Congruence MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Congruence - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 2, 2025
Latest Congruence MCQ Objective Questions
Congruence Question 1:
सर्वांगसम संबंध 2x ≡ 1 (mod 7) का हल है।
Answer (Detailed Solution Below)
Congruence Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
संग्रह संबंध \(2x \equiv 1 \mod{7}\) को हल करने के लिए, हमें एक पूर्णांक x ज्ञात करने की आवश्यकता है
जिसका 2 से गुणा करने पर, 7 से भाग देने पर शेषफल 1 बचता है।
हमें एक पूर्णांक y ज्ञात करने की आवश्यकता है जिससे:
\(2y \equiv 1 \mod{7}\)
हम y के मान 1 से 6 तक जाँच सकते हैं:
y = 1 के लिए: 2 . 1 = 2 (1 के तुल्य नहीं है)
y = 2 के लिए: 2 . 2 = 4 (1 के तुल्य नहीं है)
y = 3 के लिए: 2 . 3 = 6 (1 के तुल्य नहीं है)
y = 4 के लिए: 2 . 4 = 8 \(\equiv 1 \mod{7}\)
इसलिए, y = 4, 2 का 7 मॉड्यूलो में गुणात्मक प्रतिलोम है।
अब हम मूल संग्रह \(2x \equiv 1 \mod{7}\) के दोनों पक्षों को
4 से गुणा कर सकते हैं,
\(4 \cdot (2x) \equiv 4 \cdot 1 \mod{7}\)
इसलिए विकल्प 1 सही है।
Congruence Question 2:
फलन f(x) = x2 - 4x + 4 लीजिए। माना कि n समीकरण f(x) = 0 के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या है, और माना कि ϕ(n), n के लिए ऑयलर का टॉसेन्ट फलन है।
निम्नलिखित में से कौन सा कथन ϕ(n) के लिए सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Congruence Question 2 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
एक धनात्मक पूर्णांक n के लिए, ऑयलर का टॉसेन्ट फलन इस प्रकार परिभाषित है:
\( \phi(n) = \text{number of positive integers } k \leq n \text{ such that } \text{gcd}(n, k) = 1\)
यहाँ, gcd(n, k), n और k का महत्तम समापवर्तक है।
ऑयलर के टॉसेन्ट फलन के कुछ गुणों में शामिल हैं:
- ϕ(1) = 1, क्योंकि 1 के पास स्वयं से कम कोई धनात्मक पूर्णांक नहीं है।
व्याख्या:
दिया गया है: f(x) = x2 - 4x + 4
f(x) = 0
⇒ x2 - 4x + 4 = 0
⇒ (x - 2)2 = 0
⇒ x - 2 = 0
⇒ x = 2
इस प्रकार, दिए गए समीकरण f(x) = 0 का केवल एक हल x = 2 है।
इस प्रकार, n = 1.
इस प्रकार, ϕ(n) = ϕ(1) = 1
1 न तो अभाज्य है और न ही सम संख्या है।
इस प्रकार, विकल्प 1 और 2 गलत हैं।
1, 3 का गुणज भी नहीं है, इसलिए विकल्प 4 भी सही नहीं है।
इस प्रकार, सही विकल्प विकल्प 3 है।
Congruence Question 3:
26 ≡ 5 (mod x) को संतुष्ट करने वाले x के मानों का समुच्चय ______ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Congruence Question 3 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
हम 26 और 5 के बीच अंतर के संभावित गुणनखंडों पर विचार करके शुरुआत कर सकते हैं, जो 26 - 5 = 21 है।
21 के गुणनखंड 1, 3, 7 और 21 हैं।
अब, आइए जाँच करते है कि इनमें से कौन सा मान 26 ≡ 5 (mod x) को संतुष्ट करता है।
x = 1 के लिए, 26 और 5 सर्वांगसम नहीं हैं क्योंकि किसी भी पूर्णांक को 1 से विभाजित करने पर शेषफल सदैव वही संख्या प्राप्त होती है।
x = 3 के लिए, 26 ≡ 5 (mod 3) है क्योंकि 3 से विभाजित करने पर 26 और 5 दोनों में समान शेषफल 2 प्राप्त होता हैं।
x = 7 के लिए, 26 ≡ 5 (mod 7) है क्योंकि 7 से विभाजित करने पर 26 और 5 दोनों में समान शेषफल 5 प्राप्त होता हैं।
x = 21 के लिए, 26 ≡ 5 (mod 21) है क्योंकि 21 से विभाजित करने पर 26 और 5 दोनों में समान शेषफल 5 प्राप्त होता हैं।
इसलिए, 26 ≡ 5 (mod x) को संतुष्ट करने वाले x के मानों का समुच्चय {3, 7, 21} है।
अतः, विकल्प (4) सही है।
Congruence Question 4:
जब 162016 को 9 से भाजित किया जाता है तो पाये जाने वाला शेष है
Answer (Detailed Solution Below)
Congruence Question 4 Detailed Solution
Congruence Question 5:
अगर 27! = x (मोड 29), तो x का मान _______ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Congruence Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
रैखिक सर्वांगसमता: रूप ax ≡ b(मोड m) की सर्वांगसमता जहाँ x एक अज्ञात पूर्णांक है, एक चर में रैखिक सर्वांगसमता कहलाती है, जहाँ,
a, b और m पूर्णांक हैं जिनमें m अभाज्य संख्या होनी चाहिए।
विल्सन प्रमेय: इस प्रमेय के अनुसार, यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो
(p - 1)! = -1 (मोड P)
दूसरे शब्दों में, जब (P-1)! को P से भाग दिया जाता है तो शेष p - 1 है
⇒ \(\rm Rem\ \left[\dfrac{(P - 1)!}{P}\right] = P \ - \ 1\)
जहाँ n! = n(n - 1)(n - 2).......3.2.1
उसी प्रकार
(P - 2)! = 1(मोड P)
\(\rm (P\ - \ 3)!\ = \dfrac{P - 1}{2}(mod \ P)\)
गणना:
दिया गया है
27! = x (मोड 29) ---(1)
हम देख सकते हैं कि, P = 29 जो अभाज्य संख्या है। इसलिए, विल्सन प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।
हम जानते हैं कि
(P - 2)! = 1(मोड P)
इस गुण के साथ (1) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करेंगे
x = 1
अतः विकल्प 1 सही विकल्प है।
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\(x\ \equiv 5 \ mod(25)\) और \(x\ \equiv 32 \ mod(23)\) का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
Answer (Detailed Solution Below)
Congruence Question 6 Detailed Solution
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चीनी शेष प्रमेय (CRT):
मान लीजिए a और b दो अपेक्षाकृत अभाज्य (सहअभाज्य) संख्याएँ हैं जैसे कि 0 r < a और 0 s < b। एक अद्वितीय संख्या N मौजूद है जैसे कि 0 N \(r\ \equiv N \ mod(a)\) \(s\ \equiv N \ mod(b)\) अर्थात N के पास a से भाग देने पर r शेष रहता है और b से भाग देने पर s शेष रहता है। गणना: दी गई एक साथ सर्वांगसमताएं हैं \(x\ \equiv 5 \ mod(25)\) ---- (1) \(x\ \equiv 32 \ mod(23)\) ---- (2) इसका अर्थ है कि हमें x को इस प्रकार ज्ञात करना है कि जब इसे 25 से विभाजित किया जाए तो शेषफल 5 प्राप्त होता है और 23 से भाग देने पर शेषफल 32 प्राप्त होता है। ⇒ x = 25a + 5 जहां, a = 0, 1, 2,.... ⇒ x = 5, 30, 55, 80,..... x = 23b + 32 ⇒ x = 32, 55, 87,.... x दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करेगा। x = 55 ∵ 25 & 23 का LCM is 575 है। अत: x का सामान्य
यदि a एक पूर्ण संख्या है और p एक अभाज्य संख्या है तो फेरमाट प्रमेय के अनुसार:
Answer (Detailed Solution Below)
Congruence Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
फेरमाट की छोटी प्रमेय: इसका आशय है कि यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो किसी भी पूर्णांक a के लिए, संख्या a p - a, p का एक पूर्णांक गुणज है।
- यहाँ p एक अभाज्य संख्या है ap ≡ a (मोड p).
- यदि 2p ≡ 2 (mod p) अर्थात 2p - 2, p से भाज्य है।
x = 3 (mod9), x = 7 (mod13) को हल करने के लिए चीनी शेषफल प्रमेय लागू कीजिये। सामान्य हल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Congruence Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
X = 3 (mod 9), X = 7 (mod 13)
अवधारणा:
चीनी शेषफल प्रमेय:
यदि m1, m2, .., mk युग्मानुसार अपेक्षाकृत अभाज्य पूर्णांक हैं, और यदि a1, a2, .., ak कोई पूर्णांक हैं, तो
समकालिक सर्वांगसमताएं
x ≡ a1 (mod m1),
x ≡ a2 (mod m2)
x ≡ ak (mod mk)
एक हल है, और हल अद्वितीय मोड्युलो M है, जहाँ
M = m1m2⋅⋅⋅mk .
अब, x का हल दिया गया है
X = M1X1a1 + M2X2a2+......... + MkXkak
जहाँ,
\(M_i = \frac{M}{m_i}\), I = 1, 2, 3, ....K
और
MiXi ≡ 1 mod(mi)
गणना:
हमारे पास दिया गया है,
x = 3 (mod9),
x = 7 (mod13)
m1 = 9 और m2 = 13 जो अपेक्षाकृत सह अभाज्य है।
और, a1 = 3 और a2 = 7, जो पूर्णांक है।
अत: चीनी शेषफल प्रमेय की स्थिति संतुष्ट होती है।
इसलिए, प्रमेय के अनुसार, मॉड्यूलो के लिए x का अद्वितीय हल होगा
M = 9 × 13 = 117
अब, संबंध का उपयोग करने पर,
\(M_i = \frac{M}{m_i}\)
हमें प्राप्त होगा
M1 = 13 और M2 = 9
X1 और X2 की गणना करने के लिए हम संबंध का उपयोग कर सकते हैं,
MiXi ≡ 1 (mod mi)
⇒ 13X1 ≡ 1 (mod 9)
⇒ 4X1 ≡ 1 (mod 13)
दोनों पक्षों को 7 से गुणा करने पर, हमें निम्न प्राप्त होगा
28X1 ≡ 7 (mod 9)
⇒ X1 ≡ 7 (mod 9)
⇒ X1 = 7
पुन:, उपरोक्त संबंध का उपयोग करने पर,
9X2 ≡ 1 mod(13)
⇒ 27X2 ≡ 3 mod(13)
⇒ X2 ≡ 3 mod(13)
⇒ X2 = 3
अत: x का अद्वितीय हल होगा
X = M1X1a1 + M2X2a2
⇒ X = 13 × 7 × 3 + 9 × 3 × 7 = 138
⇒ X ≡ 462 mod(117)
⇒ X ≡ 111 mod(117)
220 + 330 + 440 + 550 + 117 को 7 से विभाजित करने पर शेषफल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Congruence Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
फर्मेट का प्रमेय:
- यदि p एक अभाज्य है और p, a को विभाजित नहीं करता है, तो a p - 1 ≡ 1(mod p)
- यदि a ≡ b (mod n) और c ≡ d (mod n) तो a + c ≡ b + d (mod n) जहां a, b, c, d कोई पूर्णांक हैं।
गणना:
यहाँ 7 एक अभाज्य है
और gcd(2, 7) = gcd(3, 7) = gcd(4, 7) = gcd(5, 7) = gcd(11, 7) = 1
अत: फर्मेट की प्रमेय का प्रयोग करते हुए,
निम्न पर विचार करें,
27 - 1 ≡ 1(mod 7)
⇒ 26 ≡ 1(mod 7)
⇒ ( 26)3 ≡ 1(mod 7)
⇒ 218 ≡ 1(mod 7)
22 से सर्वत्र गुणा करें, हमें मिलता है
⇒ 218 . 22 ≡ 22 (mod 7)
⇒ 220 ≡ 4(mod 7) .....(1)
आगे निम्न पर विचार करें,
37 - 1 ≡ 1(mod 7)
⇒ 36 ≡ 1(mod 7)
⇒ ( 36)5 ≡ 1(mod 7)
⇒ 330 ≡ 1(mod 7) ......(2)
आगे निम्न पर विचार करें,
47 - 1 ≡ 1(mod 7)
⇒46 ≡ 1(mod 7)
⇒ ( 46)6 ≡ 1(mod 7)
⇒ 436 ≡ 1(mod 7)
44 से सर्वत्र गुणा करें, हमें मिलता है
⇒ 436. 44 ≡ 44 (mod 7)
⇒ 440 ≡ 256 (mod 7)
⇒ 440 ≡ 4(mod 7) ......(3)
आगे निम्न पर विचार करें,
57 - 1 ≡ 1(mod 7)
⇒56 ≡ 1(mod 7)
⇒ ( 56)8 ≡ 1(mod 7)
⇒ 548 ≡ 1(mod 7)
52 से सर्वत्र गुणा करें, हमें मिलता है
⇒ 548 . 52 ≡ 52 (mod 7)
⇒ 550 ≡ 25 (mod 7)
⇒ 550 ≡ 4 (mod 7) ....(4)
अंत में निम्न पर विचार करें,
117 - 1 ≡ 1(mod 7)
⇒116 ≡ 1(mod 7)
सर्वत्र 11 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है
⇒116 . 11 ≡ 11 (mod 7)
⇒ 117 ≡ 11(mod 7)
⇒ 117 ≡ 4(mod 7) ......(5)
अब (1), (2), (3), (4) और (5) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है,
220 + 330 + 440 + 550 + 117 ≡ (4 + 1 + 4 + 4 + 4 )(mod 7) | (6) का उपयोग करके
⇒ 220 + 330 + 440 + 550 + 117 ≡ 17 (mod 7)
⇒ 220 + 330 + 440 + 550 + 117 ≡ 3 (mod 7)
इसलिए सही उत्तर विकल्प 4) है
माना n >1 निश्चित है और a, b, c, d स्वेच्छ पूर्णांक हैं। यदि a ≡ b (मॉड n) और c ≡ d (मॉड n) है, तो _______।
Answer (Detailed Solution Below)
Congruence Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा :
किसी निश्चित पूर्णांक n > 1 के लिए और किसी भी स्वेच्छ पूर्णांक a, b, c और d के लिए।
यदि a b (मॉड n) और c ≡ d (मॉड n) तो
- a + c b + d (मॉड n) और
- ac ≡ bd (मॉड n)
प्रमाण:
सबसे पहले,
दिया गया है कि, a ≡ b(मॉड n) और c ≡ d (मॉड n)
⇒ n | (a - b) और n | (c - d)
⇒ a - b = hn और c - d = kn; कुछ पूर्णांकों h और k के लिए --- (1)
अब विचार करें, a - b + c - d = nh + nk
⇒ (a + c) - (b + d) = n(h + k) ( ∵ h + k एक पूर्णांक है )
⇒ n | [ (a + c) - (b + d) ]
⇒ a + c ≡ b + d(मॉड n)
अगला,
(1) से हमारे पास है,
a = b + hn और c = d + kn
मान लीजिए, ac = (b + hn) × (d + kn)
⇒ ac = bd + bkn + hnd + hknn
⇒ ac - bd = n (bk + hd + hkn)
⇒ n | ac - bd ( ∵ (bk + hd + hkn) एक पूर्णांक है )
⇒ ac ≡ bd (मॉड n)
अत: सही उत्तर विकल्प 3 है)
हल करने के लिए चीनी शेष प्रमेय लागू कीजिये
X = 3 (मोड 5), X = 5 (मोड 7)। सामान्य समाधान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Congruence Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया है:
X = 3 (मोड 5), X = 5 (मोड 7)
अवधारणा:
चीनी शेष प्रमेय:
यदि m1, m2, .., mk जोड़ीवार अपेक्षाकृत अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं, और यदि a1, a2, .., ak कोई पूर्णांक हैं, तब
एक साथ सर्वांगसमताएँ
x ≡ a1 (मोड m1),
x ≡ a2 (मोड m2)
x ≡ ak (मोड mk)
एक हल है, और हल अद्वितीय सापेक्ष M है, जहाँ
M = m1m2⋅⋅⋅mk
अब, हल x द्वारा दिया गया है
X = M1X1a1 + M2X2a2+......... + MkXkak
जहाँ,
\(M_i = \frac{M}{m_i}\), I = 1, 2, 3, ....K
और
MiXi ≡ 1 मोड(mi)
सापेक्ष या मापांक या मोड: यह एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने के बाद का शेष है।
गणना:
हमें दिया गया है,
m1 = 5 और m2 = 7 जो अपेक्षाकृत सह-अभाज्य हैं।
साथ ही, a1 = 3 और a2 = 5, जो पूर्णांक हैं।
इसलिए चीनी शेष प्रमेय की स्थिति संतुष्ट है।
इसलिए, प्रमेय के अनुसार, सापेक्ष के लिए x का अद्वितीय हल होगा
M = 5 × 7 = 35
अब, संबंध का प्रयोग करते हुए,
\(M_i = \frac{M}{m_i}\)
हमें मिलेगा
M1 = 7 और M2 = 5
X1 और X2 की गणना करने के लिए हम संबंध का प्रयोग कर सकते हैं,
MiXi ≡ 1 मोड(mi)
⇒ 7X1 ≡ 1 मोड(5)
⇒ 2X1 ≡ 1 मोड(5)
दोनों भुजाओं को 3 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त
6X1 ≡ 3 मोड(5)
⇒ X1 ≡ 3 मोड(5)
⇒ X1 = 3
पुनः, उपरोक्त संबंध का प्रयोग करते हुए
5X2 ≡ 1 मोड(7)
⇒ 15X2 ≡ 3 मोड(7)
⇒ X2 ≡ 3 मोड(7)
⇒ X2 = 3
इसलिए x का अद्वितीय हल होगा
X = M1X1a1 + M2X2a2
⇒ X = 7 × 3 × 3 + 5 × 5 × 3 = 138
⇒ X ≡ 138 मोड(35)
⇒ X ≡ 33 मोड(35)
अगर 27! = x (मोड 29), तो x का मान _______ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Congruence Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
रैखिक सर्वांगसमता: रूप ax ≡ b(मोड m) की सर्वांगसमता जहाँ x एक अज्ञात पूर्णांक है, एक चर में रैखिक सर्वांगसमता कहलाती है, जहाँ,
a, b और m पूर्णांक हैं जिनमें m अभाज्य संख्या होनी चाहिए।
विल्सन प्रमेय: इस प्रमेय के अनुसार, यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो
(p - 1)! = -1 (मोड P)
दूसरे शब्दों में, जब (P-1)! को P से भाग दिया जाता है तो शेष p - 1 है
⇒ \(\rm Rem\ \left[\dfrac{(P - 1)!}{P}\right] = P \ - \ 1\)
जहाँ n! = n(n - 1)(n - 2).......3.2.1
उसी प्रकार
(P - 2)! = 1(मोड P)
\(\rm (P\ - \ 3)!\ = \dfrac{P - 1}{2}(mod \ P)\)
गणना:
दिया गया है
27! = x (मोड 29) ---(1)
हम देख सकते हैं कि, P = 29 जो अभाज्य संख्या है। इसलिए, विल्सन प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।
हम जानते हैं कि
(P - 2)! = 1(मोड P)
इस गुण के साथ (1) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करेंगे
x = 1
अतः विकल्प 1 सही विकल्प है।
मान लीजिए k एक mod n का क्रम है तो ab ≡ 1(mod n) यदि और केवल यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Congruence Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFगणना:
माना b ∈ Z इस तरह है कि ab ≡ 1(mod n).
हम विभाजन एल्गोरिथ्म को b और k पर लागू करते हैं, तो हमारे पास है,
b = kq + r जहाँ 0 ≤ r ≤ k
विचार कीजिये, ab = akq + r = (ak)q . ar
परिकल्पना ab ≡ 1(mod n) और ak ≡ 1(mod n) करने पर
अतः, ar ≡ 1(mod n) जहाँ 0 ≤ r ≤ k
∴ r को शून्य के बराबर होना चाहिए और अन्यथा k का विकल्प सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक होता है जैसे कि ak ≡ 1(mod n) का खंडन किया जाएगा।
अतः, b = qk
⇒ k | b
⇒ k, b को विभाजित करता है
अतः, सही उत्तर विकल्प 2) है।
यदि 'p' एक अभाज्य है, तो सर्वांगसमता x2 + 1 ≡ 0 (माप p) का एक हल केवल तभी है जब:
Answer (Detailed Solution Below)
Congruence Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
जैसा कि हम जानते हैं
a \(\equiv\) r (माप b) का अर्थ है जब a को b से विभाजित किया जाता है तो r शेषफल है या इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है
a = bq + r जहाँ q एक घनात्मक पूर्णांक है
यूलर के मानदंड:
यदि p एक अभाज्य है जहाँ p | a है, तब द्विघात सर्वांगसमता x2 \(\equiv\) a (मापm) के हल हैं या हल नहीं हैं, निर्भर करता है यदि \(a^\left({\frac{p-1}{2}}\right)=1. modp\) या \(a^\left({\frac{p-1}{2}}\right)=-1. modp\)
गणना:
x2 + 1 ≡ 0 (माप p)
स्थिति I: x = 1 के लिए
सर्वांगसमता और मापांक की परिभाषा के अनुसार हमारे पास है
p | x2 + 1
माना, x = 1 तब p | 12 + 1 \(\Rightarrow \) p | 2
जैसा कि, p को 2 से विभाजित किया जा सकता है जब p = 2 हो
स्थिति II: x > 1 के लिए
यूलर के मानदंड के अनुसार, p | x2 + 1 केवल तब जब \((-1)^\left({\frac{p-1}{2}}\right)=1. modp\) हो
उपरोक्त शर्त केवल तभी सत्य हो सकती है जब (-1) का घातांक सम हो। (जैसा कि (-1)n = 1 केवल तब जब n सम हो)
इस प्रकार, \(\frac{p-1}{2}\) सम या 2 का गुणक हो सकता है
किसी पूर्णांक m के लिए \(\Rightarrow \frac{p-1}{2}= 2m\)
\(\Rightarrow p-1= 4m\)
p = 4m + 1 जो p ≡ 1 (माप 4) के बराबर है
अतः, यदि 'p' एक अभाज्य है, तो सर्वांगसमता x2 + 1 ≡ 0 (माप p) का एक हल केवल तभी है जब p = 2 या p ≡ 1 (माप 4) है।
x ज्ञात कीजिए यदि x ≡ 1(mod 3) ; x ≡ 2(mod 5) ; x ≡ 3(mod 7) चीनी शेषफल प्रमेय का उपयोग करते हुए रैखिक सर्वांगसमता की युगपत प्रणाली है।
Answer (Detailed Solution Below)
Congruence Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
चीनी शेष प्रमेय: मान लीजिए n1, n2, ... ,nr ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि i ≠ j के लिए (ni, nj) = 1। तब रैखिक सर्वांगसमता x ≡ ai (mod ni) 1 ≤ i ≤ r की प्रणाली का युगपत समाधान है जो अद्वितीय मॉड्यूलो n1, n2, ... ,nr है।
और उपरोक्त रैखिक सर्वांगसमता प्रणाली का समाधान x = a1N1x1 + a2N2x2 + ... + akNkxk द्वारा दिया गया है।
गणना:
दिया गया,
x ≡ 1(mod 3) ; x ≡ 2(mod 5) ; x ≡ 3(mod 7)
हमारे पास n1 = 3 , n2 = 5, n3 = 7 है
और a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3
और, gcd(3, 5) = gcd(5, 7) = gcd(3, 7) = 1
मान लीजिए n = n1. n2. n3
= 3 . 5 . 7
= 105
n = 105
फिर, N1 = n/n1 = 105/3 = 35
N2 = n/n2 = 105/5 = 21
N3 = n/n3 = 105/7 = 15
अब x1, x2 और x3 को खोजने के लिए निम्न सर्वांगसमताओं पर विचार करें
N1x1 ≡ 1(mod n1)
⇒ 35x1 ≡ 1(mod 3)
⇒ x1 = -1
N2x2 ≡ 1(mod n2)
⇒ 21x2 ≡ 1(mod 5)
⇒ x2 = 1
इसी तरह, N3x3 ≡ 1(mod n3)
⇒15x3 ≡ 1(mod 7)
⇒ x3 = 1
अत: x = a1N1x1 + a2N2x2 + a3N3x3 में सभी मानों को प्रतिस्थापित करने पर
x = 1 × 35 × (-1) + 2 × 21 × 1 + 3 × 15 × 1
x = 87 - 35
x = 52
अत: सही उत्तर विकल्प 4) है