac{1}{24}\right)-\left(\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}\right)+\left(4-\frac{3}{2}-\frac{1}{3}\right)-\left(2-\frac{3}{8}-\frac{1}{24}\right)\)

= \(\frac{17}{6}\)

∴ क्षेत्र का क्षेत्रफल \(\frac{17}{6}\) है।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

Top Application of Integrals MCQ Objective Questions

रेखा y = 1 से घिरे परवलय x2 = y का क्षेत्रफल क्या है?

  1. \(\frac 1 3\) वर्ग इकाई 
  2. \(\frac 2 3\) वर्ग इकाई 
  3. \(\frac 4 3\) वर्ग इकाई 
  4. 2 वर्ग इकाई 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\frac 4 3\) वर्ग इकाई 

Application of Integrals Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

x = a और x = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल \(\rm\int_{a}^{b}ydx\)

F7 5f3573a3f346800d0e2814b3 Aman.K 20-08-2020 Savita Dia

y = a और y = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = \(\rm\int_{a}^{b}xdy\)

गणना:

F5 5f3574b68881b70d100bb46f Aman.K 20-8-2020 Savita Dia

यहाँ, x2 = y  और रेखा y = 1 परवलय को काटती है। 

∴ x2 = 1

x = 1 और -1

अब, 

\( \text{Area =}\int_{-1}^{1} y d x \)

यहां, वक्र  y- अक्ष के सममित है, हम एक तरफ क्षेत्र को पा सकते हैं और फिर इसे 2 से गुणा कर सकते हैं, हम क्षेत्रफल को प्राप्त करेंगे, 

\( \text{Area } -1= \int_{0}^{1} y d x \)

\( \text{Area}_1 = \int_{0}^{1} x^{2} d x \)

\(= \rm\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\)

यह क्षेत्र y = x2 और x-axis के बीच है I

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें इस क्षेत्रफल को वर्ग के क्षेत्रफल से घटाना होगा अर्थात।

\((1 \times 1)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)

\(Total\;Area=2\times{\frac{2}{3}} =\frac{4}{3}\) वर्ग इकाई I

वक्र y = \(\rm \sqrt{16-x^2}\) और x - अक्ष द्वारा परिबद्ध भाग का क्षेत्रफल क्या है?

  1. 8π वर्ग इकाई 
  2. 20π वर्ग इकाई 
  3. 16π वर्ग इकाई 
  4. इनमें से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 8π वर्ग इकाई 

Application of Integrals Question 7 Detailed Solution

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अवधारणा:

\(\int\sqrt{a^2-x^2}\;dx=\frac{x}{2} {\sqrt{x^2-a^2}}+\frac{a^2}{2}sin^{-1}\frac{x}{a}+c\)

फलन y = √f(x), f(x) 0 के लिए परिभाषित है। इसलिए y ऋणात्मक नहीं हो सकता।

गणना:

दिया गया है:

y = \(\rm \sqrt{16-x^2}\) और x - अक्ष 

x - अक्ष पर, y शून्य होगा। 

y = \(\rm \sqrt{16-x^2}\)

⇒ 0 = \(\rm \sqrt{16-x^2}\)

⇒ 16 - x2 = 0

⇒ x2 = 16

∴ x = ± 4

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु (4, 0) और (−4, 0) हैं। 

F6 Aman 15-1-2021 Swati D1

चूँकि, वक्र y = \(\rm \sqrt{16-x^2}\) है

तो, y ≥ o [सदैव]

तो, हम वृत्ताकार भाग लेंगे जो x-अक्ष के ऊपर है

वक्र का क्षेत्रफल, A \(\rm =\int_{-4}^{4}\sqrt{16-x^2}\;dx\)

हम जानते हैं कि,

\(\int√{a^2-x^2}\;dx=\frac{x}{2} {√{x^2-a^2}}+\frac{a^2}{2}sin^{-1}\frac{x}{a}+c\)

\( \rm [ \frac x 2 \sqrt{(4^2- x^2) }+ \frac {16}{2}sin^{-1} \frac x4]_{-4}^{4 }\) 

\( \rm [ \frac x 2 \sqrt{(4^2- 4^2) }+ \frac {16}{2}sin^{-1} \frac 44]- \rm [ \frac x 2 \sqrt{(4^2- (-4)^2) }+ \frac {16}{2}sin^{-1} \frac {4}{-4})]\)

= 8 sin-1 (1) + 8 sin-1 (1)

= 16 sin-1 (1)

= 16 × π/2

= 8π वर्ग इकाई 

वक्र y = sin x, y = cos x, 0 ≤ x ≤ π/2 के बीच संलग्न क्षेत्र क्या है?

  1. \(\sqrt 2 - 1\)
  2. \(\sqrt 2 + 1\)
  3. \(2(\sqrt 2 - 1)\)
  4. \(2(\sqrt 2 + 1)\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(2(\sqrt 2 - 1)\)

Application of Integrals Question 8 Detailed Solution

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गणना:

F1 Tapesh 25.2.21 Pallavi D 3

संलग्न क्षेत्र

\( = 2\mathop \smallint \nolimits_0^{\pi /4} \left( {\cos x - \sin x} \right)dx\)

\( = 2\left[ {\sin x + \cos x} \right]_0^{\pi /4}\)

\( = 2\left[ {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) - \left( {0 + 1} \right)} \right]\)

\( = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)

परवलय x = 4 - y2 और y - अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल वर्ग इकाई में कितना है?

  1. \( \frac{2}{32}\) वर्ग इकाई 
  2. \( \frac{32}{3}\) वर्ग इकाई 
  3. \( \frac{33}{2}\) वर्ग इकाई 
  4. इनमें से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \( \frac{32}{3}\) वर्ग इकाई 

Application of Integrals Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

समाकलन द्वारा वक्र के तहत क्षेत्रफल 

F1 A.K 12.5.20 Pallavi D3

इस वक्र के तहत क्षेत्रफल को ऊर्ध्वाधर रूप से योग द्वारा ज्ञात कीजिए। 

  • इस स्थिति में हम यह ज्ञात करते हैं कि क्षेत्रफल आयत की ऊंचाई x = f(y) और चौड़ाई dy का योग होता है। 
  • यदि हमें y = f(x) दिया गया है, तो हमें इसे x = f(y) के रूप में पुनःव्यक्त करने की आवश्यकता है और हमें इसका योग नीचे से शीर्ष तक करने की आवश्यकता है।


इसलिए, \({\bf{A}} = \mathop \smallint \nolimits_{\bf{a}}^{\bf{b}} {\bf{xdy}} = \mathop \smallint \nolimits_{\bf{a}}^{\bf{b}} {\bf{f}}\left( {\bf{y}} \right){\bf{dy}}\)

गणना:

दिया गया वक्र: x = 4 - y2

⇒ y2 = 4 - x
⇒ y2 = - (x - 4)

उपरोक्त वक्र परवलय का समीकरण है,

हम जानते हैं कि y - अक्ष पर; x = 0

⇒ y2 = 4 - x

⇒ y2 = 4 - 0 = 4

⇒ y = ± 2

⇒ (x, y) = (0, 2) या (0, -2) प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। 

F1 SachinM Madhuri 01.03.2022 D2

वक्र के तहत क्षेत्रफल  \( = \mathop \int \nolimits_{-2}^2 {\rm{xdy}}\)

\(= \rm \int_{-2}^2 (4-y^2)dy\)

\(\rm = \left[4y- {\frac{{{{ {{\rm{y}} } }^3}}}{3}} \right]_{-2}^2\)

\(= \frac{32}{3}\) वर्ग इकाई

निम्नलिखित में से किस समाकलन द्वारा त्रिज्या 'a' वाले एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है?

  1. \(\mathop \smallint \limits_a^b \left( {{a^2} + {x^2}} \right)dx\)
  2. \(\mathop \smallint \limits_0^{2\pi } \sqrt {\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} \;dx\)
  3. \(4 \times \mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} \;dx\)
  4. \(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} \;dx\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(4 \times \mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} \;dx\)

Application of Integrals Question 10 Detailed Solution

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व्याख्या:

F1 Ateeb 19.3.21 Pallavi D12

वृत्त का समीकरण x2 + y2 = a2 द्वारा दिया गया है

आइए पट्टी को y-दिशा के साथ लें और इसे 0 से 'a' में समाकलित करें इससे पहले चतुर्थांश का क्षेत्रफल मिलेगा और एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए 4 से गुणा करें

\(y = \sqrt {x^2 - a^2}\)

प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\mathop \smallint \limits_0^a y\;dx\) = \(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)

वृत्त का क्षेत्रफल = 4 × \(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)

परवलय y = 3x2 और x- y + 4 = 0 से घिरा क्षेत्रफल है:

  1. \(16 \sqrt{2}\)
  2. \(\frac{16}{3} \sqrt{3} \)
  3. \(\frac{16}{3}\)
  4. \(\frac{16}{3} \sqrt{2}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\frac{16}{3} \sqrt{2}\)

Application of Integrals Question 11 Detailed Solution

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दिया गया है:

परवलय y = 3x2 और x- y + 4 = 0

संकल्पना​:

दो वक्रों y1 और y2 के बीच के क्षेत्रफल की संकल्पना को x = a और x = b के बीच लागू करने पर 

\(\rm A=\int_a^b(y_1-y_2)\ dx\)

गणना:

परवलय y = 3x2 और x- y + 4 = 0

तब 3x2 = x2 + 4

⇒ x2 = 2

⇒ x = ± √ 2

तब क्षेत्रफल है

\(\rm A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(x^2+4-3x^2) \ dx\)

\(\rm A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(4-2x^2) \ dx\)

\(\rm A=[4x-2\frac{x^3}{3}]_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\)

\(\rm A=4[\sqrt2-(-\sqrt2)]-\frac{2}{3}[{\sqrt2}^3-{(-\sqrt2)}^3]\)

\(\rm A=8\sqrt2-\frac{8}{3}\sqrt2\)

\(\rm A=\frac{16\sqrt2}{3}\) वर्ग इकाई

अतः विकल्प (4) सही है।

अंतिम बिंदु x = [-2, 3] के बीच वक्र y = 4x3 का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 

  1. 97
  2. 65
  3. 70
  4. 77

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 97

Application of Integrals Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

वक्र y = f(x) के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

A = \(\rm \int_{x_1}^{x_2}f(x) dx\)

जहाँ x1 और x2 अंतिम बिंदु हैं जिसके बीच क्षेत्रफल की आवश्यकता होती है। 

Imp. Note: कुल क्षेत्र x-अक्ष के नीचे के क्षेत्र और एक्स-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र के अलावा होगा।

गणना:

f(x) = y = 4x3

दिया गया अंतिम बिंदु x1 = -2, x2 = 3

वक्र का क्षेत्रफल (A) = \(\rm \left|\int_{-2}^3 4x^3dx\right|\)

⇒ A = \(\rm \left|\int_{-2}^0 4x^3dx\right| + \left|\int_0^3 4x^3dx\right|\)

⇒ A = \(\rm \left|4\left[x^4\over4\right]_{-2}^0\right| + \left|4\left[x^4\over4\right]_0^3\right|\)

⇒ A = \(\rm \left|\left[0- 2^4\right]\right| + \left|\left[3^4 - 0\right]\right| \)

⇒ A = \(\rm \left|-16\right| + \left|81\right|\)

⇒ A = 97

 

Additional Information

समाकल गुण:

  • ∫ xn dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\)+ C ; n ≠ -1
  • \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C
  • ∫ edx = ex+ C
  • ∫ adx = (ax/ln a) + C ; a > 0,  a ≠ 1
  • ∫ sin x dx = - cos x + C
  • ∫ cos x dx = sin x + C 

वक्र y = x2 और रेखा y = 16 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

  1. 32/3
  2. 256/3
  3. 64/3
  4. 128/3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 256/3

Application of Integrals Question 13 Detailed Solution

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स्पष्टीकरण:

दिए गए वक्रों के समीकरण हैं

y = x2 --- (1) और y = 16 --- (2)

दोनों समीकरणों (1) और (2) को हल करके हमारे पास है:

x2 = 16

x = 4, -4

प्रतिच्छेदन के बिंदु (4, 16) और (-4, 16) हैं।

F1 Shraddha Shubham 18.12.2020 D1

आकृति से हमारे पास है

\(Required~Area~=~∫_{-4}^4(16-x^2)~dx \)

समाकल गुण का उपयोग करके हमारे पास है

\(A=~2∫_{0}^4(16-x^2)~dx \)

\(= 2\left[ {16x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^4\)

\(= 2\left[ {16x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^4\)

\( = 2\left[ {64 - \frac{{64}}{3}} \right] \)

\(= 2 \times 64 \times \frac{2}{3}\;\)

\(A=\frac{256}{3}~sq.units\)

Alternate Method

एक अन्य विधि भी है जिसके द्वारा हम समस्या को हल कर सकते हैं,

क्षैतिज पट्टी पर विचार करके और समरूपता की स्थिति से हमारे पास है:

\(Area~=~2\int_0^{16}x~dy\)

\(Area~=~2\int_0^{16}\sqrt{y}~dy\)

\(Area~=~2~\times~\frac{2}{3}~\times~[y^{\frac{3}{2}}]_0^{16} \)

\(Area~=~2\times \frac{2}{3}\times [16^{\frac{3}{2}}-0]\)

क्षेत्रफल = \(\frac{256}{3}~sq.unit\)

वक्र y = x2 और रेखा x = -1, x = 2 और x - अक्ष के तहत क्षेत्रफल कितना है?

  1. 3 वर्ग इकाई 
  2. 5 वर्ग इकाई 
  3. 7 वर्ग इकाई 
  4. 9 वर्ग इकाई 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3 वर्ग इकाई 

Application of Integrals Question 14 Detailed Solution

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संकल्पना:

समाकलन द्वारा वक्र के तहत क्षेत्रफल:

F1 Aman.K 10-07-2020 Savita D1

इस वक्र के तहत क्षेत्रफल को क्षैतिज रूप से जोड़कर ज्ञात कीजिए। 

इस स्थिति में हम क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं जो आयत, ऊंचाई y = f(x) और चौड़ाई dx का योग है। 

हमें बाएँ से दाएँ तक योग ज्ञात करने की आवश्यकता है। 

∴ क्षेत्रफल =  \( \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{ydx}} = {\rm{\;}}\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}\)

 

गणना:

यहाँ, हम वक्र y = x2, x - अक्ष और कोटि अंक x = - 1 और x = 2 द्वारा परिबाधा क्षेत्रफल को ज्ञात करना है। 

F1 Aman.K 14-12-20 Savita D2

इसलिए, दिए गए वक्र द्वारा संलग्न क्षेत्रफल को \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

चूँकि हम जानते हैं कि,\(\smallint {{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{dx}} = \frac{{{{\rm{x}}^{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} + {\rm{C}}\)

क्षेत्रफल = \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\)

\( \rm \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_{-1}^2\)

\(\left[\frac 83 - \frac {-1}{3}\right] = \frac 93=3\)

क्षेत्रफल = 3 वर्ग इकाई 

वक्र y = x - 1 और y2 = 2x + 6 से घिरा क्षेत्रफल का मान क्या है?

  1. 21
  2. 24
  3. 18
  4. 20

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 18

Application of Integrals Question 15 Detailed Solution

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व्याख्या:

दिए गए वक्र y = x - 1 और y2 = 2x + 6 हैं। 

F1 Vinanti Defence 31.12.22 D1

इन्हे हल करने पर हमें प्राप्त होगा,

y2 = 2(y + 1) + 6

⇒ y2 - 2y - 8 = 0

⇒ (y - 4)(y + 2) = 0

⇒ y = -2, 4

अब, हम निम्न के द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं

A = \(\int_{-2}^{4}\left [y+1-\left ( \frac{y^{2}}{2}-3 \right ) \right ]dy \)

\(\int_{-2}^{4}\left (4+y-\frac{y^{2}}{2} \right )dy \)

\(\left [ 4y+\frac{y^{2}}{2} -\frac{y^{3}}{6}\right ]_{-2}^{4}\)

\(16+8-\frac{32}{3}-\left ( -8+2+\frac{4}{3} \right )\)

∴ A = 18

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