Conjugate of Complex Number MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Conjugate of Complex Number - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

यदि एक सम्मिश्र संख्या a ± bi है, तो सम्मिश्र संयुग्मी a ∓ bi होगा और इसके विपरीत।

जहाँ a & b वास्तविक संख्याएँ हैं और i = काल्पनिक संख्या \(=\sqrt{-1}\)

गणना:

दिए गए सम्मिश्र संख्या z = 3i + 7

∴ इस संख्या का सम्मिश्र संयुग्मी = -3i + 7

∴ विकल्प 2 सही है। 

दिया हुआ:

|z - 1 - i| = 1

इस प्रश्न को आलेखीय रूप से हल करें,

|z| = 1

|z - 1 - i| के लिए केंद्र को (1, 1) में स्थानांतरित कर दिया गया है

3(z - i) - 4

(z - i) के लिए आलेख नीचे की ओर स्थानांतरित किया है और केंद्र अब (1, 0) पर है

3(z - i) (केंद्र को (3, 0) पर स्थानांतरित कर दिया गया है)

3(z - i) - 4,

वृत्त को 4 इकाइयों द्वारा स्थानांतरित कर दिया गया है,

∴ हमें एक वृत्त प्राप्त होता है जिसकी त्रिज्या 3 और केंद्र (-1, 0) पर होता है।

संकल्पना:

एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्मी:

एक सम्मिश्र संख्या z = x + iy का संयुग्मी x - iy है और जिसे z के रूप में दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या z = 3 - 4i का संयुग्मी 3 + 4i है।

हल:

\(\frac{1}{2-3i}\)

\(\frac{1}{2-3i}\times \frac{2+3i}{2+3i}\)

\(=\frac{2+3i}{2^{2}+3^{2}}\)

\(=\frac{2+3i}{4+9}\)

\(=\frac{2+3i}{13}\)

\(=\frac{2}{13}+\frac{3}{13}i\)

सम्मिश्र संख्या का संयुग्मी \(\frac{2}{13}-\frac{3}{13}i\) है।

∴ सही विकल्प (2) है।

संकल्पना:

माना कि एक सम्मिश्र संख्या, z = a + ib

सम्मिश्र संख्या का संयुग्म = z̅ = a - ib

सम्मिश्र संख्या का मापांक  = |z| = \(\rm \sqrt{(a^2 + b^2) }\)

गणना:

माना कि, z = a + ib है। 

zz̅ = (a + ib)(a - ib)

= \(\rm a^2-(ib)^2\)

= \(\rm a^2-i^2(b)^2\)

=\(\rm a^2-(ib)^2\)

=\(\rm a^2+b^2\cdots (\because i^2=-1)\)

और, |z|² = \(\rm (\sqrt{a^2+b^2})^2\)

= \(\rm {a^2+b^2}\)

∴ zz̅  = |z|²

अब,

 \(\rm z^{-1}=\frac1 z=\frac{1}{a+ib}\)

=\(\rm \frac{1}{a+ib}\times \frac{a-ib}{a-ib}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}\)

= \(\rm \frac{\bar z}{|z|^2}\)≠ \(\rm \frac {z}{|z|^2}\)

अतः विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्म:

किसी सम्मिश्र संख्या z = x + iy के लिए संयुग्म z̅ को z̅ = x - iy द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

माना कि z = \(\rm {3+2i}\over{2-i}\)  है।

z = \(\rm {3+2i\over2-i} \times{2+i\over2+i}\)

z = \(\rm {6+7i+2i^2\over2^2-(i)^2}\)

z = \(\rm {4 + 7i\over5}\)

z = \(\rm {4\over 5}+{7\over 5}i\)

z का संयुग्म = z̅ = \(\rm {4\over 5}- {7\over 5}i\)

संकल्पना:

माना z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है।

• z का मापांक = \(\left| {\rm{z}} \right| = {\rm{}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}} = {\rm{}}\sqrt {{\rm{Re}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2} + {\rm{Im\;}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2}}\)
• arg (z) = arg (x + iy) = \({\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\)
• संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।
• z का संयुग्म = x – iy

गणना:

माना z = (i - i2)3

⇒ z = i3 (1 - i) 3  = - i (1 - i)³

संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।

⇒ z̅  =  -(- i) (1 - (- i))³

⇒ z̅  =  i(1 + i)³

(a + b) 3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 का उपयोग करना

⇒ z̅  =  i(1 + i3 +3 ×12 × i + 3 × i2 × 1 ) 

⇒ z̅  =  i(1 - i + 3i - 3) 

⇒ z̅  =  i(-2 + 2i)

⇒ z̅  = -2i + 2i2

⇒ z̅  = -2 - 2 i

इसलिए,  (i - i2)3 का संयुग्म -2 - 2i है

संकल्पना:

माना कि z = x + iy सम्मिश्र संख्या है। 

• z का मापांक = \(\left| {\rm{z}} \right| = {\rm{}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}} = {\rm{}}\sqrt {{\rm{Re}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2} + {\rm{Im\;}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2}}\)
• arg (z) = arg (x + iy) = \({\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\)
• z का संयुग्म = z̅ = x – iy

गणना:

दी गयी सम्मिश्र संख्या z = \(\rm 3i+4\over2-3i\) है। 

z = \(\rm {3i+4\over2-3i}\times{2+3i\over2+3i}\)

z = \(\rm 6i+8-9+12i\over2^2-(3i)^2\)

z = \(\rm 18i-1\over13\)

z = \(\rm {-1\over13}+{18\over13}i\)

z का संयुग्म = (z̅) = \(\rm {-1\over13}-{18\over13}i\)

अवधारणा:

माना कि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है,

जहाँ x को सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग या Re (z) कहा जाता है और y को सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग या Im (z) कहा जाता है। 

z = z̅ = x - iy का संयुग्म

गणना:

माना z = \(\rm \frac{(3-i)(1+2i)}{(2+i)(1-3i)}\) है

⇒ z = \(\rm \frac{3+6i-i-2i^{2}}{2-6i+i-3i^{2}}\) \(\rm \frac{3+6i-i+2}{2-6i+i+3}\)

⇒ z = \(\rm \frac{5+5i}{5-5i}\) = \(\rm\frac{1+i}{1-i}\)

⇒ z = \(\rm\frac{1+i}{1-i}\) × \(\rm\frac{1+i}{1+i}\) = \(\rm \frac{1+i^{2}+2i}{1-i^{2}}\) = i

⇒ z = i 

हम जानते हैं कि,z = z̅ = x - iy का संयुग्म

⇒ \(\rm\overline{z}\) = - i 

सही विकल्प 1 है

संकल्पना:

एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्म:

किसी सम्मिश्र संख्या z = x + iy के लिए संयुग्म z̅ को z̅ = x - iy द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

z = \(\rm i + 3 \over 2i + 1\)

z = \(\rm { i + 3 \over 2i + 1}\times {-2i+1\over-2i +1}\)

z = \(\rm -2i^2-6i+i+3\over1 - (2i)^2\)

z = \(\rm {5-5i\over1 + 4}\)

z = \(\rm {5(1 - i)\over5}\)

z = 1 - i

z का संयुग्म = z̅  = 1 + i

संकल्पना:

वृत्त को किसी बिंदु के बिन्दुपथ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक तल में इस प्रकार गति करता है जिससे उस तल में निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी स्थिर होती है।

केंद्र (h, k) और त्रिज्या a वाले वृत्त के समीकरण को निम्न रूप में ज्ञात किया गया है,

(x - h)² + (y - k)² = a²

लेकिन जब वृत्त केंद्र के माध्यम से गुजरता है, तो वृत्त का समीकरण निम्न है

x² + y² - 2 × h × x - 2 × k × y = 0 ----(1)

a² = h² + k²  -----(2)

गणना:

दिया गया है:

z z̅  + (1 + i) z +(1 - i) z̅  = 0

चूँकि हम जानते हैं,

z = x + iy, z̅ = x - iy उपरोक्त दिए गए समीकरण में इन मानों का प्रयोग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

(x + iy)(x - iy) + (1 + i)(x + iy) + (1 - i)(x - iy) = 0

x² + y² + x + iy + ix - y + x - iy - ix - y = 0

x² + y² + 2x - 2y = 0 -----(3)

(1) के साथ (3) की तुलना करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

h = -1 और k = 1 जो वृत्त का केंद्र हैं। 

(2) में h, k मानों का प्रयोग करने पर हमें √2 के रूप में वृत्त की त्रिज्या प्राप्त होती है। 

एक गैर-विकृत शंक्वाकार भाग का सामान्य समीकरण निम्न है: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 जहाँ A, B और C सभी शून्य नहीं हैं। 

उपरोक्त दिया गया समीकरण गैर-विकृत शंक्वाकार को दर्शाता है जिसकी प्रकृति तालिका में नीचे दी गयी है:

संकल्पना:

माना कि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है।

• z का मापांक = \(\left| {\rm{z}} \right| = {\rm{}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}} = {\rm{}}\sqrt {{\rm{Re}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2} + {\rm{Im\;}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2}}\)
• arg (z) = arg (x + iy) = \({\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\)
• z का संयुग्म = z̅ = x – iy

गणना:

दी गयी सम्मिश्र संख्या z = \(\rm i+2\over1-3i\) है। 

z = \(\rm {i+2\over1-3i}\times{1+3i\over1+3i}\)

z = \(\rm i+2+6i+3i^2\over1^2-(3i)^2\)

z = \(\rm 7i-1\over10\)

z = \(\rm {-1\over10}+{7\over10}i\)

z का संयुग्म = (z̅) = \(\rm {-1\over10}-{7\over10}i\)

नोट:

सम्मिश्र संयुग्म में समान वास्तविक भाग होता है जो z और समान काल्पनिक भाग होता है लेकिन विपरीत चिन्ह के साथ।

संकल्पना:

एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्म:

किसी सम्मिश्र संख्या z = x + iy के लिए संयुग्म z̅ को z̅ = x - iy द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

माना कि z = \(\rm {3+2i}\over{2-i}\)  है।

z = \(\rm {3+2i\over2-i} \times{2+i\over2+i}\)

z = \(\rm {6+7i+2i^2\over2^2-(i)^2}\)

z = \(\rm {4 + 7i\over5}\)

z = \(\rm {4\over 5}+{7\over 5}i\)

z का संयुग्म = z̅ = \(\rm {4\over 5}- {7\over 5}i\)

संकल्पना:

माना कि एक सम्मिश्र संख्या, z = a + ib

सम्मिश्र संख्या का संयुग्म = z̅ = a - ib

सम्मिश्र संख्या का मापांक  = |z| = \(\rm \sqrt{(a^2 + b^2) }\)

गणना:

माना कि, z = a + ib है। 

zz̅ = (a + ib)(a - ib)

= \(\rm a^2-(ib)^2\)

= \(\rm a^2-i^2(b)^2\)

=\(\rm a^2-(ib)^2\)

=\(\rm a^2+b^2\cdots (\because i^2=-1)\)

और, |z|² = \(\rm (\sqrt{a^2+b^2})^2\)

= \(\rm {a^2+b^2}\)

∴ zz̅  = |z|²

अब,

 \(\rm z^{-1}=\frac1 z=\frac{1}{a+ib}\)

=\(\rm \frac{1}{a+ib}\times \frac{a-ib}{a-ib}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}\)

= \(\rm \frac{\bar z}{|z|^2}\)≠ \(\rm \frac {z}{|z|^2}\)

अतः विकल्प (1) सही है। 

अवधारणा:

• सम्मिश्र फलन का संयुग्मी, i का चिह्न बदलकर दिया जाता है।
• यदि z = x + iy, तब \( \overline{z} \)= x - iy

व्याख्या:

दिया गया है कि cos x - i sin 2x का संयुग्मी sin x + i cos 2x है।

और cos x - i sin 2x का संयुग्मी cos x + i sin 2x है।

प्रश्न के अनुसार,

cos x + i sin 2x = sin x + i cos 2x

उपरोक्त समीकरण के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है,

cos x = sin x और sin 2x = cos 2x

⇒ tan x = 1 और tan 2x = 1

⇒ x = π/ 4 और x = π/ 8

जो एक साथ संभव नहीं है।

इसलिए, कोई हल नहीं है।

संकल्पना:

माना कि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है।

• z का मापांक = \(\left| {\rm{z}} \right| = {\rm{}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}} = {\rm{}}\sqrt {{\rm{Re}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2} + {\rm{Im\;}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2}}\)
• arg (z) = arg (x + iy) = \({\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\)
• z का संयुग्म = x - iy

गणना:

माना कि z = x + iy है। 

प्रश्नानुसार

arg(z) = \(\rm \tan^{-1}{y\over x} = {\pi\over3}\)

⇒\(\rm {y\over x} = \tan{\pi\over3}\)

⇒ \(\rm {y\over x} = \sqrt3\) 

⇒ y = \(\sqrt3\)x

साथ ही दिया गया है xy = 3\(\sqrt3\)

⇒ y = \(\rm3\sqrt3\over x\)

y के मानों की तुलना करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ \(\rm{3\sqrt3\over x} = \sqrt3x\)

⇒ x² = 3

⇒ x = ± \(\sqrt3\)

∴ x = \(\sqrt3\) {∵ arg(z) पहले चतुर्थांश में है, इसलिए ऋणात्मक मान को नजरअंदाज किया जाता है}

साथ ही y = \(\sqrt3\)x = 3

सम्मिश्र संख्या z = x + iy = \(\sqrt3\) + 3i

z का संयुग्म​ = (z̅) = \(\boldsymbol {\sqrt3}\) - 3i