Phase Velocity MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Phase Velocity - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

तरंग समीकरण:

तरंग समीकरण का सामान्य रूप y = A sin(kx - ωt) है, जहाँ:

A = तरंग का आयाम

k = तरंग संख्या (k = 2π / λ)

ω = कोणीय आवृत्ति (ω = 2πf)

t = समय

x = स्थिति

तरंग वेग v की गणना निम्न संबंध का उपयोग करके की जा सकती है:

v = ω / k

गणना:

दिए गए तरंग समीकरण: y = 0.5 sin(2π / λ (400t - x)) m, से हम निम्नलिखित पहचान सकते हैं:

ω = 2π x 400 = 800π rad/s

k = 2π / λ

तरंग का वेग इस प्रकार दिया गया है:

v = ω / k = (800π) / (2π / λ) = 400λ

चूँकि समीकरण मानक तरंग रूप में है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि तरंग का वेग 400 m/s है।

∴ तरंग का वेग 400 m/s है, जो विकल्प 3 से मेल खाता है।

गणना:

हम दिए गए विक्षेपण संबंध से शुरुआत करते हैं:

\(\frac{\omega^{2}}{k^{2}}=\frac{T}{\mu}+\alpha k^{2}\)

चरण 1: कला वेग के लिए व्यंजक

कला वेग $V_P$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(V_p=\frac{\omega}{k}\)

दिए गए विक्षेपण संबंध को पुनर्व्यवस्थित करते हुए,

\(\omega^2=k^2(\frac{T}{\mu}+\alpha k^2)\)

वर्गमूल लेते हुए,

\(\omega=k\sqrt{\frac{T}{\mu}+\alpha k^2}\)

छोटे \(\alpha k^2\) के लिए, हम द्विपद प्रसार का उपयोग कर सकते हैं:

\(V_p=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\sqrt{1+\frac{\alpha k^2\mu}{T}}\)

छोटे x के लिए \(\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}\) का उपयोग करते हुए,

\(V_p\approx\sqrt{\frac{T}{\mu}}({1+\frac{\alpha k^2\mu}{2T}})\)

इस प्रकार, विकल्प '2' सही है।

संकल्पना:

एक तरंग का समूह वेग वह वेग है जिसके साथ तरंग के आयामों का समग्र आवरण आकार जिसे तरंग के मॉडयूलन या आवरण के रूप में जाना जाता है, स्थान के माध्यम से फैलता है।

समूह का वेग निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

\({v_g} = \frac{{d\omega }}{{dk}}\)

जहां ω = तरंग की कोणीय आवृत्ति

k = कोणीय तरंग संख्या = 2π / λ

तरंग सिद्धांत हमें बताता है कि एक तरंग समूह वेग के साथ अपनी ऊर्जा वहन करती है। पदार्थ तरंगों के लिए, यह समूह वेग कण का वेग u है ।

एक फोटॉन की ऊर्जा प्लैंक द्वारा इसप्रकार दी गई है:

E = hν

ω = 2πν के साथ

ω = 2πE/h      ----- (1)

तरंग संख्या कों निम्न द्वारा दिया गया है:

k = 2π/λ = 2πp/h    ----(2)

जहां λ = h/p (डी ब्रोगली)

अब समीकरण 1 और 2 से, हमें मिलता है:

\(d\omega = \frac{{2\pi }}{h}dE;\)

\(dk = \frac{{2\pi }}{h}dp;\)

\(\frac{{d\omega }}{{dk}} = \frac{{dE}}{{dp}}\)

परिभाषा के अनुसार: \({v_g} = \frac{{d\omega }}{{dk}}\)

vg = dE/dp   ---- (3)

यदि द्रव्यमान m का एक कण वेग v के साथ घूम रहा है, तो

\(E = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{{{p^2}}}{{2m}}\)

\(\frac{{dE}}{{dp}} = \frac{p}{m} = {v_p}\) - - (4)

अब समीकरण 3 और 4 से:

vg = vp

संकल्पना:

चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता का सामान्य समीकरण दिया गया है:

E = E0 cos (ωt - βz)ax A / m

प्रावस्था वेग को उस दर के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर तरंग का प्रावस्था अंतरिक्ष में संचरित होती है।

गणितीय रूप से इसकी गणना इस प्रकार की जाती है:

\({v_p} = \frac{ω }{β }=\frac{2\pi f}{\frac{2\pi}{λ}}=fλ\)

गणना:

दिया गया है:

f = 5.0 GHz, λ = 3.0 cm

इसलिए, माध्यम में तरंग का प्रावस्था वेग होगा:

v_p = fλ

v_p = 5 x 10⁹ x 3 x 10^-2

v_p = 1.5 x 10⁸ m/sec

फेज​ वेग:

यह वह दर है जिस पर तरंग का फेज स्पेस में फैलता है। गणितीय रूप से:

\({V_p} = \frac{c}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{\omega _c}}}{\omega }} \right)}^2}} }}\)

ωc = विच्छेदन आवृत्ति

ω = संचालन की आवृत्ति

समूह वेग:

यह वह वेग है जिस पर तरंग का समग्र आवरण चलता है।

\({V_g} = c\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{\omega _c}}}{\omega }} \right)}^2}} \)

दोनों वेगों को गुणा करने पर, हम निम्न मान प्राप्त करते हैं:

\({V_p}{V_g} = \frac{c}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{\omega _c}}}{\omega }} \right)}^2}} }} \times c\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{\omega _c}}}{\omega }} \right)}^2}} \)

\({V_p}{V_g} = {c^2}\)

संकल्पना:

एक तरंग का समूह वेग वह वेग है जिसके साथ तरंग के आयामों का समग्र आवरण आकार जिसे तरंग के मॉडयूलन या आवरण के रूप में जाना जाता है, स्थान के माध्यम से फैलता है।

समूह का वेग निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

\({v_g} = \frac{{d\omega }}{{dk}}\)

जहां ω = तरंग की कोणीय आवृत्ति

k = कोणीय तरंग संख्या = 2π / λ

तरंग सिद्धांत हमें बताता है कि एक तरंग समूह वेग के साथ अपनी ऊर्जा वहन करती है। पदार्थ तरंगों के लिए, यह समूह वेग कण का वेग u है ।

एक फोटॉन की ऊर्जा प्लैंक द्वारा इसप्रकार दी गई है:

E = hν

ω = 2πν के साथ

ω = 2πE/h      ----- (1)

तरंग संख्या कों निम्न द्वारा दिया गया है:

k = 2π/λ = 2πp/h    ----(2)

जहां λ = h/p (डी ब्रोगली)

अब समीकरण 1 और 2 से, हमें मिलता है:

\(d\omega = \frac{{2\pi }}{h}dE;\)

\(dk = \frac{{2\pi }}{h}dp;\)

\(\frac{{d\omega }}{{dk}} = \frac{{dE}}{{dp}}\)

परिभाषा के अनुसार: \({v_g} = \frac{{d\omega }}{{dk}}\)

vg = dE/dp   ---- (3)

यदि द्रव्यमान m का एक कण वेग v के साथ घूम रहा है, तो

\(E = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{{{p^2}}}{{2m}}\)

\(\frac{{dE}}{{dp}} = \frac{p}{m} = {v_p}\) - - (4)

अब समीकरण 3 और 4 से:

vg = vp

फेज​ वेग:

यह वह दर है जिस पर तरंग का फेज स्पेस में फैलता है। गणितीय रूप से:

\({V_p} = \frac{c}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{\omega _c}}}{\omega }} \right)}^2}} }}\)

ωc = विच्छेदन आवृत्ति

ω = संचालन की आवृत्ति

समूह वेग:

यह वह वेग है जिस पर तरंग का समग्र आवरण चलता है।

\({V_g} = c\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{\omega _c}}}{\omega }} \right)}^2}} \)

दोनों वेगों को गुणा करने पर, हम निम्न मान प्राप्त करते हैं:

\({V_p}{V_g} = \frac{c}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{\omega _c}}}{\omega }} \right)}^2}} }} \times c\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{\omega _c}}}{\omega }} \right)}^2}} \)

\({V_p}{V_g} = {c^2}\)

संकल्पना:

चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता का सामान्य समीकरण दिया गया है:

E = E0 cos (ωt - βz)ax A / m

प्रावस्था वेग को उस दर के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर तरंग का प्रावस्था अंतरिक्ष में संचरित होती है।

गणितीय रूप से इसकी गणना इस प्रकार की जाती है:

\({v_p} = \frac{ω }{β }=\frac{2\pi f}{\frac{2\pi}{λ}}=fλ\)

गणना:

दिया गया है:

f = 5.0 GHz, λ = 3.0 cm

इसलिए, माध्यम में तरंग का प्रावस्था वेग होगा:

v_p = fλ

v_p = 5 x 10⁹ x 3 x 10^-2

v_p = 1.5 x 10⁸ m/sec

अवधारणा:

तरंग समीकरण:

तरंग समीकरण का सामान्य रूप y = A sin(kx - ωt) है, जहाँ:

A = तरंग का आयाम

k = तरंग संख्या (k = 2π / λ)

ω = कोणीय आवृत्ति (ω = 2πf)

t = समय

x = स्थिति

तरंग वेग v की गणना निम्न संबंध का उपयोग करके की जा सकती है:

v = ω / k

गणना:

दिए गए तरंग समीकरण: y = 0.5 sin(2π / λ (400t - x)) m, से हम निम्नलिखित पहचान सकते हैं:

ω = 2π x 400 = 800π rad/s

k = 2π / λ

तरंग का वेग इस प्रकार दिया गया है:

v = ω / k = (800π) / (2π / λ) = 400λ

चूँकि समीकरण मानक तरंग रूप में है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि तरंग का वेग 400 m/s है।

∴ तरंग का वेग 400 m/s है, जो विकल्प 3 से मेल खाता है।

संकल्पना:

एक तरंग का समूह वेग वह वेग है जिसके साथ तरंग के आयामों का समग्र आवरण आकार जिसे तरंग के मॉडयूलन या आवरण के रूप में जाना जाता है, स्थान के माध्यम से फैलता है।

समूह का वेग निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

\({v_g} = \frac{{d\omega }}{{dk}}\)

जहां ω = तरंग की कोणीय आवृत्ति

k = कोणीय तरंग संख्या = 2π / λ

तरंग सिद्धांत हमें बताता है कि एक तरंग समूह वेग के साथ अपनी ऊर्जा वहन करती है। पदार्थ तरंगों के लिए, यह समूह वेग कण का वेग u है ।

एक फोटॉन की ऊर्जा प्लैंक द्वारा इसप्रकार दी गई है:

E = hν

ω = 2πν के साथ

ω = 2πE/h      ----- (1)

तरंग संख्या कों निम्न द्वारा दिया गया है:

k = 2π/λ = 2πp/h    ----(2)

जहां λ = h/p (डी ब्रोगली)

अब समीकरण 1 और 2 से, हमें मिलता है:

\(d\omega = \frac{{2\pi }}{h}dE;\)

\(dk = \frac{{2\pi }}{h}dp;\)

\(\frac{{d\omega }}{{dk}} = \frac{{dE}}{{dp}}\)

परिभाषा के अनुसार: \({v_g} = \frac{{d\omega }}{{dk}}\)

vg = dE/dp   ---- (3)

यदि द्रव्यमान m का एक कण वेग v के साथ घूम रहा है, तो

\(E = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{{{p^2}}}{{2m}}\)

\(\frac{{dE}}{{dp}} = \frac{p}{m} = {v_p}\) - - (4)

अब समीकरण 3 और 4 से:

vg = vp

फेज​ वेग:

यह वह दर है जिस पर तरंग का फेज स्पेस में फैलता है। गणितीय रूप से:

\({V_p} = \frac{c}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{\omega _c}}}{\omega }} \right)}^2}} }}\)

ωc = विच्छेदन आवृत्ति

ω = संचालन की आवृत्ति

समूह वेग:

यह वह वेग है जिस पर तरंग का समग्र आवरण चलता है।

\({V_g} = c\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{\omega _c}}}{\omega }} \right)}^2}} \)

दोनों वेगों को गुणा करने पर, हम निम्न मान प्राप्त करते हैं:

\({V_p}{V_g} = \frac{c}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{\omega _c}}}{\omega }} \right)}^2}} }} \times c\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{\omega _c}}}{\omega }} \right)}^2}} \)

\({V_p}{V_g} = {c^2}\)

संकल्पना:

चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता का सामान्य समीकरण दिया गया है:

E = E0 cos (ωt - βz)ax A / m

प्रावस्था वेग को उस दर के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर तरंग का प्रावस्था अंतरिक्ष में संचरित होती है।

गणितीय रूप से इसकी गणना इस प्रकार की जाती है:

\({v_p} = \frac{ω }{β }=\frac{2\pi f}{\frac{2\pi}{λ}}=fλ\)

गणना:

दिया गया है:

f = 5.0 GHz, λ = 3.0 cm

इसलिए, माध्यम में तरंग का प्रावस्था वेग होगा:

v_p = fλ

v_p = 5 x 10⁹ x 3 x 10^-2

v_p = 1.5 x 10⁸ m/sec

अवधारणा:

तरंग समीकरण:

तरंग समीकरण का सामान्य रूप y = A sin(kx - ωt) है, जहाँ:

A = तरंग का आयाम

k = तरंग संख्या (k = 2π / λ)

ω = कोणीय आवृत्ति (ω = 2πf)

t = समय

x = स्थिति

तरंग वेग v की गणना निम्न संबंध का उपयोग करके की जा सकती है:

v = ω / k

गणना:

दिए गए तरंग समीकरण: y = 0.5 sin(2π / λ (400t - x)) m, से हम निम्नलिखित पहचान सकते हैं:

ω = 2π x 400 = 800π rad/s

k = 2π / λ

तरंग का वेग इस प्रकार दिया गया है:

v = ω / k = (800π) / (2π / λ) = 400λ

चूँकि समीकरण मानक तरंग रूप में है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि तरंग का वेग 400 m/s है।

∴ तरंग का वेग 400 m/s है, जो विकल्प 3 से मेल खाता है।

गणना:

हम दिए गए विक्षेपण संबंध से शुरुआत करते हैं:

\(\frac{\omega^{2}}{k^{2}}=\frac{T}{\mu}+\alpha k^{2}\)

चरण 1: कला वेग के लिए व्यंजक

कला वेग $V_P$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(V_p=\frac{\omega}{k}\)

दिए गए विक्षेपण संबंध को पुनर्व्यवस्थित करते हुए,

\(\omega^2=k^2(\frac{T}{\mu}+\alpha k^2)\)

वर्गमूल लेते हुए,

\(\omega=k\sqrt{\frac{T}{\mu}+\alpha k^2}\)

छोटे \(\alpha k^2\) के लिए, हम द्विपद प्रसार का उपयोग कर सकते हैं:

\(V_p=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\sqrt{1+\frac{\alpha k^2\mu}{T}}\)

छोटे x के लिए \(\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}\) का उपयोग करते हुए,

\(V_p\approx\sqrt{\frac{T}{\mu}}({1+\frac{\alpha k^2\mu}{2T}})\)

इस प्रकार, विकल्प '2' सही है।

दिया गया है कि, समतल तरंग, \(\rm \omega = 2 \times {10^2},\beta = 5 \times {10^{ - 2}}\)

फेज वेग, \(\rm v = \frac{\omega }{\beta } = \frac{{2 \times {{10}^2}}}{{5 \times {{10}^{ - 2}}}} = 4\;km/s\)