Evaluation of Determinants MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluation of Determinants - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है:

\(\begin{vmatrix} x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3 \end{vmatrix} = 0\) और \(\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} \neq 0\)

\(\begin{vmatrix} x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3 \end{vmatrix} = 0\)

⇒ \(\begin{vmatrix} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & x^2 & x^3 \\ y & y^2 & y^3 \\ z & z^2 & z^3 \end{vmatrix} = 0\)

⇒ \(\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} + xyz \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} = 0\)

⇒ \((1+xyz)\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} = 0\)

चूँकि \(\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} \neq 0\) है, इसलिए 1 + xyz = 0 होना चाहिए। 

⇒ xyz = -1

अतः विकल्प 2 सही है। 

अवधारणा:

3x3 आव्यूह का सारणिक:

• 3x3 आव्यूह का सारणिक सहखंड प्रसार विधि द्वारा ज्ञात किया जा सकता है।
• इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: \( \text{det}(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) \)
• यदि आव्यूह में पंक्तियों या स्तंभों में एक समान गुणक है, तो गणना को सरल बनाने के लिए इसे बाहर निकाला जा सकता है।
• \( \sum_{n=1}^{k} f(n) \) एक योग संकेतन है जो n = 1 से n = k तक फलन मानों के योग को दर्शाता है।
• प्रयुक्त महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ:
  • \( \sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2} \)
  • \( \sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \)
  • \( \sum_{n=1}^{k} n^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 \)

गणना:

दिया गया है,

\( D_n = \begin{bmatrix} n & 20 & 30 \\ n^2 & 40 & 50 \\ n^3 & 60 & 70 \\ \end{bmatrix} \)

⇒ उभयनिष्ठ गुणनखंडों 20 और 10 को निकलने पर:

\( D_n = (20)(10) \begin{bmatrix} n & 1 & 3 \\ n^2 & 2 & 5 \\ n^3 & 3 & 7 \\ \end{bmatrix} \)

⇒ पहले स्तंभ का उपयोग करके सारणिक का विस्तार करने पर:

\( D_n = 200(-n + 2n^2 - n^3) \)

अब,

\( \sum_{n=1}^{4} D_n = 200 \sum_{n=1}^{4} (-n + 2n^2 - n^3) \)

⇒ \( = 200 \left[ -\frac{4(5)}{2} + 2 \cdot \frac{4(5)(9)}{6} - \left( \frac{4(5)}{2} \right)^2 \right] \)

⇒ \( = 200 (-10 + 60 - 100) \)

∴ मान -10000 है।

अवधारणा:

सारणिक और स्तंभ संक्रियाएँ:

• एक आव्यूह का सारणिक एक अदिश मान है जो क्षेत्रफल, आयतन या व्युत्क्रमणीयता को दर्शाता है।
• \( C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3 \) जैसी स्तंभ संक्रियाएँ सारणिक को सरल बना सकती हैं।
• यदि एक स्तंभ (या पंक्ति) अन्य स्तंभों या शून्य का रैखिक संयोजन बन जाता है, तो सारणिक 0 हो जाता है।
• \( \omega \)  इकाई का घनमूल है और सर्वसमिका: \( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \) है। 

गणना:

मान लीजिए, \( I = \begin{bmatrix} 1+\omega & 1+\omega^2 & \omega + \omega^2 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ \frac{1}{\omega} & \frac{1}{\omega^2} & 1 \end{bmatrix} \)

⇒ निम्न स्तंभ संक्रिया लागू करने पर: \( C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3 \)

⇒ पहला स्तंभ बन जाता है:

\( C_1 = \begin{bmatrix} (1+\omega) + (1+\omega^2) + (\omega + \omega^2) \\ 1 + \omega + \omega^2 \\ \frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} + 1 \end{bmatrix} \)

⇒ सर्वसमिका: \( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \) का उपयोग करने पर,

⇒ पहला स्तंभ बन जाता है: \( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)

⇒ नया आव्यूह:

\( I = \begin{bmatrix} 0 & 1+\omega^2 & \omega + \omega^2 \\ 0 & \omega & \omega^2 \\ 0 & \frac{1}{\omega^2} & 1 \end{bmatrix} \)

⇒ चूँकि पहला स्तंभ सभी शून्य है,

∴ सारणिक I = 0

गणना:

दिया गया आव्यूह है:

\(\Delta=\left|\begin{array}{ccc} 1 & \cos x & 1 \\ -\cos x & 1 & \cos x \\ -1 & -\cos x & 1 \end{array}\right|\)

पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार:

Δ = 1 x (1 + cos² x) - cos x x 0 + 1 x (cos² x + 1)

Δ = 2 + 2 cos² x

Δ = 2(1 + cos² x)

Δ = 2 (1 + 1 - sin² x)

Δ = 2 (2 - sin² x)

चूँकि |sin x| ≤ 1

Δ का न्यूनतम मान 2 है। 

Δ का अधिकतम मान 4 है। 

⇒ केवल (B), (C) और (D) 

इसलिए, विकल्प 4 सही उत्तर है।

गणना

\(P=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\)

∵ P^T P = I

B = PAP^T

पहले P^T से गुणा करें (दिया गया है)

P^TB = P^TP AP^T = AP^T

अब P से पश्च गुणा करें

P^TBP = AP^T P = A

इसलिए, A² = \(\underbrace{\mathrm{P}^{\mathrm{T}} \mathrm{BP} \mathrm{P}^{\mathrm{T}}}_{\mathrm{I}} \mathrm{BP}\)

A² = P^TB² P

इसी प्रकार, A¹⁰ = P^TB¹⁰ P = C

\(A=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \text { (Given) }\)

⇒ \(A^{2}=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & -\sqrt{2}-2 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\)

इसी प्रकार A³ आदि की जाँच करें क्योंकि C = A¹⁰

⇒ C के विकर्ण अवयवों का योग \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{10}+1\)

= \(\frac{1}{32}+1=\frac{33}{32}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}\)

gcd(m, n) = 1 (दिया गया है)

⇒ m + n = 65

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

संकल्पना:

एक आव्यूह की सारणिक के गुण:

• यदि एक सारणिक के किसी भी पंक्ति या स्तंभ में प्रत्येक प्रविष्टि 0 है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 
• किसी वर्ग आव्यूह अर्थात् A के लिए, |A| = |AT|.
• यदि हम एक आव्यूह के किसी दो पंक्तियों (स्तंभों) को एक-दूसरे से परिवर्तित करते हैं, तो सारणिक को -1 से गुणा किया जाता है। 
• यदि एक आव्यूह की कोई भी दो पंक्तियां (स्तंभ) समान होती है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 

गणना:

\(\begin{vmatrix} \rm x-a & \rm y-b & \rm z-c\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x & \rm y & \rm z \end{vmatrix}\)

R3 → R3 - R2 लागू करने पर

= \(\begin{vmatrix} \rm x-a & \rm y-b & \rm z-c\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x-a & \rm y-b & \rm z-c \end{vmatrix}\)

चूँकि हम देख सकते हैं कि दिए गए आव्यूह की पहली और तीसरी पंक्ति बराबर हैं। 

हम जानते हैं कि, यदि एक आव्यूह की कोई भी दो पंक्तियां (स्तंभ) समान होती है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 

\(\begin{vmatrix} \rm x-a & \rm y-b & \rm z-c\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x & \rm y & \rm z \end{vmatrix}\) = 0

संकल्पना:

\(\rm i = \sqrt {-1}\)

i² = -1 , i³ = - i, i⁴ = 1, i⁶ = - 1 , i⁸ = 1 , i⁹ = i, i ¹² = 1, और i¹⁵ = - i

गणना:

दी गयी सारणिक \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{i}}&{{{\rm{i}}^2}}&{{{\rm{i}}^3}}\\ {{{\rm{i}}^4}}&{{{\rm{i}}^6}}&{{{\rm{i}}^8}}\\ {{{\rm{i}}^9}}&{{{\rm{i}}^{12}}}&{{{\rm{i}}^{15}}} \end{array}} \right|\) है। 

 चूंकि हमारे पास निम्न है, 

\(\rm i = \sqrt {-1}\)

i2 = -1 , i3 = - i, i4 = 1, i6 = - 1 , i8 = 1 , i9 = i, i 12 = 1, और i15 = - i

=\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{i}}&{{{\rm{-1}}}}&{{{\rm{-i}}}}\\ {{{\rm{1}}}}&{{{\rm{-1}}}}&{{{\rm{1}}}}\\ {{{\rm{i}}}}&{{{\rm{1}}}}&{{{\rm{-i}}}} \end{array}} \right|\)

=i(i - 1) + 1(-i - i) - i (1 + i)

= i² - i - 2i - i - i²

= - 4i

संकल्पना:

यदि \({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_{11}}}&{{{\rm{a}}_{12}}}\\ {{{\rm{a}}_{21}}}&{{{\rm{a}}_{22}}} \end{array}} \right]\) है, तो A की सारणिक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

|A| = a11 × a22 – a21 × a12

|An| = |A|n

गणना:

दिया गया है कि,

\({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}&2\\ 4&{\rm{x }} \end{array}} \right]\) और  |A2​| = 64

⇒ |A| = x2 - 8          .... (1)

दिया गया है |A2| = 64

⇒ |A|2 = 64         [∵ |An| = |A|n]

⇒ |A| = (64)1/2 = 8         ....(2)

समीकरण 1 और 2 से 

⇒ x2 - 8 = 8

⇒ x2 = 16

संकल्पना:

सारणिक के गुण:

यदि A और B दो वर्ग आव्यूह हैं, तो |AB| = |A||B| है। 

गणना:

दिया गया है: A = \(\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\) और B = \(\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}\)

अब,

|A| = 2 × 1 - 5 × 2 = 2 - 10 = -8

|B| = 4 × 5 - (-3 × 1) = 20 + 3 = 23

चूँकि हम जानते हैं कि, |AB| = |A||B|

= -8 × 23 = -184

धारणा:

प्राथमिक पंक्ति या स्तंभ रूपांतरण आव्यूह के सारणिक के मूल्य को नहीं बदलते हैं।

गणना:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&{1 + {\rm{a}}}&1\\ {1 + {\rm{b}}}&1&1 \end{array}} \right|\)

R₂ → R₂ – R₁, R₃ → R₃ – R₁ लागू करके हमें मिलता है

= \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 0&{\rm{a}}&0\\ {\rm{b}}&0&0 \end{array}} \right|\)

अब C₃ के साथ विस्तार करके

= 1 (0 – ab) – 0 + 0 = -ab

धारणा:

प्राथमिक पंक्ति या स्तंभ रूपांतरण आव्यूह के सारणिक के मूल्य को नहीं बदलते हैं।

गणना:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&{1 + {\rm{x}}}&1\\ 1&1&{1 + {\rm{y}}} \end{array}} \right|\)

R₂ → R₂ – R₁, R₃ → R₃ – R₁ लागू करके हमें मिलता है

\(= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 0&{\rm{x}}&0\\ 0&0&{\rm{y}} \end{array}} \right|\)

अब C1 के साथ विस्तार करके

= 1 (xy – 0) – 0 + 0 = xy

संकल्पना:

आव्यूह के सारणिक के गुण:

• यदि एक सारणिक की किसी पंक्ति या स्तंभ में प्रत्येक प्रविष्टि 0 है, तो सारणिक का मान शून्य है। 
• किसी वर्ग आव्यूह अर्थात् A के लिए, |A| = |AT|
• यदि हम एक आव्यूह की किसी दो पंक्तियों (स्तंभों) को एक-दूसरे से परिवर्तित करते हैं, तो सारणिक को -1 से गुणा किया जाता है। 
• यदि एक आव्यूह की कोई दो पंक्तियाँ (स्तंभ) समान हैं, तो सारणिक का मान शून्य है। 

गणना:

\(\begin{vmatrix} 2 & 7 & 37\\ 3& 6 & 33\\ 4 & 5 & 29 \end{vmatrix}\)

C2 → 5C2 + C₁ लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

= \(\begin{vmatrix} 2 & 37 & 37\\ 3& 33 & 33\\ 4 & 29 & 29 \end{vmatrix}\)

चूँकि हम देख सकते हैं कि दिए गए आव्यूह की दूसरी और तीसरी पंक्ति बराबर हैं। 

हम जानते हैं कि, यदि एक आव्यूह की कोई दो पंक्तियाँ (स्तंभ) समान हैं, तो सारणिक का मान शून्य है। 

∴\(\begin{vmatrix} 2 & 7 & 37\\ 3& 6 & 33\\ 4 & 5 & 29 \end{vmatrix}\) = 0

संकल्पना:

• यदि \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right]\) कोटि 2 वाली एक वर्ग आव्यूह है, तो A की सारणिक को |A| = a₁₁ × {(a₂₂ × a₃₃) – (a₂₃ × a₃₂)} - a₁₂ × {(a₂₁ × a₃₃) – (a₂₃ × a₃₁)} + a₁₃ × {(a₂₁ × a₃₂) – (a₂₂ × a₃₁)} द्वारा ज्ञात किया जाता है।  
• यदि A आव्यूह n वाली एक आव्यूह है, तो |k ⋅ A| = kn ⋅ |A| है, जहाँ k ∈ R है। 

गणना:

दिया गया है: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&9\\ {11}&6&7\\ 8&9&5 \end{array}} \right]\) और |2A| = k

⇒ |A| = 3 × (30 - 63) - 4 × (55 - 56) + 9 × (99 - 48)

⇒ |A| = - 99 + 4 + 459 = 364

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि A आव्यूह n वाली एक आव्यूह है, तो |k ⋅ A| = kn ⋅ |A| है, जहाँ k ∈ R है। 

⇒ |2A| = 2³ ⋅ 364 = 2912

अतः सही विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है \(\begin{vmatrix} \rm x& 2 & 3\\ 1 & \rm x& 1 \\ 3 & 2& \rm x\end{vmatrix}\) = 0

⇒ x(x² - 2) - 2(x - 3) + 3(2 - 3x) = 0

अब, x³ - 2x - 2x + 6 + 6 - 9x = 0

⇒ x³ - 13x + 12 = 0

∵ x = 3 समीकरण का एक मूल है, ∴ (x - 3) = 0

If we divide (x3 - 13x + 12) from (x - 3) we will get (x2 + 3x - 4)

⇒ (x - 3)(x² + 3x - 4) = 0

⇒ x2 + 3x - 4 = 0

⇒ (x + 4)(x - 1) = 0

⇒ x = 1, -4

धारणा:

यदि \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right]\) तो A का सारणिक निम्न द्वारा दिया जाता है: |A| = (a­₁₁ × a₂₂) – (a₁₂ – a₂₁).

गणना:

माना कि, \({\rm{A}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2 + i}&{2 - i}\\ {1 + i}&{i - 1} \end{array}} \right|\)

⇒ |A| = (2 + i) (i – 1) – (2 – i) (1 + i)

= 2i + i² – 2 – i – (2 – i + 2i – i²)

= i – 1 – 2 – (2 + i + 1)                   (∵ i² = -1)

= i – 3 – 2 – i – 1

= -6

∴ |A| वास्तविक संख्या है।