Application of Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Application of Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Mar 24, 2025
Latest Application of Integrals MCQ Objective Questions
Application of Integrals Question 1:
वक्र y2 = 4x और रेखा x = 3 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Integrals Question 1 Detailed Solution
गणना
दिया गया है:
परवलय: y² = 4x
रेखा: x = 3
चूँकि y² = 4x है, तब y = \(2\sqrt{x}\) (प्रथम चतुर्थांश में, y > 0)
अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 x (क्षेत्र OCAO का क्षेत्रफल)
⇒ क्षेत्रफल = \(2 \int_{0}^{3} y \, dx\)
⇒ क्षेत्रफल = \(2 \int_{0}^{3} 2\sqrt{x} \, dx\)
⇒ क्षेत्रफल = \(4 \int_{0}^{3} x^{\frac{1}{2}} \, dx\)
⇒ क्षेत्रफल = \(4 \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{3}\)
⇒ क्षेत्रफल = \(4 \times \frac{2}{3} \left[ (3)^{\frac{3}{2}} - 0 \right]\)
⇒ क्षेत्रफल = \(\frac{8}{3} (3\sqrt{3})\)
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = \(8\sqrt{3}\) वर्ग इकाई
इसलिए, विकल्प 4 सही है।
Application of Integrals Question 2:
परवलय y = x2 और y2 = x से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ________ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Integrals Question 2 Detailed Solution
गणना
परवलय y = x2 और x = y2 का प्रतिच्छेद बिंदु है
y = (y2)2 ⇒ y = y4
⇒ y = 0, y = 1
∴ x = 0, x = 1
इसलिए, प्रतिच्छेद बिंदु O (0, 0) और (1, 1) हैं;
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\rm \int^1_0(y_2-y_1)dx\)
\(\rm \int^1_0(\sqrt x-x^2)dx\)
\(\rm \left[\frac{x^{3/2}}{3/2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\left[\frac{1^{3/2}}{3/2}-\frac{1^3}{3}\right]-\left[\frac{0^{3/2}}{3/2}-\frac{0^3}{3}\right]\)
= \(\rm \left[\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\right]-[0]=\left(\frac{1}{3}\right)\)
वैकल्पिक विधि:
हम जानते हैं कि यदि परवलय y2 = 4ax और x2 = 4by हैं।
तो परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल = \(\rm \left(\frac{4a\times4b}{3}\right)\)
\(A=\rm \left(\frac{1\times1}{3}\right) =\frac{1}{3}\)
अतः विकल्प 4 सही है।
Application of Integrals Question 3:
वृत्त x2 + y2 = 36 के उस भाग का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए जो परवलय y2 = 9x के बाहर है:
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Integrals Question 3 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है, x2 + y2 = 36…(i) जो परवलय y2 = 9x…(ii) के बाहर है।
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है x2 + 9x = 36
⇒ x2 + 12x - 3x - 36 = 0
⇒ x(x + 12) - 3(x + 12) = 0
⇒ (x + 12)(x - 3) = 0
⇒ x = 3[चूँकि वे धनात्मक x-अक्ष पर मिलते हैं]
⇒ y = ± 3√3
∴ वक्र बिंदु (3, ± 3√3) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
∴ आवश्यक क्षेत्रफल
= \(\pi r^2-2\left[\int_0^3 \sqrt{9 x} d x+\int_3^6 \sqrt{36-x^2} d x\right]\)
= \(36 \pi-12 \sqrt{3}-2\left(\frac{x}{2} \sqrt{36-x^2}+18 \sin ^{-1}\left(\frac{x}{6}\right)\right)_3^6\)
= \(36 \pi-12 \sqrt{3}-2\left(9-\left(\frac{9 \sqrt{3}}{2}+3 \pi\right)\right)\)
= 24π - 3√3
∴ आवश्यक क्षेत्रफल 24π - 3√3 है।
सही उत्तर विकल्प 4 है।
Application of Integrals Question 4:
क्षेत्र {(x, y) ∈ R|4x2 ≤ y ≤ 8x + 12} का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) है:
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Integrals Question 4 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,
4x2 = 8x + 12
⇒ x2 − 2x − 3 = 0
⇒ x = 3, −1
परिबद्ध क्षेत्रफल निम्नवत दिया गया है
\(A = \int_{-1}^{3} (8x + 12 - 4x^2) \, dx \)
\(A = \left[ \frac{8x^2}{2} + 12x - \frac{4x^3}{3} \right]_{-1}^{3} \)
= 44 - (4/3)
= 128/3
इसलिए सही विकल्प (2) है।
Application of Integrals Question 5:
A = {(x, y ); x2 ≤ y ≤ min {x + 2, 4 - 3x}} द्वारा दिए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल है
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Integrals Question 5 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है, A = {(x, y) : x2 ≤ y ≤ min {x + 2, 4 - 3x}
अब, y = min {x + 2, 4 - 3x} = \(\left\{\begin{matrix} x+2, & x\leq\frac{1}{2} \\ 4x-3, & x>\frac{1}{2} \\ \end{matrix}\right.\)
∴ अभीष्ट क्षेत्र का क्षेत्रफल
\(A=\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\left(x+2-x^2\right) d x+\int_{\frac{1}{2}}^1\left(4-3 x-x^2\right) d x\)
= \(\left[\frac{x^2}{2}+2 x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{\frac{1}{2}}+\left[4 x-\frac{3 x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{\frac{1}{2}}^1\)
= \(\left(\frac{1}{8}+1-\frac{1}{24}\right)-\left(\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}\right)+\left(4-\frac{3}{2}-\frac{1}{3}\right)-\left(2-\frac{3}{8}-\frac{1}{24}\right)\)
= \(\frac{17}{6}\)
∴ क्षेत्र का क्षेत्रफल \(\frac{17}{6}\) है।
सही उत्तर विकल्प 2 है।
Top Application of Integrals MCQ Objective Questions
रेखा y = 1 से घिरे परवलय x2 = y का क्षेत्रफल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Integrals Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
x = a और x = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = \(\rm\int_{a}^{b}ydx\)
y = a और y = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = \(\rm\int_{a}^{b}xdy\)
गणना:
यहाँ, x2 = y और रेखा y = 1 परवलय को काटती है।
∴ x2 = 1
x = 1 और -1
अब,
\( \text{Area =}\int_{-1}^{1} y d x \)
यहां, वक्र y- अक्ष के सममित है, हम एक तरफ क्षेत्र को पा सकते हैं और फिर इसे 2 से गुणा कर सकते हैं, हम क्षेत्रफल को प्राप्त करेंगे,
\( \text{Area } -1= \int_{0}^{1} y d x \)
\( \text{Area}_1 = \int_{0}^{1} x^{2} d x \)
\(= \rm\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\)
यह क्षेत्र y = x2 और x-axis के बीच है I
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें इस क्षेत्रफल को वर्ग के क्षेत्रफल से घटाना होगा अर्थात।
\((1 \times 1)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)
\(Total\;Area=2\times{\frac{2}{3}} =\frac{4}{3}\) वर्ग इकाई I
वक्र y = \(\rm \sqrt{16-x^2}\) और x - अक्ष द्वारा परिबद्ध भाग का क्षेत्रफल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Integrals Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
\(\int\sqrt{a^2-x^2}\;dx=\frac{x}{2} {\sqrt{x^2-a^2}}+\frac{a^2}{2}sin^{-1}\frac{x}{a}+c\)
फलन y = √f(x), f(x) 0 के लिए परिभाषित है। इसलिए y ऋणात्मक नहीं हो सकता।
गणना:
दिया गया है:
y = \(\rm \sqrt{16-x^2}\) और x - अक्ष
x - अक्ष पर, y शून्य होगा।
y = \(\rm \sqrt{16-x^2}\)
⇒ 0 = \(\rm \sqrt{16-x^2}\)
⇒ 16 - x2 = 0
⇒ x2 = 16
∴ x = ± 4
इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु (4, 0) और (−4, 0) हैं।
चूँकि, वक्र y = \(\rm \sqrt{16-x^2}\) है
तो, y ≥ o [सदैव]
तो, हम वृत्ताकार भाग लेंगे जो x-अक्ष के ऊपर है
वक्र का क्षेत्रफल, A \(\rm =\int_{-4}^{4}\sqrt{16-x^2}\;dx\)
हम जानते हैं कि,
\(\int√{a^2-x^2}\;dx=\frac{x}{2} {√{x^2-a^2}}+\frac{a^2}{2}sin^{-1}\frac{x}{a}+c\)
= \( \rm [ \frac x 2 \sqrt{(4^2- x^2) }+ \frac {16}{2}sin^{-1} \frac x4]_{-4}^{4 }\)
= \( \rm [ \frac x 2 \sqrt{(4^2- 4^2) }+ \frac {16}{2}sin^{-1} \frac 44]- \rm [ \frac x 2 \sqrt{(4^2- (-4)^2) }+ \frac {16}{2}sin^{-1} \frac {4}{-4})]\)
= 8 sin-1 (1) + 8 sin-1 (1)
= 16 sin-1 (1)
= 16 × π/2
= 8π वर्ग इकाई
वक्र y = sin x, y = cos x, 0 ≤ x ≤ π/2 के बीच संलग्न क्षेत्र क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Integrals Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFगणना:
संलग्न क्षेत्र
\( = 2\mathop \smallint \nolimits_0^{\pi /4} \left( {\cos x - \sin x} \right)dx\)
\( = 2\left[ {\sin x + \cos x} \right]_0^{\pi /4}\)
\( = 2\left[ {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) - \left( {0 + 1} \right)} \right]\)
\( = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)
परवलय x = 4 - y2 और y - अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल वर्ग इकाई में कितना है?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Integrals Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
समाकलन द्वारा वक्र के तहत क्षेत्रफल
इस वक्र के तहत क्षेत्रफल को ऊर्ध्वाधर रूप से योग द्वारा ज्ञात कीजिए।
- इस स्थिति में हम यह ज्ञात करते हैं कि क्षेत्रफल आयत की ऊंचाई x = f(y) और चौड़ाई dy का योग होता है।
- यदि हमें y = f(x) दिया गया है, तो हमें इसे x = f(y) के रूप में पुनःव्यक्त करने की आवश्यकता है और हमें इसका योग नीचे से शीर्ष तक करने की आवश्यकता है।
इसलिए, \({\bf{A}} = \mathop \smallint \nolimits_{\bf{a}}^{\bf{b}} {\bf{xdy}} = \mathop \smallint \nolimits_{\bf{a}}^{\bf{b}} {\bf{f}}\left( {\bf{y}} \right){\bf{dy}}\)
गणना:
दिया गया वक्र: x = 4 - y2
⇒ y2 = 4 - x
⇒ y2 = - (x - 4)
उपरोक्त वक्र परवलय का समीकरण है,
हम जानते हैं कि y - अक्ष पर; x = 0
⇒ y2 = 4 - x
⇒ y2 = 4 - 0 = 4
⇒ y = ± 2
⇒ (x, y) = (0, 2) या (0, -2) प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
वक्र के तहत क्षेत्रफल \( = \mathop \int \nolimits_{-2}^2 {\rm{xdy}}\)
\(= \rm \int_{-2}^2 (4-y^2)dy\)
\(\rm = \left[4y- {\frac{{{{ {{\rm{y}} } }^3}}}{3}} \right]_{-2}^2\)
\(= \frac{32}{3}\) वर्ग इकाई
निम्नलिखित में से किस समाकलन द्वारा त्रिज्या 'a' वाले एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Integrals Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
वृत्त का समीकरण x2 + y2 = a2 द्वारा दिया गया है
आइए पट्टी को y-दिशा के साथ लें और इसे 0 से 'a' में समाकलित करें इससे पहले चतुर्थांश का क्षेत्रफल मिलेगा और एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए 4 से गुणा करें
\(y = \sqrt {x^2 - a^2}\)
प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\mathop \smallint \limits_0^a y\;dx\) = \(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)
वृत्त का क्षेत्रफल = 4 × \(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)
परवलय y = 3x2 और x2 - y + 4 = 0 से घिरा क्षेत्रफल है:
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Integrals Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
परवलय y = 3x2 और x2 - y + 4 = 0
संकल्पना:
दो वक्रों y1 और y2 के बीच के क्षेत्रफल की संकल्पना को x = a और x = b के बीच लागू करने पर
\(\rm A=\int_a^b(y_1-y_2)\ dx\)
गणना:
परवलय y = 3x2 और x2 - y + 4 = 0
तब 3x2 = x2 + 4
⇒ x2 = 2
⇒ x = ± √ 2
तब क्षेत्रफल है
\(\rm A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(x^2+4-3x^2) \ dx\)
\(\rm A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(4-2x^2) \ dx\)
\(\rm A=[4x-2\frac{x^3}{3}]_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\)
\(\rm A=4[\sqrt2-(-\sqrt2)]-\frac{2}{3}[{\sqrt2}^3-{(-\sqrt2)}^3]\)
\(\rm A=8\sqrt2-\frac{8}{3}\sqrt2\)
\(\rm A=\frac{16\sqrt2}{3}\) वर्ग इकाई
अतः विकल्प (4) सही है।
अंतिम बिंदु x = [-2, 3] के बीच वक्र y = 4x3 का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Integrals Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
वक्र y = f(x) के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
A = \(\rm \int_{x_1}^{x_2}f(x) dx\)
जहाँ x1 और x2 अंतिम बिंदु हैं जिसके बीच क्षेत्रफल की आवश्यकता होती है।
Imp. Note: कुल क्षेत्र x-अक्ष के नीचे के क्षेत्र और एक्स-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र के अलावा होगा।
गणना:
f(x) = y = 4x3
दिया गया अंतिम बिंदु x1 = -2, x2 = 3
वक्र का क्षेत्रफल (A) = \(\rm \left|\int_{-2}^3 4x^3dx\right|\)
⇒ A = \(\rm \left|\int_{-2}^0 4x^3dx\right| + \left|\int_0^3 4x^3dx\right|\)
⇒ A = \(\rm \left|4\left[x^4\over4\right]_{-2}^0\right| + \left|4\left[x^4\over4\right]_0^3\right|\)
⇒ A = \(\rm \left|\left[0- 2^4\right]\right| + \left|\left[3^4 - 0\right]\right| \)
⇒ A = \(\rm \left|-16\right| + \left|81\right|\)
⇒ A = 97
Additional Information
समाकल गुण:
- ∫ xn dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\)+ C ; n ≠ -1
- \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C
- ∫ ex dx = ex+ C
- ∫ ax dx = (ax/ln a) + C ; a > 0, a ≠ 1
- ∫ sin x dx = - cos x + C
- ∫ cos x dx = sin x + C
वक्र y = x2 और रेखा y = 16 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Integrals Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFस्पष्टीकरण:
दिए गए वक्रों के समीकरण हैं
y = x2 --- (1) और y = 16 --- (2)
दोनों समीकरणों (1) और (2) को हल करके हमारे पास है:
x2 = 16
x = 4, -4
∴ प्रतिच्छेदन के बिंदु (4, 16) और (-4, 16) हैं।
आकृति से हमारे पास है
\(Required~Area~=~∫_{-4}^4(16-x^2)~dx \)
समाकल गुण का उपयोग करके हमारे पास है
\(A=~2∫_{0}^4(16-x^2)~dx \)
\(= 2\left[ {16x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^4\)
\(= 2\left[ {16x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^4\)
\( = 2\left[ {64 - \frac{{64}}{3}} \right] \)
\(= 2 \times 64 \times \frac{2}{3}\;\)
\(A=\frac{256}{3}~sq.units\)
Alternate Method
एक अन्य विधि भी है जिसके द्वारा हम समस्या को हल कर सकते हैं,
क्षैतिज पट्टी पर विचार करके और समरूपता की स्थिति से हमारे पास है:
\(Area~=~2\int_0^{16}x~dy\)
\(Area~=~2\int_0^{16}\sqrt{y}~dy\)
\(Area~=~2~\times~\frac{2}{3}~\times~[y^{\frac{3}{2}}]_0^{16} \)
\(Area~=~2\times \frac{2}{3}\times [16^{\frac{3}{2}}-0]\)
क्षेत्रफल = \(\frac{256}{3}~sq.unit\)
वक्र y = x2 और रेखा x = -1, x = 2 और x - अक्ष के तहत क्षेत्रफल कितना है?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Integrals Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
समाकलन द्वारा वक्र के तहत क्षेत्रफल:
इस वक्र के तहत क्षेत्रफल को क्षैतिज रूप से जोड़कर ज्ञात कीजिए।
इस स्थिति में हम क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं जो आयत, ऊंचाई y = f(x) और चौड़ाई dx का योग है।
हमें बाएँ से दाएँ तक योग ज्ञात करने की आवश्यकता है।
∴ क्षेत्रफल = \( \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{ydx}} = {\rm{\;}}\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}\)
गणना:
यहाँ, हम वक्र y = x2, x - अक्ष और कोटि अंक x = - 1 और x = 2 द्वारा परिबाधा क्षेत्रफल को ज्ञात करना है।
इसलिए, दिए गए वक्र द्वारा संलग्न क्षेत्रफल को \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\) द्वारा ज्ञात किया गया है।
चूँकि हम जानते हैं कि,\(\smallint {{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{dx}} = \frac{{{{\rm{x}}^{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} + {\rm{C}}\)
क्षेत्रफल = \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\)
= \( \rm \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_{-1}^2\)
= \(\left[\frac 83 - \frac {-1}{3}\right] = \frac 93=3\)
क्षेत्रफल = 3 वर्ग इकाई
वक्र y = x - 1 और y2 = 2x + 6 से घिरा क्षेत्रफल का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Integrals Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
दिए गए वक्र y = x - 1 और y2 = 2x + 6 हैं।
इन्हे हल करने पर हमें प्राप्त होगा,
y2 = 2(y + 1) + 6
⇒ y2 - 2y - 8 = 0
⇒ (y - 4)(y + 2) = 0
⇒ y = -2, 4
अब, हम निम्न के द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं
A = \(\int_{-2}^{4}\left [y+1-\left ( \frac{y^{2}}{2}-3 \right ) \right ]dy \)
= \(\int_{-2}^{4}\left (4+y-\frac{y^{2}}{2} \right )dy \)
= \(\left [ 4y+\frac{y^{2}}{2} -\frac{y^{3}}{6}\right ]_{-2}^{4}\)
= \(16+8-\frac{32}{3}-\left ( -8+2+\frac{4}{3} \right )\)
∴ A = 18