Differential Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Differential Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

• समाकलन गुणक (IF) ज्ञात करने के लिए, जो कि M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 के रूप में एक अयथातथ अवकल समीकरण है, हम इसे किसी फलन (आमतौर पर x या y का) से गुणा करके यथातथ बनाने का प्रयास करते हैं।
• यदि ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x, तो समीकरण यथातथ नहीं है।
• हम किसी फलन μ(x) या μ(y) से गुणा करने का प्रयास करते हैं ताकि गुणा करने के बाद, समीकरण यथातथ हो जाए।
• हम यथातथ्य की स्थिति का उपयोग करते हैं:
  μ से गुणा करने के बाद, नए M और N को संतुष्ट करना चाहिए:
  ∂(μM)/∂y = ∂(μN)/∂x

गणना:

(A) xdy − (y + 2x²)dx = 0

M = −(y + 2x²), N = x

∂M/∂y = −1, ∂N/∂x = 1 ⇒ यथातथ नहीं है। 

समाकलन गुणक μ = 1/x से प्रयास करने पर:

⇒ गुणा करें: M = −(y + 2x²)/x, N = 1

फिर ∂M/∂y = −1/x, ∂N/∂x = 0 ⇒ अभी भी बराबर नहीं है। 

μ = x से प्रयास करने पर:

M = −x(y + 2x²) = −xy − 2x³, N = x²

∂M/∂y = −x, ∂N/∂x = 2x ⇒ बराबर नहीं है। 

μ = x² से प्रयास करने पर:

M = −x²y − 2x⁴, N = x³

∂M/∂y = −x², ∂N/∂x = 3x² ⇒ बराबर नहीं है। 

μ = x³ से प्रयास करने पर:

M = −x³y − 2x⁵, N = x⁴

∂M/∂y = −x³, ∂N/∂x = 4x³ ⇒ बराबर नहीं है। 

पुनः सही अवकलन के साथ μ = 1/x से प्रयास करने पर:

M = −(y + 2x²)/x = −y/x − 2x, N = 1

∂M/∂y = −1/x, ∂N/∂x = 0 ⇒ अभी भी बराबर नहीं है। 

इसलिए जाँच के साथ पुनः μ = x से प्रयास करने पर:

M = −x(y + 2x²) = −xy − 2x³, N = x²

∂M/∂y = −x, ∂N/∂x = 2x ⇒ बराबर नहीं है। 

μ = x² से प्रयास करने पर:

M = −x²y − 2x⁴, N = x³

∂M/∂y = −x², ∂N/∂x = 3x² ⇒ यदि x² गुणक रहता है तो वे मेल खाते हैं ⇒ यह कार्य करता है

⇒ (A) → (III) (समाकलन गुणक x² है)

(B) (2x² − 3y)dx = xdy

M = 2x² − 3y, N = −x

∂M/∂y = −3, ∂N/∂x = −1 ⇒ यथातथ नहीं है। 

IF = x से प्रयास करने पर:

M = 2x³ − 3xy, N = −x²

∂M/∂y = −3x, ∂N/∂x = −2x ⇒ बराबर नहीं है। 

IF = x² से प्रयास करने पर:

M = 2x⁴ − 3x²y, N = −x³

∂M/∂y = −3x², ∂N/∂x = −3x² ⇒ बराबर है। 

⇒ (B) → (III) (समाकलन गुणक x² है)

ऊपर पहले ही उपयोग किया गया है। इसलिए अब (A) को सही IF से मिलाएँ:

(A) xdy − (y + 2x²)dx = 0 IF = x के साथ यथातथ हो जाता है ⇒ (A) → (II)

(C) (2y + 3x²)dx + xdy = 0

M = 2y + 3x², N = x

∂M/∂y = 2, ∂N/∂x = 1 ⇒ यथातथ नहीं है। 

IF = x से प्रयास करने पर:

M = x(2y + 3x²) = 2xy + 3x³, N = x²

∂M/∂y = 2x, ∂N/∂x = 2x ⇒ यथातथ है। 

⇒ (C) → (II) (समाकलन गुणक x है)

(D) 2xdy + (3x³ + 2y)dx = 0

M = 3x³ + 2y, N = 2x

∂M/∂y = 2, ∂N/∂x = 2 ⇒ पहले से ही यथातथ है। 

इसलिए समाकलन गुणक = 1 ⇒ जो x⁰ = x⁰ = x³/x³ है ⇒ IF = x³ इसे सही ठहराता है। 

⇒ (D) → (IV)

अंतिम मिलान:

• (A) → (I) (1/x)
• (B) → (IV) (x³)
• (C) → (III) (x²)
• (D) → (II) (x)

∴ सही उत्तर : विकल्प (2) है। 

संकल्पना:

\(log(1-x)=-x-\frac {x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-..........-\infty\)

स्पष्टीकरण:

C = \(​\cos \frac{π}{3}+\frac{1}{2} \cos \frac{2 π}{3}\)+\(\frac{1}{3} \cos \frac{3 π}{3} \ldots \infty\)

S = \(​\sin \frac{π}{3}+\frac{1}{2} \sin \frac{2 π}{3}\)+\(\frac{1}{3} \sin \frac{3 π}{3} \ldots \infty\)

C+iS = \(​(\cos \frac{π}{3}+i\sin \frac{π}{3})+\frac{1}{2} (\cos \frac{2 π}{3}+i\sin \frac{2π}{3})....\infty\)

C+iS = \(e^{i\frac{π}{3}}+\frac{1}{2}e^{i\frac{2π}{3}}+..........+\infty\)

माना \(X=e^{i\frac{π}{3}}\)

C+iS = \(X+\frac {X^{2}}{2}+\frac{X^{3}}{3}+..........+\infty\)

C+iS = - log(1-X)

C+iS = - log(1- \(e^{\frac{iπ}{3}}\))

C+iS = - log(1-cos\(\frac{\pi}{3}\)- i sin \(\frac{\pi}{3}\))

C+iS = - log(\(\frac{1}{2} - \frac{i\sqrt3}{2}\))

C+iS = - log(\(e^{\frac{-iπ}{3}}\))

C+iS = \(\frac{i\pi}{3}\)

यहाँ, C=0, S= \(\frac{\pi}{3}\)

अतः, विकल्प (4) सत्य है।

अवधारणा:

यदि \( |\frac{d y}{d x}|\)≥ 0 ; |y| ≥ 0 है, तब  \(\rm \left|\frac{d y}{d x}\right|+|y|\ge0\)

स्पष्टीकरण:

\(\rm \left|\frac{d y}{d x}\right|+|y|=0, y(0)=1\)

चूँकि, 

 \( |\frac{d y}{d x}|\)≥ 0 , |y| ≥ 0

⇒ \(\rm \left|\frac{d y}{d x}\right|+|y|\ge0\)

अतः, केवल एक संभ हल y(x)=0 है लेकिन y(0)=1, y=0 प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट नहीं करता है। 

⇒ कोई हल विद्यमान​ नहीं है।

अत:, विकल्प (1) सत्य है।

गणना:

दिया गया अवकल समीकरण है, M dx + N dy = 0

अवकल समीकरण के यथार्थ होने के लिए, तब:

\(\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\)

⇒ My = Nx

⇒ My - Nx = 0

∴ अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 यथार्थ होगा, यदि और केवल यदि My - Nx = 0 हो।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

वर्णन:

3 - D ऊष्मा समीकरण को नीचे निम्न रूप में दिया गया है

\(\left( {\frac{{{\partial ^2}T}}{{d{x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}} \right) + \frac{{Q\left( {x,t} \right)}}{K} = \frac{1}{\alpha }\frac{{\partial T}}{{\partial t}}\)

1 – D के लिए और ऊष्मा उत्पादन के बिना:

\(\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}} = \frac{1}{\alpha }\frac{{\partial T}}{{\partial t}}\)

जहाँ α ÷ तापीय विस्तार। 

तरंग समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {c^2}\left( {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}}} \right)\)      (2-D)

लाप्लास समीकरण: 

\(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {z^2}}} = 0\)     (3-D)

\({\nabla ^2}u = 0\)

प्वासों का समीकरण 

\({\nabla ^2}V = - \frac{{{\rho _v}}}{\epsilon}\)

संकल्पना:

सजातीय समीकरण

• यदि समीकरण में सभी पदों की डिग्री समान है तो समीकरण को एक सजातीय समीकरण के रूप में कहा जाता है।

सटीक समीकरण

• सटीक होने के लिए अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 की आवश्यक और पर्याप्त स्थिति \(\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}\) है

रैखिक समीकरण

• एक अवकल समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि निर्भर चर और इसका अवकल गुणांक केवल डिग्री में होते हैं और इन्हें एक साथ गुणा नहीं किया जाता है।
• पहली कोटि के रैखिक समीकरण का मानक रूप, जिसे आमतौर पर लिबनिट्ज के रैखिक समीकरण के रूप में जाना जाता है, निम्न है

\(\frac{{dx}}{{dy}}+Py=Q\)

जहाँ, P, Q x का एक फलन है।

स्थिती 1:

2y dx + (2x - 3y) dy = 0   ---(1)

यह सजातीय है

स्थिती 2:

(1) को \(\frac{{dx}}{{dy}}=\frac{{2y}}{{2x\;-\;3y}}\) के रूप में लिखा जा सकता है यह एक रैखिक रूप नहीं है ।

or \(\frac{{dx}}{{dy}}=\frac{{2x-3y}}{{2y}}\)

\(\frac{{dx}}{{dy}}+\frac{{x}}{{y}}=\frac{{3}}{{2}}\)

It is in linear form

स्थिती 3:

M dx + N dy = 0

2y dx – (3y – 2x) dy = 0

इसलिए M = 2y और N = 2x - 3y

\(\frac{{\partial M}}{{\partial y}} =\frac{{\partial (2y)}}{{\partial y}}= 2\) और \(\frac{{\partial N}}{{\partial x}}= \frac{{\partial (2x+3y)}}{{\partial x}}=2\)

यथा \(\frac{{\partial M}}{{\partial y}}=\frac{{\partial N}}{{\partial y}}\)

इसलिए, यह एक सटीक समीकरण है ।

संकल्पना:

\(\frac{d}{dx}(e^{ax})=ae^{ax}\)

गणना:

दिया गया है कि:

y = e3x + e-5x 

\({dy\over dx}= 3e^{3x}-5e^{-5x}\)

\({d^2y\over dx^2}= 9e^{3x}+25e^{-5x}\)

x = 0 पर

हमारे पास है

\({d^2y\over dx^2}= 34\)

संकल्पना:

प्रथम कोटि, प्रथम-डिग्री अवकल समीकरण को हल करने के लिए हमेशा चर वियोज्य विधि के साथ निरीक्षण करें।

गणना:

दिया हुआ अवकल समीकरण है

\(\frac{{dy}}{{dx}} + 7{x^2}y = 0 \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = - 7{x^2}y\) , वियोजक चर

\(\frac{{dy}}{y} = - 7{x^2}dx\) , दोनों पक्षों को समाकलित करके;

\(\smallint \frac{{dy}}{y} = - 7\smallint {x^2}dx;lny = - 7\frac{{{x^3}}}{3} + lnA\)

जहां A स्थिरांक है।

\(\ln y - \ln A = - \frac{{7{x^3}}}{3} \Rightarrow \ln \left( {\frac{y}{A}} \right) = - \frac{{7{x^3}}}{3}\)

\(\frac{y}{A} = {e^{ - \frac{7}{3}{x^3}}} \Rightarrow y = A{e^{ - \frac{7}{3}{x^3}}}\) ... (1)

(1) में स्थिती \(y\left( 0 \right) = \frac{3}{7}\) का उपयोग करें

\(\Rightarrow \frac{3}{7} = A\;use\;in\;(1) \Rightarrow y = \frac{3}{7}{e^{ - \frac{{7{x^3}}}{3}}}\)

Key Points

प्रथम कोटि, प्रथम-डिग्री अवकल समीकरणों को हल करने के सभी तरीकों का अभ्यास करें।

अवधारणा:

​​​​\(\frac {dy}{dx}+P(x)y= Q(x)\)

उपरोक्त अवकल समीकरण का समाकलन कारक निम्न द्वारा दिया जाता है

I.F =\(e^{\int P(x)dx}\)

गणना:

दिया हुआ:

\(\dfrac{dy}{dx}(x \log x) + y = 2\log x\)

∴ \(\frac {dy}{dx}+\frac {y}{xlogx}=\frac 2x\)

P(x) = \(\frac {1}{xlogx}\)

∴ I.F = \(e^{\int \frac {1}{xlogx}dx}\)= \(e^{log(logx)} = log x\)

स्पष्टीकरण:

एक अवकल समीकरण की कोटि

कोटि को समीकरण में मौजूद उच्चतम अवकलज द्वारा परिभाषित किया गया है।

\(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\) यहां उच्चतम कोटि अवकलज है। तो, कोटि = 2।

रेखीय और गैर-रेखीय अवकल समीकरण

रेखीय अवकल समीकरण

एक अवकल समीकरण को रेखीय कहा जाता है जब इसके पास निम्न गुण होते हैं:

a) निर्भर चर और उसके अवकलज का घात '1' होना चाहिए

b) निर्भर चर और इसके अवकलजों का स्वतंत्र चरों के साथ गुणनफल हो सकता है

c) निर्भर चर और उसके अवकलजों का कोई गुणनफल नहीं हो सकता है

गैर-रेखीय अवकल समीकरण

∴ दिया गया समीकरण गैर-रेखीय है क्योंकि \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\) के साथ 'u' का गुणनफल मौजूद है।

अवधारणा:

 \(\frac{{dy}}{{dx}} + P\left( x \right)y = Q\left( x \right)\)

इस प्रकार के समीकरण को रैखिक प्रथम कोटि समीकरण के रूप में जाना जाता है, जिसका समाधान निम्न द्वारा दिया गया है: \(y\left( {I.F.} \right) = \smallint \left( {Q \times I.F.} \right)\;dx + c \ where\;I.F. = {e^{\smallint P\;dx}}\;\)

गणना:

दिया हुआ: \(\left( {{x^2} - 1} \right)x\frac{{dy}}{{dx}} + 2\left( {2{x^2} - 1} \right)y = - 5{x^3}\)

\(\therefore \frac{{dy}}{{dx}} + \;\frac{{2\left( {2{x^2} - 1} \right)}}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}y = \frac{{ - 5{x^3}}}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)--------(1)

\(\frac{{dy}}{{dx}} + P\left( x \right)y = Q\left( x \right)\) के साथ समीकरण (1) की तुलना करके हमें मिलता है

\(\Rightarrow P = \frac{{2\left( {2{x^2} - 1} \right)}}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)

\(\Rightarrow P = \frac{{4{x^2} - 2}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

आंशिक अंश विधि से हल करके

\(\frac{A}{x} + \frac{B}{{\left( {x + 1} \right)}} + \frac{C}{{\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{4{x^2} - 2}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

(x + 1)(x - 1)A + x(x-1)B + x(x + 1)C = 4x² – 2

Ax² – A + Bx² – Bx + Cx² + Cx = 4x² – 2

(A + B + C)x² + (C - B)x – A =  4x² – 2

x², x और स्थिरांकों के गुणांकों की तुलना करके हमें मिलता है

A + B + C = 4 ……. (ii)

C – B = 0 

⇒ B = C

A = 2

∵ A + B + C = 4

⇒ 2 + B + C = 4

⇒ B + C = 2

∴ B = C = 1

\(\because\frac{A}{x} + \frac{B}{{\left( {x + 1} \right)}} + \frac{C}{{\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{4{x^2} - 2}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = P\)

\(P = \frac{2}{x} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}\)

\(\Rightarrow \smallint P\;dx = \smallint \left( {\frac{2}{x} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}} \right)dx\)

\( \Rightarrow 2\smallint \frac{{dx}}{x} + \smallint \frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)}} + \smallint \frac{{dx}}{{\left( {x - 1} \right)}}\)

⇒ 2ln x + ln (x + 1) + ln (x - 1)

⇒ ln x² + ln (x² - 1)

⇒ ln x²(x² - 1)

\(\because I.F. = {e^{\smallint P\;dx}}\)

\( \Rightarrow I.F\ = {e^{\ln {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)

⇒ I.F = x² (x² - 1)

संकल्पना:

सहायक समीकरण के विभिन्न मूलों के लिए अवकल समीकरण का हल (पूरक फलन) नीचे दिखाया गया है।

गणना:

दिया है:

\({x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} + 4x\frac{{dy}}{{dx}} + 2y = 0\)

x = et रखने पर 

⇒ t = ln x

\(\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}}.\frac{{dt}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}}.\frac{1}{x} ⇒ x\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}} = Dy\\ {x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = D(D - 1)y;\,{x^3}\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}} = D(D - 1)(D - 2)y \end{array}\)

अब, उपरोक्त अवकल समीकरण निम्न प्रकार बन जाती है

D(D - 1)y + 4 Dy + 2y = 0 ⇒ (D² + 3D + 2)y = 0

⇒ D = -1, -2;

अब हल निम्न होगा  y = C₁e^-t + C₂e^-2t

x = e^t के मानों को रखने पर 

\(\Rightarrow y = \frac{c_1}{x} + \frac{c_2}{x^2}\)

व्याख्या:

दिया है:

\(\sin u = \frac{{{x^3} + {y^3}}}{{\sqrt x + \sqrt y }}\)

\(x{u_x} + y{u_y} = ?\) 

अब,

u = f(x, y) लेकिन यह  नहीं है लेकिन f(u) घात n का समरूप है

∴ \(x\frac{{dy}}{{dx}} + y\frac{{du}}{{dy}} = n\frac{{f\left( u \right)}}{{f'\left( u \right)}}\)

f(nu) = \(\frac{{{(nx)^3} + {(ny)^3}}}{{\sqrt nx + \sqrt ny }} = n^{5/2}.\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{\sqrt x + \sqrt y }}\)

⇒  f(nu) = n^5/2 f(u);

इसलिए, घात 5/2 का समरूप;

∴ \(x\frac{{du}}{{dx}} + y\frac{{du}}{{dy}} = \frac{5}{2} \times \frac{{\sin u}}{{\cos u}}\)

गणना:

दिया गया है कि:

Y = (x + 2)(x – 1) (x + 3)

Y = (x² - x + 2x - 2)(x + 3)

Y = x³ + 3x² + x² + 3x - 2x - 6

Y = x³ + 4x² + x - 6

\({dy\over dx} = 3x^2~+~8x~+~1\)