Differential Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Differential Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Apr 30, 2025

पाईये Differential Equations उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Differential Equations MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Differential Equations MCQ Objective Questions

Differential Equations Question 1:

अवकल समीकरण \(\rm x\frac{dy}{dx}-y=0\) के लिए निम्न में से कौनसा समाकलन गुणांक नहीं है?

  1. \(\rm \frac{1}{x^2}\)
  2. \(\rm \frac{1}{y^2}\)
  3. \(\rm \frac{1}{xy}\)
  4. \(\rm \frac{1}{x+y}\)
  5. \(\rm \frac{1}{y}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\rm \frac{1}{x+y}\)

Differential Equations Question 1 Detailed Solution

Differential Equations Question 2:

सूची-I को सूची-II से सुमेलित कीजिए:

सूची - I

सूची - II

(A)

xdy - (y + 2x2)dx = 0 का समाकलन गुणक

(I)

\(\rm \frac{1}{x}\)

(B)

(2x2 - 3y)dx = xdy का समाकलन गुणक

(II)

x

(C)

(2y + 3x2)dx + xdy = 0 का समाकलन गुणक

(III)

x2

(D)

2xdy + (3x3 + 2y)dx = 0 का समाकलन गुणक

(IV)

x3


नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

  1. (A) - (I), (B) - (III), (C) - (IV), (D) - (II)
  2. (A) - (I), (B) - (IV), (C) - (III), (D) - (II)
  3. (A) - (II), (B) - (I), (C) - (III), (D) - (IV)
  4. (A) - (III), (B) - (IV), (C) - (II), (D) - (I)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : (A) - (I), (B) - (IV), (C) - (III), (D) - (II)

Differential Equations Question 2 Detailed Solution

अवधारणा:

  • समाकलन गुणक (IF) ज्ञात करने के लिए, जो कि M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 के रूप में एक अयथातथ अवकल समीकरण है, हम इसे किसी फलन (आमतौर पर x या y का) से गुणा करके यथातथ बनाने का प्रयास करते हैं।
  • यदि ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x, तो समीकरण यथातथ नहीं है।
  • हम किसी फलन μ(x) या μ(y) से गुणा करने का प्रयास करते हैं ताकि गुणा करने के बाद, समीकरण यथातथ हो जाए।
  • हम यथातथ्य की स्थिति का उपयोग करते हैं:
    μ से गुणा करने के बाद, नए M और N को संतुष्ट करना चाहिए:
    ∂(μM)/∂y = ∂(μN)/∂x

 

गणना:

(A) xdy − (y + 2x²)dx = 0

M = −(y + 2x²), N = x

∂M/∂y = −1, ∂N/∂x = 1 ⇒ यथातथ नहीं है। 

समाकलन गुणक μ = 1/x से प्रयास करने पर:

⇒ गुणा करें: M = −(y + 2x²)/x, N = 1

फिर ∂M/∂y = −1/x, ∂N/∂x = 0 ⇒ अभी भी बराबर नहीं है। 

μ = x से प्रयास करने पर:

M = −x(y + 2x²) = −xy − 2x³, N = x²

∂M/∂y = −x, ∂N/∂x = 2x ⇒ बराबर नहीं है। 

μ = x² से प्रयास करने पर:

M = −x²y − 2x⁴, N = x³

∂M/∂y = −x², ∂N/∂x = 3x² ⇒ बराबर नहीं है। 

μ = x³ से प्रयास करने पर:

M = −x³y − 2x⁵, N = x⁴

∂M/∂y = −x³, ∂N/∂x = 4x³ ⇒ बराबर नहीं है। 

पुनः सही अवकलन के साथ μ = 1/x से प्रयास करने पर:

M = −(y + 2x²)/x = −y/x − 2x, N = 1

∂M/∂y = −1/x, ∂N/∂x = 0 ⇒ अभी भी बराबर नहीं है। 

इसलिए जाँच के साथ पुनः μ = x से प्रयास करने पर:

M = −x(y + 2x²) = −xy − 2x³, N = x²

∂M/∂y = −x, ∂N/∂x = 2x ⇒ बराबर नहीं है। 

μ = x² से प्रयास करने पर:

M = −x²y − 2x⁴, N = x³

∂M/∂y = −x², ∂N/∂x = 3x² ⇒ यदि x² गुणक रहता है तो वे मेल खाते हैं ⇒ यह कार्य करता है

⇒ (A) → (III) (समाकलन गुणक x² है)

 

(B) (2x² − 3y)dx = xdy

M = 2x² − 3y, N = −x

∂M/∂y = −3, ∂N/∂x = −1 ⇒ यथातथ नहीं है। 

IF = x से प्रयास करने पर:

M = 2x³ − 3xy, N = −x²

∂M/∂y = −3x, ∂N/∂x = −2x ⇒ बराबर नहीं है। 

IF = x² से प्रयास करने पर:

M = 2x⁴ − 3x²y, N = −x³

∂M/∂y = −3x², ∂N/∂x = −3x² ⇒ बराबर है। 

⇒ (B) → (III) (समाकलन गुणक x² है)

ऊपर पहले ही उपयोग किया गया है। इसलिए अब (A) को सही IF से मिलाएँ:

(A) xdy − (y + 2x²)dx = 0 IF = x के साथ यथातथ हो जाता है ⇒ (A) → (II)

(C) (2y + 3x²)dx + xdy = 0

M = 2y + 3x², N = x

∂M/∂y = 2, ∂N/∂x = 1 ⇒ यथातथ नहीं है। 

IF = x से प्रयास करने पर:

M = x(2y + 3x²) = 2xy + 3x³, N = x²

∂M/∂y = 2x, ∂N/∂x = 2x ⇒ यथातथ है। 

⇒ (C) → (II) (समाकलन गुणक x है)

 

(D) 2xdy + (3x³ + 2y)dx = 0

M = 3x³ + 2y, N = 2x

∂M/∂y = 2, ∂N/∂x = 2 ⇒ पहले से ही यथातथ है। 

इसलिए समाकलन गुणक = 1 ⇒ जो x⁰ = x⁰ = x³/x³ है ⇒ IF = x³ इसे सही ठहराता है। 

⇒ (D) → (IV)

 

अंतिम मिलान:

  • (A) → (I) (1/x)
  • (B) → (IV) (x³)
  • (C) → (III) (x²)
  • (D) → (II) (x)

∴ सही उत्तर : विकल्प (2) है। 

Differential Equations Question 3:

\(\cos \frac{\pi}{3}+\frac{1}{2} \cos \frac{2 \pi}{3}\) + \(\frac{1}{3} \cos \frac{3 \pi}{3} \ldots \infty\)  तक = होगा।

  1. -1
  2. 1
  3. \(\frac{1}{2}\)
  4. 0
  5. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 0

Differential Equations Question 3 Detailed Solution

संकल्पना:

\(log(1-x)=-x-\frac {x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-..........-\infty\)

स्पष्टीकरण:

C = \(​\cos \frac{π}{3}+\frac{1}{2} \cos \frac{2 π}{3}\)+\(\frac{1}{3} \cos \frac{3 π}{3} \ldots \infty\)

S = \(​\sin \frac{π}{3}+\frac{1}{2} \sin \frac{2 π}{3}\)+\(\frac{1}{3} \sin \frac{3 π}{3} \ldots \infty\)

C+iS = \(​(\cos \frac{π}{3}+i\sin \frac{π}{3})+\frac{1}{2} (\cos \frac{2 π}{3}+i\sin \frac{2π}{3})....\infty\)

C+iS = \(e^{i\frac{π}{3}}+\frac{1}{2}e^{i\frac{2π}{3}}+..........+\infty\)

माना \(X=e^{i\frac{π}{3}}\)

C+iS = \(X+\frac {X^{2}}{2}+\frac{X^{3}}{3}+..........+\infty\)

C+iS = - log(1-X)

C+iS = - log(1- \(e^{\frac{iπ}{3}}\))

C+iS = - log(1-cos\(\frac{\pi}{3}\)- i sin \(\frac{\pi}{3}\))

C+iS = - log(\(\frac{1}{2} - \frac{i\sqrt3}{2}\))

C+iS = - log(\(e^{\frac{-iπ}{3}}\))

C+iS = \(\frac{i\pi}{3}\)

यहाँ, C=0, S= \(\frac{\pi}{3}\)

अतः, विकल्प (4) सत्य है।

Differential Equations Question 4:

अवकल समीकरण \(\rm \left|\frac{d y}{d x}\right|+|y|=0, y(0)=1\) के/का _________  

  1. कोई हल नहीं होगा
  2. अद्वितिय हल होगा
  3. परिमित संख्या में हल होंगे
  4. अनन्त हल होंगे
  5. दो समाधान होंगे

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : कोई हल नहीं होगा

Differential Equations Question 4 Detailed Solution

अवधारणा:

यदि \( |\frac{d y}{d x}|\)≥ 0 ; |y| ≥ 0 है, तब  \(\rm \left|\frac{d y}{d x}\right|+|y|\ge0\)

स्पष्टीकरण:

\(\rm \left|\frac{d y}{d x}\right|+|y|=0, y(0)=1\)

चूँकि, 

 \( |\frac{d y}{d x}|\)≥ 0 , |y| ≥ 0

⇒ \(\rm \left|\frac{d y}{d x}\right|+|y|\ge0\)

अतः, केवल एक संभ हल y(x)=0 है लेकिन y(0)=1, y=0 प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट नहीं करता है 

⇒ कोई हल विद्यमान​ नहीं है

अत:, विकल्प (1) सत्य है

Differential Equations Question 5:

अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 यथार्थ होगा, यदि एवं केवल यदि -

  1. My = Nx = 0
  2. My - Nx = 0
  3. Mx + Ny = 0
  4. Mx - Ny = 0
  5. Mx / Ny = 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : My - Nx = 0

Differential Equations Question 5 Detailed Solution

गणना:

दिया गया अवकल समीकरण है, M dx + N dy = 0

अवकल समीकरण के यथार्थ होने के लिए, तब:

\(\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\)

⇒ My = Nx

⇒ My - Nx = 0

∴ अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 यथार्थ होगा, यदि और केवल यदि My - Nx = 0 हो।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

Top Differential Equations MCQ Objective Questions

आंशिक अवकल समीकरण \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} - {c^2}\left( {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}}} \right) = 0\) है; तो c ≠ 0 को किस रूप में जाना जाता है?

  1. ऊष्मा समीकरण 
  2. तरंग समीकरण
  3. प्वासों का समीकरण 
  4. लाप्लास समीकरण 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : तरंग समीकरण

Differential Equations Question 6 Detailed Solution

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वर्णन:

3 - D ऊष्मा समीकरण को नीचे निम्न रूप में दिया गया है

\(\left( {\frac{{{\partial ^2}T}}{{d{x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {z^2}}}} \right) + \frac{{Q\left( {x,t} \right)}}{K} = \frac{1}{\alpha }\frac{{\partial T}}{{\partial t}}\)

1 – D के लिए और ऊष्मा उत्पादन के बिना:

\(\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}} = \frac{1}{\alpha }\frac{{\partial T}}{{\partial t}}\)

जहाँ α ÷ तापीय विस्तार। 

तरंग समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {c^2}\left( {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}}} \right)\)      (2-D)

लाप्लास समीकरण: 

\(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {z^2}}} = 0\)     (3-D)

\({\nabla ^2}u = 0\)

प्वासों का समीकरण 

\({\nabla ^2}V = - \frac{{{\rho _v}}}{\epsilon}\)

अवकल समीकरण 2y dx – (3y – 2x) dy = 0 _________________ होता है।

  1. सटीक और सजातीय लेकिन रैखिक नहीं
  2. सटीक, सजातीय और रैखिक
  3. सटीक और रैखिक लेकिन सजातीय नहीं
  4. सजातीय और रैखिक लेकिन सटीक नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : सटीक, सजातीय और रैखिक

Differential Equations Question 7 Detailed Solution

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संकल्पना:

सजातीय समीकरण

  • यदि समीकरण में सभी पदों की डिग्री समान है तो समीकरण को एक सजातीय समीकरण के रूप में कहा जाता है

सटीक समीकरण

  • सटीक होने के लिए अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 की आवश्यक और पर्याप्त स्थिति \(\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}\) है

रैखिक समीकरण

  • एक अवकल समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि निर्भर चर और इसका अवकल गुणांक केवल डिग्री में होते हैं और इन्हें एक साथ गुणा नहीं किया जाता है।
  • पहली कोटि के रैखिक समीकरण का मानक रूप, जिसे आमतौर पर लिबनिट्ज के रैखिक समीकरण के रूप में जाना जाता है, निम्न है

\(\frac{{dx}}{{dy}}+Py=Q\)

जहाँ, P, Q x का एक फलन है।

स्थिती 1:

2y dx + (2x - 3y) dy = 0   ---(1)

यह सजातीय है

स्थिती 2:

(1) को \(\frac{{dx}}{{dy}}=\frac{{2y}}{{2x\;-\;3y}}\) के रूप में लिखा जा सकता है यह एक रैखिक रूप नहीं है

or \(\frac{{dx}}{{dy}}=\frac{{2x-3y}}{{2y}}\)

\(\frac{{dx}}{{dy}}+\frac{{x}}{{y}}=\frac{{3}}{{2}}\)

It is in linear form

स्थिती 3:

M dx + N dy = 0

2y dx – (3y – 2x) dy = 0

इसलिए M = 2y और N = 2x - 3y

\(\frac{{\partial M}}{{\partial y}} =\frac{{\partial (2y)}}{{\partial y}}= 2\) और \(\frac{{\partial N}}{{\partial x}}= \frac{{\partial (2x+3y)}}{{\partial x}}=2\)

यथा \(\frac{{\partial M}}{{\partial y}}=\frac{{\partial N}}{{\partial y}}\)

इसलिए, यह एक सटीक समीकरण है

यदि y = e3x + e-5x तो x = 0 पर \({d^2y\over dx^2}\) का मान ज्ञात करें। 

  1. 8
  2. 34
  3. 16
  4. -16

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 34

Differential Equations Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

\(\frac{d}{dx}(e^{ax})=ae^{ax}\)

गणना:

दिया गया है कि:

y = e3x + e-5x 

\({dy\over dx}= 3e^{3x}-5e^{-5x}\)

\({d^2y\over dx^2}= 9e^{3x}+25e^{-5x}\)

x = 0 पर

हमारे पास है

\({d^2y\over dx^2}= 34\)

समीकरण \(\frac{{dy}}{{dx}} + 7{x^2}y = 0\) के लिए यदि y(0) = \(\frac{{3}}{{7}}\) , फिर y(1) का मान क्या है?

  1. \(\frac{7}{3}{e^{ - \frac{7}{3}}}\)
  2. \(\frac{7}{3}{e^{ - \frac{3}{7}}}\)
  3. \(\frac{3}{7}{e^{ - \frac{7}{3}}}\)
  4. \(\frac{3}{7}{e^{ - \frac{3}{7}}}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\frac{3}{7}{e^{ - \frac{7}{3}}}\)

Differential Equations Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

प्रथम कोटि, प्रथम-डिग्री अवकल समीकरण को हल करने के लिए हमेशा चर वियोज्य विधि के साथ निरीक्षण करें।

गणना:

दिया हुआ अवकल समीकरण है

\(\frac{{dy}}{{dx}} + 7{x^2}y = 0 \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = - 7{x^2}y\) , वियोजक चर

\(\frac{{dy}}{y} = - 7{x^2}dx\) , दोनों पक्षों को समाकलित करके;

\(\smallint \frac{{dy}}{y} = - 7\smallint {x^2}dx;lny = - 7\frac{{{x^3}}}{3} + lnA\)

जहां A स्थिरांक है।

\(\ln y - \ln A = - \frac{{7{x^3}}}{3} \Rightarrow \ln \left( {\frac{y}{A}} \right) = - \frac{{7{x^3}}}{3}\)

\(\frac{y}{A} = {e^{ - \frac{7}{3}{x^3}}} \Rightarrow y = A{e^{ - \frac{7}{3}{x^3}}}\) ... (1)

(1) में स्थिती \(y\left( 0 \right) = \frac{3}{7}\) का उपयोग करें

\(\Rightarrow \frac{3}{7} = A\;use\;in\;(1) \Rightarrow y = \frac{3}{7}{e^{ - \frac{{7{x^3}}}{3}}}\)

Key Points

प्रथम कोटि, प्रथम-डिग्री अवकल समीकरणों को हल करने के सभी तरीकों का अभ्यास करें।

इन प्रश्नों में विकल्प बहुत भ्रमित करते हैं। इसलिए, सभी विकल्पों का ध्यानपूर्वक अध्ययन करें।

अवकल समीकरण \(\dfrac{dy}{dx}(x \log x) + y = 2\log x\) का समाकलन कारक क्या है?

  1. log x
  2. ez
  3. log (log x)
  4. x

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : log x

Differential Equations Question 10 Detailed Solution

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अवधारणा:

​​​​\(\frac {dy}{dx}+P(x)y= Q(x)\)

उपरोक्त अवकल समीकरण का समाकलन कारक निम्न द्वारा दिया जाता है

I.F =\(e^{\int P(x)dx}\)

गणना:

दिया हुआ:

\(\dfrac{dy}{dx}(x \log x) + y = 2\log x\)

∴ \(\frac {dy}{dx}+\frac {y}{xlogx}=\frac 2x\)

P(x) = \(\frac {1}{xlogx}\)

∴ I.F = \(e^{\int \frac {1}{xlogx}dx}\)\(e^{log(logx)} = log x\)

आंशिक अवकल समीकरण \(\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + u\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\) एक ____________ है।

  1. कोटि 2 का रेखीय समीकरण
  2. कोटि 1 का गैर-रेखीय समीकरण
  3. कोटि 1 का रेखीय समीकरण
  4. कोटि 2 का गैर-रेखीय समीकरण

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : कोटि 2 का गैर-रेखीय समीकरण

Differential Equations Question 11 Detailed Solution

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स्पष्टीकरण:

एक अवकल समीकरण की कोटि

कोटि को समीकरण में मौजूद उच्चतम अवकलज द्वारा परिभाषित किया गया है।

\(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\) यहां उच्चतम कोटि अवकलज है। तो, कोटि = 2।

रेखीय और गैर-रेखीय अवकल समीकरण

रेखीय अवकल समीकरण

एक अवकल समीकरण को रेखीय कहा जाता है जब इसके पास निम्न गुण होते हैं:

a) निर्भर चर और उसके अवकलज का घात '1' होना चाहिए

b) निर्भर चर और इसके अवकलजों का स्वतंत्र चरों के साथ गुणनफल हो सकता है

c) निर्भर चर और उसके अवकलजों का कोई गुणनफल नहीं हो सकता है

गैर-रेखीय अवकल समीकरण

साधारण अवकल समीकरण

आंशिक अवकल समीकरण

1) डिग्री 1 से अधिक है।

1) डिग्री 1 से अधिक है।

2) निर्भर चर का घातांक 1 से अधिक है।

2) निर्भर चर का घातांक 1 से अधिक है।

3) किसी भी अवकलज का घातांक > 1।

3) किसी भी अवकलज का घातांक > 1।

4) किसी भी अवकलज के साथ निर्भर चर का गुणनफल मौजूद होता है।

4) किसी भी अवकलज के साथ निर्भर चर का गुणनफल मौजूद होता है।

 

5) किसी भी दो आंशिक अवकलजों का गुणनफल मौजूद होता है

 

दिया गया समीकरण गैर-रेखीय है क्योंकि \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\) के साथ 'u' का गुणनफल मौजूद है।

अवकल समीकरण \(\left( {{x^2} - 1} \right)x\frac{{dy}}{{dx}} + 2\left( {2{x^2} - 1} \right)y = - 5{x^3}\) का समाकलन कारक क्या है?

  1. x2(x2 - 1)
  2. x2(x2 + 1)
  3. x(x2 - 1)
  4. x(x2 + 1)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x2(x2 - 1)

Differential Equations Question 12 Detailed Solution

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अवधारणा:

 \(\frac{{dy}}{{dx}} + P\left( x \right)y = Q\left( x \right)\)

इस प्रकार के समीकरण को रैखिक प्रथम कोटि समीकरण के रूप में जाना जाता है, जिसका समाधान निम्न द्वारा दिया गया है: \(y\left( {I.F.} \right) = \smallint \left( {Q \times I.F.} \right)\;dx + c \ where\;I.F. = {e^{\smallint P\;dx}}\;\)

गणना:

दिया हुआ: \(\left( {{x^2} - 1} \right)x\frac{{dy}}{{dx}} + 2\left( {2{x^2} - 1} \right)y = - 5{x^3}\)

\(\therefore \frac{{dy}}{{dx}} + \;\frac{{2\left( {2{x^2} - 1} \right)}}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}y = \frac{{ - 5{x^3}}}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)--------(1)

\(\frac{{dy}}{{dx}} + P\left( x \right)y = Q\left( x \right)\) के साथ समीकरण (1) की तुलना करके हमें मिलता है

\(\Rightarrow P = \frac{{2\left( {2{x^2} - 1} \right)}}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)

\(\Rightarrow P = \frac{{4{x^2} - 2}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

आंशिक अंश विधि से हल करके

\(\frac{A}{x} + \frac{B}{{\left( {x + 1} \right)}} + \frac{C}{{\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{4{x^2} - 2}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

(x + 1)(x - 1)A + x(x-1)B + x(x + 1)C = 4x2 – 2

Ax2 – A + Bx2 – Bx + Cx2 + Cx = 4x2 – 2

(A + B + C)x2 + (C - B)x – A =  4x2 – 2

x2, x और स्थिरांकों के गुणांकों की तुलना करके हमें मिलता है

A + B + C = 4 ……. (ii)

C – B = 0 

⇒ B = C

A = 2

∵ A + B + C = 4

⇒ 2 + B + C = 4

⇒ B + C = 2

∴ B = C = 1

\(\because\frac{A}{x} + \frac{B}{{\left( {x + 1} \right)}} + \frac{C}{{\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{4{x^2} - 2}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = P\)

\(P = \frac{2}{x} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}\)

\(\Rightarrow \smallint P\;dx = \smallint \left( {\frac{2}{x} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}} \right)dx\)

\( \Rightarrow 2\smallint \frac{{dx}}{x} + \smallint \frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)}} + \smallint \frac{{dx}}{{\left( {x - 1} \right)}}\)

⇒ 2ln x + ln (x + 1) + ln (x - 1)

⇒ ln x2 + ln (x2 - 1)

⇒ ln x2(x2 - 1)

\(\because I.F. = {e^{\smallint P\;dx}}\)

\( \Rightarrow I.F\ = {e^{\ln {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)

⇒ I.F = x2 (x2 - 1)

अवकल समीकरण \(x^2 \frac {d^2y}{dx^2} + 4x\frac{dy}{dx}+2y=0\) का हल ________ होगा, जहाँ c1 और c2 अचर हैं।

  1. y = c1 + c2 x2
  2. \(y = \frac{c_1}{x} + \frac{c_2}{x^2}\)
  3. y = c1 cos x + c2 sin x
  4. y = c1 x + c2 x2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(y = \frac{c_1}{x} + \frac{c_2}{x^2}\)

Differential Equations Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

सहायक समीकरण के विभिन्न मूलों के लिए अवकल समीकरण का हल (पूरक फलन) नीचे दिखाया गया है।

सहायक समीकरण के मूल

पूरक फलन

m1, m2, m3, … (वास्तविक और भिन्न मूल)

\({C_1}{e^{{m_1}x}} + {C_2}{e^{{m_2}x}} + {C_3}{e^{{m_3}x}} + \ldots\)

m1, m1, m3, … (दो वास्तविक और समान मूल)

 

\(\left( {{C_1} + {C_2}x} \right){e^{{m_1}x}} + {C_3}{e^{{m_3}x}} + \ldots\)

m1, m1, m1, m4… (तीन वास्तविक और समान मूल)

\(\left( {{C_1} + {C_2}x + {C_3}{x^2}} \right){e^{{m_1}x}} + {C_4}{e^{{m_4}x}} + \ldots\)

α + i β, α – i β, m3, … (काल्पनिक मूलों का एक जोड़ा)

\({e^{\alpha x}}\left( {{C_1}\cos \beta x + {C_2}\sin \beta x} \right) + {C_3}{e^{{m_3}x}} + \ldots\)

α ± i β, α ± i β, m5, … (समान काल्पनिक मूलों के दो जोड़े)

\({e^{\alpha x}}\left( {\left( {{C_1} + {C_2}x} \right)\cos \beta x + \left( {{C_3} + {C_4}x} \right)\sin \beta x} \right) + {C_5}{e^{{m_5}x}} + \ldots\)

गणना:

दिया है:

\({x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} + 4x\frac{{dy}}{{dx}} + 2y = 0\)

x = eरखने पर 

⇒ t = ln x

\(\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}}.\frac{{dt}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}}.\frac{1}{x} ⇒ x\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}} = Dy\\ {x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = D(D - 1)y;\,{x^3}\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}} = D(D - 1)(D - 2)y \end{array}\)

अब, उपरोक्त अवकल समीकरण निम्न प्रकार बन जाती है

D(D - 1)y + 4 Dy + 2y = 0 ⇒ (D2 + 3D + 2)y = 0

⇒ D = -1, -2;

अब हल निम्न होगा  y = C1e-t + C2e-2t

x = eके मानों को रखने पर 

\(\Rightarrow y = \frac{c_1}{x} + \frac{c_2}{x^2}\)

यदि sin \(u = \frac{x^3 + y^3}{\sqrt{x} +\sqrt{y}}\), तब xux + yuy ____ के बराबर होगा।

  1. \(\frac{5}{2} tan \ u\)
  2. \(\frac{3}{2} tan \ u\)
  3. \(\frac{1}{2} cot \ u\)
  4. \(\frac{3}{2} cot \ u\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\frac{5}{2} tan \ u\)

Differential Equations Question 14 Detailed Solution

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व्याख्या:

दिया है:

\(\sin u = \frac{{{x^3} + {y^3}}}{{\sqrt x + \sqrt y }}\)

\(x{u_x} + y{u_y} = ?\) 

अब,

u = f(x, y) लेकिन यह  नहीं है लेकिन f(u) घात n का समरूप है

∴ \(x\frac{{dy}}{{dx}} + y\frac{{du}}{{dy}} = n\frac{{f\left( u \right)}}{{f'\left( u \right)}}\)

f(nu) = \(\frac{{{(nx)^3} + {(ny)^3}}}{{\sqrt nx + \sqrt ny }} = n^{5/2}.\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{\sqrt x + \sqrt y }}\)

⇒  f(nu) = n5/2 f(u);

इसलिए, घात 5/2 का समरूप;

∴ \(x\frac{{du}}{{dx}} + y\frac{{du}}{{dy}} = \frac{5}{2} \times \frac{{\sin u}}{{\cos u}}\)

\(x{u_x} + y{u_y} = \frac{5}{2}\tan u\)

यदि Y = (x + 2)(x – 1) (x + 3) तो \({dy\over dx}\) ज्ञात करें। 

  1. 3x2 + 8
  2. 3x2 + 8x - 1
  3. 2x2 + 4x - 6
  4. 3x+ 8x + 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 3x+ 8x + 1

Differential Equations Question 15 Detailed Solution

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गणना:

दिया गया है कि:

Y = (x + 2)(x – 1) (x + 3)

Y = (x2 - x + 2x - 2)(x + 3)

Y = x3 + 3x2 + x2 + 3x - 2x - 6

Y = x3 + 4x2 + x - 6

\({dy\over dx} = 3x^2~+~8x~+~1\)

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