Remainder MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Remainder - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

संख्या = 21⁴²

भाजक = 441

प्रयुक्त सूत्र:

यदि किसी संख्या N को k × m के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ k एक पूर्णांक है और m भाजक है, तो N को m से विभाजित करने पर शेषफल 0 होगा।

गणनाएँ:

हमें 21⁴² को 441 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।

हम भाजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: 441 = 21 × 21

अब, संख्या 21⁴² को देखें।

21⁴² = 21 × 21 × 21 × ... × 21 (42 बार)

हम पहले दो पदों को समूहबद्ध कर सकते हैं:

21⁴² = (21 × 21) × (21 × 21 × ... × 21) (40 बार)

चूँकि 21 × 21 = 441,  

21⁴² = 441 × (21⁴⁰)

माना, k = 21⁴⁰ है। चूँकि 21 एक पूर्णांक है, इसलिए k भी एक पूर्णांक है।

इसलिए, 21⁴² को k × 441 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ k एक पूर्णांक है।

यदि किसी संख्या को भाजक के गुणज के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो शेषफल 0 होता है।

इसलिए, 21⁴² को 441 से विभाजित करने पर शेषफल 0 है।

दिया गया है:

जब 27²² को 729 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल ज्ञात कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

यदि किसी संख्या को किसी घात पर उठाया जाता है और दूसरी संख्या से विभाजित किया जाता है, तो मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग किया जा सकता है: \((a^b \mod n)\).

गणनाएँ:

27²² mod 729

729 = 27²

⇒ हम 27 की घातों के पदों में मॉड्यूलो 729 को सरल करते हैं।

⇒ 27²² = (27²)¹¹ x 27⁰

⇒ (27²) mod 729 = 0 (चूँकि 27² = 729)

⇒ इसलिए, (27²² mod 729) = 0

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

हमें 23³² को 529 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करना है।

प्रयुक्त अवधारणा:

ऑयलर का प्रमेय: यदि a और n सहअभाज्य हैं, तो a^φ(n) ≡ 1 (mod n), जहाँ φ(n) ऑयलर का टोटिएंट फलन है।

n = p^k के लिए जहाँ p एक अभाज्य संख्या है, φ(n) = p^k - p^k-1.

गणना:

φ(529) की गणना करें

चूँकि 529 = 23², हमारे पास φ(529) = 23² - 23¹ = 529 - 23 = 506 है।

चूँकि 23 और 529 सहअभाज्य नहीं हैं, हम सीधे ऑयलर के प्रमेय को लागू नहीं कर सकते हैं। हालाँकि, हम 23³² को (23²)¹⁶ = 529¹⁶ के रूप में फिर से लिख सकते हैं।

हम 529 से भाग देने पर 529¹⁶ का शेषफल ज्ञात करना चाहते हैं।

चूँकि 529¹⁶, 529 का गुणज है, शेषफल 0 है।

इसलिए, 23³² को 529 से भाग देने पर शेषफल 0 है।

दिया गया है:

जब x²⁵ + 1 को x + 1 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल ज्ञात कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

शेषफल प्रमेय के अनुसार, किसी बहुपद f(x) को x - c से विभाजित करने पर शेषफल f(c) होता है।

गणना:

यहाँ, f(x) = x²⁵ + 1 और हमें x + 1 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है, जो कि f(-1) ज्ञात करने के समान है।

f(x) = x²⁵ + 1

f(-1) = (-1)²⁵ + 1

f(-1) = -1 + 1

f(-1) = 0

जब x²⁵ + 1 को x + 1 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 0 है।

दिया गया है:

एक संख्या को जब 7 से विभाजित करते हैं, तो शेषफल 4 बचता है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

गणना:

माना संख्या और भागफल क्रमशः n और d हैं।

प्रश्नानुसार,

N = 7D + 4

⇒ N² = (7D + 4)²

⇒ N² = 49D² + 56D + 16

⇒ N² = 7(7D² + 8D + 2) + 2

इसलिए, 7 (7D2 + 8D + 2), 7 से पूरी तरह से विभाज्य है।

अब, शेषफल 2 है।

∴ शेषफल 2 है।

दिया गया है:

एक संख्या को जब 7 से विभाजित करते हैं, तो शेषफल 4 बचता है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

गणना:

माना संख्या और भागफल क्रमशः n और d हैं।

प्रश्नानुसार,

N = 7D + 4

⇒ N² = (7D + 4)²

⇒ N² = 49D² + 56D + 16

⇒ N² = 7(7D² + 8D + 2) + 2

इसलिए, 7 (7D2 + 8D + 2), 7 से पूरी तरह से विभाज्य है।

अब, शेषफल 2 है।

∴ शेषफल 2 है।

गणना:

8127

⇒ 8000 + 120 + 7

यहाँ 8000 और 120 दोनों 8 से विभाज्य हैं।

अब, 8127 को 8 से विभाजित करने पर शेषफल 7 आता है

∴ 8127 को 8 से विभाजित करने पर शेषफल 7 आता है।

दिया गया है:

संख्या = 21⁴²

भाजक = 441

प्रयुक्त सूत्र:

यदि किसी संख्या N को k × m के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ k एक पूर्णांक है और m भाजक है, तो N को m से विभाजित करने पर शेषफल 0 होगा।

गणनाएँ:

हमें 21⁴² को 441 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।

हम भाजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: 441 = 21 × 21

अब, संख्या 21⁴² को देखें।

21⁴² = 21 × 21 × 21 × ... × 21 (42 बार)

हम पहले दो पदों को समूहबद्ध कर सकते हैं:

21⁴² = (21 × 21) × (21 × 21 × ... × 21) (40 बार)

चूँकि 21 × 21 = 441,  

21⁴² = 441 × (21⁴⁰)

माना, k = 21⁴⁰ है। चूँकि 21 एक पूर्णांक है, इसलिए k भी एक पूर्णांक है।

इसलिए, 21⁴² को k × 441 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ k एक पूर्णांक है।

यदि किसी संख्या को भाजक के गुणज के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो शेषफल 0 होता है।

इसलिए, 21⁴² को 441 से विभाजित करने पर शेषफल 0 है।

दिया गया है:

जब 27²² को 729 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल ज्ञात कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

यदि किसी संख्या को किसी घात पर उठाया जाता है और दूसरी संख्या से विभाजित किया जाता है, तो मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग किया जा सकता है: \((a^b \mod n)\).

गणनाएँ:

27²² mod 729

729 = 27²

⇒ हम 27 की घातों के पदों में मॉड्यूलो 729 को सरल करते हैं।

⇒ 27²² = (27²)¹¹ x 27⁰

⇒ (27²) mod 729 = 0 (चूँकि 27² = 729)

⇒ इसलिए, (27²² mod 729) = 0

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

हमें 23³² को 529 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करना है।

प्रयुक्त अवधारणा:

ऑयलर का प्रमेय: यदि a और n सहअभाज्य हैं, तो a^φ(n) ≡ 1 (mod n), जहाँ φ(n) ऑयलर का टोटिएंट फलन है।

n = p^k के लिए जहाँ p एक अभाज्य संख्या है, φ(n) = p^k - p^k-1.

गणना:

φ(529) की गणना करें

चूँकि 529 = 23², हमारे पास φ(529) = 23² - 23¹ = 529 - 23 = 506 है।

चूँकि 23 और 529 सहअभाज्य नहीं हैं, हम सीधे ऑयलर के प्रमेय को लागू नहीं कर सकते हैं। हालाँकि, हम 23³² को (23²)¹⁶ = 529¹⁶ के रूप में फिर से लिख सकते हैं।

हम 529 से भाग देने पर 529¹⁶ का शेषफल ज्ञात करना चाहते हैं।

चूँकि 529¹⁶, 529 का गुणज है, शेषफल 0 है।

इसलिए, 23³² को 529 से भाग देने पर शेषफल 0 है।

दिया गया है:

एक संख्या को जब 7 से विभाजित करते हैं, तो शेषफल 4 बचता है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

गणना:

माना संख्या और भागफल क्रमशः n और d हैं।

प्रश्नानुसार,

N = 7D + 4

⇒ N² = (7D + 4)²

⇒ N² = 49D² + 56D + 16

⇒ N² = 7(7D² + 8D + 2) + 2

इसलिए, 7 (7D2 + 8D + 2), 7 से पूरी तरह से विभाज्य है।

अब, शेषफल 2 है।

∴ शेषफल 2 है।

गणना:

8127

⇒ 8000 + 120 + 7

यहाँ 8000 और 120 दोनों 8 से विभाज्य हैं।

अब, 8127 को 8 से विभाजित करने पर शेषफल 7 आता है

∴ 8127 को 8 से विभाजित करने पर शेषफल 7 आता है।

दिया गया है:

जब x²⁵ + 1 को x + 1 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल ज्ञात कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

शेषफल प्रमेय के अनुसार, किसी बहुपद f(x) को x - c से विभाजित करने पर शेषफल f(c) होता है।

गणना:

यहाँ, f(x) = x²⁵ + 1 और हमें x + 1 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है, जो कि f(-1) ज्ञात करने के समान है।

f(x) = x²⁵ + 1

f(-1) = (-1)²⁵ + 1

f(-1) = -1 + 1

f(-1) = 0

जब x²⁵ + 1 को x + 1 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 0 है।

दिया गया है:

संख्या = 21⁴²

भाजक = 441

प्रयुक्त सूत्र:

यदि किसी संख्या N को k × m के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ k एक पूर्णांक है और m भाजक है, तो N को m से विभाजित करने पर शेषफल 0 होगा।

गणनाएँ:

हमें 21⁴² को 441 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।

हम भाजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: 441 = 21 × 21

अब, संख्या 21⁴² को देखें।

21⁴² = 21 × 21 × 21 × ... × 21 (42 बार)

हम पहले दो पदों को समूहबद्ध कर सकते हैं:

21⁴² = (21 × 21) × (21 × 21 × ... × 21) (40 बार)

चूँकि 21 × 21 = 441,  

21⁴² = 441 × (21⁴⁰)

माना, k = 21⁴⁰ है। चूँकि 21 एक पूर्णांक है, इसलिए k भी एक पूर्णांक है।

इसलिए, 21⁴² को k × 441 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ k एक पूर्णांक है।

यदि किसी संख्या को भाजक के गुणज के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो शेषफल 0 होता है।

इसलिए, 21⁴² को 441 से विभाजित करने पर शेषफल 0 है।

दिया गया है:

जब 27²² को 729 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल ज्ञात कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

यदि किसी संख्या को किसी घात पर उठाया जाता है और दूसरी संख्या से विभाजित किया जाता है, तो मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग किया जा सकता है: \((a^b \mod n)\).

गणनाएँ:

27²² mod 729

729 = 27²

⇒ हम 27 की घातों के पदों में मॉड्यूलो 729 को सरल करते हैं।

⇒ 27²² = (27²)¹¹ x 27⁰

⇒ (27²) mod 729 = 0 (चूँकि 27² = 729)

⇒ इसलिए, (27²² mod 729) = 0

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।