Evaluation of Limits MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluation of Limits - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Apr 11, 2025

पाईये Evaluation of Limits उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Evaluation of Limits MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Evaluation of Limits MCQ Objective Questions

Evaluation of Limits Question 1:

\(\rm \ Lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\{\sqrt{(1+x)}-\sqrt{(1-x)}\}=\)

  1. 1
  2. 0
  3. ∞ 
  4. \(\frac{1}{2}\)
  5. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 1

Evaluation of Limits Question 1 Detailed Solution

Evaluation of Limits Question 2:

यदि x2y - 2x + y = 0; |x| < 1 तब \(\rm \left[y+\frac{y^3}{3}+\frac{y^5}{5}+...\right]/\left[x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+....\right]\) बराबर है-

  1. 4
  2. 2
  3. \(\frac{1}{2}\)
  4. \(\frac{1}{4}\)
  5. 3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2

Evaluation of Limits Question 2 Detailed Solution

Evaluation of Limits Question 3:

यदि \(\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\left(\frac{e}{1-e}\right)\left(\frac{1}{e}-\frac{x}{1+x}\right)\right)^{x}\) = α है, तो \(\frac{\log _{e} \alpha}{1+\log _{e} \alpha}\) का मान कितना है?

  1. e
  2. e-2
  3. e2
  4. e-1
  5. e - 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : e

Evaluation of Limits Question 3 Detailed Solution

गणना

α = \(\lim _{x \rightarrow ∞}\left(\left(\frac{e}{1-e}\right)\left(\frac{1}{e}-\frac{x}{1+x}\right)\right)^{x}\) (1 रूप)

∴ α = eL

जहाँ L = \(\lim _{x \rightarrow \infty} x\left(\left(\frac{e}{1-e}\right)\left(\frac{1}{e}-\frac{x}{1+x}\right)-1\right)\)

L = \(\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{e}{1-e}\right) x\left(\frac{1}{e}-\frac{x}{1+x}-\left(\frac{1-e}{e}\right)\right)\)

⇒ L = \(\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}} \lim _{\mathrm{x} \rightarrow \infty} \mathrm{x}\left(1-\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}\right)\)

⇒ L= \(\frac{e}{1-e^{x \rightarrow \infty}} \lim _{x+1} \frac{x}{x+1}\)

⇒ L = \(\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}} .1\)

⇒ L = \(\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}\)

∴ α = \(e^{\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}}\) ⇒  logα = \(\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}\)

अभीष्ट मान = \(\frac{\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}}{1+\frac{\mathrm{e}}{1-\mathrm{e}}}\) = e

अतः विकल्प 1 सही है। 

Evaluation of Limits Question 4:

माना कि α और β, \(a x^{2}+b x+c=0\) के भिन्न मूल हैं, तब \(\lim _{x \rightarrow \alpha} \frac{1-\cos \left(a x^{2}+b x+c\right)}{(x-\alpha)^{2}}\) किसके बराबर है?

  1. \(\frac{a^{2}(\alpha-\beta)^{2}}{2}\)
  2. \(\frac{(\alpha-\beta)^{2}}{2}\)
  3. \(\frac{-a^{2}(\alpha-\beta)^{2}}{2}\)
  4. 0
  5. 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\frac{a^{2}(\alpha-\beta)^{2}}{2}\)

Evaluation of Limits Question 4 Detailed Solution

गणना

चूँकि \(\alpha\) और \(\beta\), \(ax^2 + bx + c = 0\) के मूल हैं, तब

मूलों का योग \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\) है,

और मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta = \frac{c}{a}\) है। 

दी गई सीमा = \(\lim _{x \rightarrow \alpha} \frac{1-\cos \left(a x^{2}+b x+c\right)}{(x-\alpha)^{2}}\)

= \(\lim_{x \to \alpha} \frac{1 - \cos[a(x - \alpha)(x - \beta)]}{(x - \alpha)^2}\)

= \(\lim_{x \to \alpha} \frac{2\sin^2\left[a\frac{(x - \alpha)(x - \beta)}{2}\right]}{(x - \alpha)^2}\)

= \(\lim_{x \to \alpha} \frac{2}{(x - \alpha)^2} \times \frac{\sin^2\left[a\frac{(x - \alpha)(x - \beta)}{2}\right]}{\frac{a^2(x - \alpha)^2(x - \beta)^2}{4}} \times \frac{a^2(x - \alpha)^2(x - \beta)^2}{4}\)

= \(\frac{a^2(\alpha - \beta)^2}{2}\)

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

Evaluation of Limits Question 5:

दिया गया है \(\rm \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sec \theta-\tan \theta)\) किसके बराबर है?

  1. -1
  2. 0
  3. 1/2
  4. 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 0

Evaluation of Limits Question 5 Detailed Solution

व्याख्या:

\(\rm \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sec \theta-\tan \theta)\)

= \(\rm \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin\theta }{\cos\theta} [\frac{0}{0}\) रूप]

= \(\rm \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}( \frac{-\cos\theta}{-\sin\theta}) =0\) (L' हॉस्पिटल नियम का उपयोग करके)

इसलिए विकल्प (b) सही है।

Top Evaluation of Limits MCQ Objective Questions

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \;\;\frac{{{{\left( {1 - \cos2x} \right)}^2}\;}}{{{x^4}}}\)का मूल्य क्या है?

  1. 1
  2. 8
  3. 4
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 4

Evaluation of Limits Question 6 Detailed Solution

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धारणा:

  • 1 - cos 2θ = 2 sin2 θ
  • \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \;\;\frac{{\sin x}}{x} = 1\)

 

गणना:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \;\;\frac{{{{\left( {1 - \cos2x} \right)}^2}\;}}{{{x^4}}}\)

\(\;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \;\;\frac{{{{\left( {2{{\sin }^2}x} \right)}^2}}}{{{x^4}}}\)          (1 - cos 2θ = 2 sin2 θ)

\(\;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \;\;\frac{{4{{\sin }^4}x}}{{{x^4}}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 4\; × \;{\left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)^4}\)

= 4 × 1 = 4

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\log (1+2x)}{\tan 2x}\) का मूल्यांकन कीजिए। 

  1. -1
  2. 1
  3. 2
  4. 4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1

Evaluation of Limits Question 7 Detailed Solution

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संकल्पना:

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} \left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right] = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} g\left( x \right)}},\;provided\;\mathop {\lim }\limits_{x\; \to a} g\left( x \right) \ne 0\)

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\tan x}}{x}} = 1\)

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\log (1+x)}}{x}} = 1\)

 

गणना:

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\log (1+2x)}{\tan 2x}\)

\(\rm = \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{\log (1+2x)}{2x} \times 2x}{\frac{\tan 2x}{2x} \times 2x}\\= \frac{\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\log (1+2x)}{2x} }{\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\tan 2x}{2x} }\)

चूँकि हम जानते हैं कि \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\tan x}}{x}} = 1\) और  \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\log (1+x)}}{x}} = 1\)

इसलिए, \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\tan 2x}}{2x}} = 1\) और \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\log (1+2x)}}{2x}} = 1\)

अतः \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\log (1+2x)}{\tan 2x} = \frac 1 1=1\)

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}\) का मूल्यांकन कीजिए। 

  1. 0
  2. 1
  3. \(\frac{1}{\sqrt 2}\)
  4. \(\frac 1 2\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\frac{1}{\sqrt 2}\)

Evaluation of Limits Question 8 Detailed Solution

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गणना:

हमें \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow ∞} \frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}\) का मान ज्ञात करना है। 

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow ∞} \frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}\)       [रूप \(\frac{∞}{∞}\)]

यह सीमा \(\frac{∞}{∞}\) रूप का है, यहाँ, हम अंश और हर में से 0 तक जाने के लिए एक गुणक को रद्द कर सकते हैं। 

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow ∞} \frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}\)

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x}{x\sqrt{\frac{1}{x^2}+2}}\)

गुणक x, ∞ हो जाता है, जिसपर x, ∞ तक है, इसलिए हमें अंश और हर से इस गुणक को रद्द करना है। 

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+2}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\infty^2}+2}}=\frac{1}{\sqrt{0+2}}=\frac{1}{\sqrt 2}\)

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2}{{1+x^2}}\) का मूल्यांकन कीजिए। 

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. \(\frac 12 \)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1

Evaluation of Limits Question 9 Detailed Solution

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गणना:

हमें \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2}{{1+x^2}}\) का मान ज्ञात करना है। 

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2}{{1+x^2}}\)       [रूप \(\frac{∞}{∞}\)]

यह सीमा \(\frac{∞}{∞}\) रूप का है, यहाँ, हम अंश और हर में से ∞ तक जाने के लिए एक गुणक को रद्द कर सकते हैं। 

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2}{{1+x^2}}\)

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2}{x^2\left({\frac {1}{x^2}+1}\right)}\)

गुणक x2, x पर ∞ होते हुए ∞ तक झुकता है, इसलिए हमें अंश और हर से इस गुणक को रद्द करना है। 

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{\left({\frac {1}{x^2}+1}\right)}\)

\(\frac{1}{{\frac{1}{\infty^2}+1}}=\frac{1}{{0+1}}=1\)

\(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^2 \tan x}\) का मान किसके बराबर है?

  1. 0
  2. 1
  3. \(\dfrac{1}{2}\)
  4. \(\dfrac{1}{3}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\dfrac{1}{3}\)

Evaluation of Limits Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

  • \(\rm \displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1\).
  • \(\rm \dfrac{d}{dx}\tan x=\sec^2x\).
  • \(\rm \dfrac{d}{dx}\sec x=\tan x\sec x\).
  • \(\rm \dfrac{d}{dx}\left[f(x)\times g(x)\right]=f(x)\dfrac{d}{dx}g(x)+g(x)\dfrac{d}{dx}f(x)\).

 

अनिश्चित रूप: वह समीकरण जिसका मान \(\dfrac00\), \(\pm\dfrac{\infty}{\infty}\), 00, ∞0 इत्यादि की तरह परिभाषित नहीं हो सकता है। 

  • अनिश्चित रूप \(\dfrac 0 0\) के लिए सर्वप्रथम संयुग्म के साथ गुणा करके इसका परिमेयकरण करने की कोशिश कीजिए या केवल अंश और हल में कुछ पदों को रद्द करके सरलीकृत कीजिए। अन्यथा, L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग कीजिए। 
  • L हॉस्पिटल का नियम: अवकलनीय फलन f(x) और g(x) के लिए \(\rm \displaystyle \lim_{x\to c} \dfrac{f(x)}{g(x)}\) है, यदि f(x) और g(x) दोनों 0 है या यदि यह मौजूद है, तो ±∞ (अर्थात् अनिश्चित रूप), \(\rm \displaystyle \lim_{x\to c} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) के बराबर है। 

 

गणना:

\(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^2 \tan x}=\dfrac00\) एक अनिश्चित रूप है। तो हम इसे सरलीकृत करते हैं और L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करते हैं। 

\(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^2 \tan x}=\lim_{x\to 0}\left[\dfrac{\tan x - x}{x^3}\times\dfrac{x}{\tan x}\right]\).

हम जानते हैं कि \(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\tan x}=1\) है, लेकिन \(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^3}\) फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करते हैं:

\(\rm \displaystyle \rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x - 1}{3x^2}\), जो फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम फिर से L हॉसिपटल नियम का प्रयोग करते हैं:

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x - 1}{3x^2}= \lim_{x\to 0}\dfrac{2\sec x(\sec x\tan x)}{6x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x\tan x}{3x}\), जो फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम फिर से L हॉसिपटल नियम का प्रयोग करते हैं:

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x\tan x}{3x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x\sec^2 x+\tan x[2\sec x(\sec x \tan x)]}{3}=\dfrac{1}{3}\).

∴ \(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^2 \tan x}=1\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\).

\(\rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{3^x + 3^{-x}-2}{x}\) किसके बराबर है?

  1. 0
  2. -1
  3. 1
  4. सीमा मौजूद नहीं है

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 0

Evaluation of Limits Question 11 Detailed Solution

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अवधारणा:

\(\rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \;\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} f\left( x \right) + \;\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} g\left( x \right)\)

\(\rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;0} \dfrac { (a^x - 1) }{x} = \log a\)

log mn = n log m

 

गणना:

\(\rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{3^x + 3^{-x}-2}{x}\\= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{3^x -1+ 3^{-x}-1}{x}\\= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{3^x -1}{x}+\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{3^{-x} -1}{x}\\= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{3^x -1}{x}+\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{(3^{-1})^x -1}{x}\\= \log 3 + \log (3^{-1})\\= \log 3 - \log 3\\=0\)

\(\rm \displaystyle\lim_ {x\rightarrow 0}\left({\frac{\sqrt{1-cosx^2}}{(1-cosx)}}\right)=?\)

  1. 1/2
  2. 2
  3. √2
  4. इनमें से कोई नहीं। 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : √2

Evaluation of Limits Question 12 Detailed Solution

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प्रयुक्त सूत्र:

\(\rm \displaystyle\lim_ {x\rightarrow 0}\left({\frac{sin\ x}{x}}\right)=1\)

गणना:

\(\rm \displaystyle\lim_ {x\rightarrow 0}\left({\frac{\sqrt{1-cosx^2}}{(1-cosx)}}\right)\)

चूँकि, 1 - cos 2θ = sin2θ

⇒ \(\rm \displaystyle\lim_ {x\rightarrow0}\left({\frac{√{2sin^2\frac{x^2}{2}}}{(2sin^2\frac{x}{2})}}\right)\)

 \(\frac{1}{√ 2}\rm \displaystyle\lim_ {x\rightarrow 0}\left({\frac{{\frac{x^2}{2}\times sin\frac{x^2}{2}}}{(sin^2\frac{x}{2})\times\frac{x^2}{2}}}\right)\)

∴  \(\frac{2}{√ 2}\rm \displaystyle\lim_ {x\rightarrow 0}\left(\frac{sin\frac{x^2}{2}}{\frac{x^2}{2}}\right)\times \left(\frac{\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}\right)^2\) = √2

\(\rm \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} x \sin \left(\frac{\pi} {x}\right)\) का मान ज्ञात कीजिए। 

  1. \(\rm \frac {1}{π}\)
  2. 0
  3. π
  4. 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : π

Evaluation of Limits Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

\(\rm \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

 

गणना:

\(\rm \displaystyle \lim_{x → ∞} x \sin \left(\frac{π} {x}\right)\)

\(\rm \displaystyle \lim_{x → ∞} \frac{\sin \left(\frac{π} {x}\right)}{\left(\frac{1}{x} \right )}\)

\(\rm \displaystyle \lim_{x → ∞} \frac{\sin \left(\frac{π} {x}\right)}{\left(\frac{π}{x} \right )} × π\)

माना कि \(\rm \frac {π}{x} = t\)

यदि x → ∞ तो t → 0

\(\rm \displaystyle \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t} × π\)

= 1 × π 

= π 

\(\rm \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x \log (1-x)}{x^2}\) किसके बराबर है?

  1. -1
  2. शून्य
  3. -e
  4. \(\rm -\dfrac{1}{e}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : -1

Evaluation of Limits Question 14 Detailed Solution

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संकल्पना:

\(\rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} \left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right] = \;\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} f\left( x \right) \cdot \;\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} g\left( x \right)\)

\(\rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;0} \dfrac {\sin x }{x} = 1\\\rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;0} \dfrac {\log (1+x) }{x}\)

 

गणना:

हमें \(\rm \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x \log (1-x)}{x^2}\) का मान ज्ञात करना है। 

हम जानते हैं,\(\rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} \left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right] = \;\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} f\left( x \right) \cdot \;\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} g\left( x \right)\)

\(\therefore \rm \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x \log (1-x)}{x^2}= \rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;0} \dfrac {\sin x }{x} × ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;0} \dfrac {\log (1-x) }{x}\)

= 1 × \(\rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;0} \dfrac {\log (1+(-x)) }{x}\)

= \(\rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;0} \dfrac {\log (1+(-x)) }{-(-x)}\)

\(-1 × \rm ​​\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;0} \dfrac {\log (1+(-x)) }{(-x)}\)

= -1 × 1

= -1

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^{n + 1}} + {3^{n + 1}}}}{{{2^n} + {3^n}}}\) किसके बराबर है?

  1. 3
  2. 2
  3. 1
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3

Evaluation of Limits Question 15 Detailed Solution

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\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^{n + 1}} + {3^{n + 1}}}}{{{2^n} + {3^n}}} \)

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^n}2 + {3^n}3}}{{{2^n} + {3^n}}}\)

3n आम लेते हुए, हम लिख सकते हैं:

\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{3^n}\left[ {2.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 3} \right]}}{{{3^n}\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 1} \right]}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 3}}{{\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 1} \right]}}\)

यहाँ \(\frac 2 3 < 1\)

इसलिए, \(\left[ \frac {2}{3}\right]^{\infty} = 0\)

\(= \frac{{0 + 3}}{{0 + 1}} = 3\)

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