मानक विचलन MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Standard Deviation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

मानक विचलन और वर्गों का योग:

• n प्रेक्षणों का मानक विचलन (σ) इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
• σ = √[(Σx_i²)/n − (माध्य)²]
• हम प्रेक्षणों के वर्गों के योग को ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:
• Σx_i² = n x [σ² + (माध्य)²]
• यह सूत्र सभी वर्गांकित मानों का कुल योग सीधे देता है।

गणना:

दिया गया है,

n = 100

माध्य (μ) = 50

मानक विचलन (σ) = 5

⇒ Σx_i² = n x (σ² + μ²)

⇒ Σx_i² = 100 x (5² + 50²)

⇒ Σx_i² = 100 x (25 + 2500)

⇒ Σx_i² = 100 x 2525

⇒ Σx_i² = 252500

∴ सभी प्रेक्षणों के वर्गों का योग 252500 है

संकल्पना: 

मान लीजिए कि एक आँकड़े में n अवयवों की संख्या है और अवयव x₁, x₂, x₃, …, x_n हैं। 

तब आँकड़ों का माध्य  \(\overline{x}\) = \(\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{n}\)द्वारा दिया जाता है। 

मानक विचलन माध्य से आँकड़े बिंदुओं के वर्ग विचलन के औसत का वर्गमूल है।

मानक विचलन SD निम्न द्वारा दिया जाता है,,

SD = \(\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}\)

गणना:

25  के समूह के लिए माध्य और मानक विचलन 20 और 5 है।

चूँकि, \(\overline{x}\) = 20

\(\Rightarrow\) \(\frac{\sum_{i = 1}^{25}x_i}{25}\) = 20

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}x_i\) = 500

चूँकि मानक विचलन 5 है, हम लिख सकते हैं,

SD = 5

\(\Rightarrow\) \(\sqrt{\frac{1}{25}\sum_{i = 1}^{25}(x_i - 20)^2}\) = 5

\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{25}\sum_{i = 1}^{25}(x_i - 20)^2\) = 25

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}(x_i - 20)^2\) = 625

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}(x_i^2 - 40x_i + 400)\) = 625

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i² - 40\(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i + \(\sum_{i = 1}^{25}\)400 = 625

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i² - 40 × 500 + 400 × 25 = 625

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i² - 20000 + 10000 = 625

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i² = 625 + 10000 = 10625

बाद में यह पाया गया कि अवलोकन को 22 के बजाय 12 के रूप में गलत तरीके से दर्ज किया गया था।

इसलिए वास्तविक सिग्मा x = 500 - 12 + 22 = 510

वास्तविक माध्य = \(\frac{510}{25}\) = 20.4 

वास्तविक \(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i² = 10625 - 12² + 22² = 10625 - 144 + 484 = 10625 + 340 = 10965

अब नया मानक विचलन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाएगा,

SD = \(\sqrt{\frac{1}{25}\sum_{i = 1}^{25}(x_i - 20.4)^2}\)

\(\Rightarrow\) SD = \(\sqrt{\frac{1}{25}\sum_{i = 1}^{25}(x_i^2 - 40.8x_i + 416.16)}\)

\(\Rightarrow\) SD =​ \(\sqrt{\frac{1}{25}(\sum_{i = 1}^{25}x_i^2 - 40.8\sum_{i = 1}^{25}x_i + \sum_{i = 1}^{25}416.16)}\)

​\(\Rightarrow\) SD = \(\sqrt{\frac{1}{25}(10965 - 40.8\times510 + 25\times416.16)}\)

\(\Rightarrow\) SD = \(\sqrt{\frac{1}{25}(10965 - 20808 + 10404})\)

\(\Rightarrow\) SD = \(\sqrt{\frac{1}{25}(10965 - 20808 + 10404})\)

\(\Rightarrow\) SD = \(\sqrt{\frac{561}{25}}\) = 4.737 ≈ 4.7

अतः सही उत्तर विकल्प 3 है।

संकल्पना:

• मानक विचलन (SD) अलग-अलग आकड़े के मान से माध्य तक विभिन्नता या प्रसार की मात्रा को मापता है, जबकि माध्य (SEM) या माध्य विचलन की मानक त्रुटि यह मापती है कि कितनी दूरी तक आकड़े के प्रतिरूप माध्य (औसत) के वास्तविक आबादी माध्य से होने की संभावना होती है।
• SEM सदैव SD की तुलना में कम होता है।
• सममित वितरण में माध्य विचलन मानक विचलन के 4/5वें भाग के बराबर होता है।

गणना:

चूँकि वितरण सममित है,

⇒ माध्य विचलन = मानक विचलन का 4/5 

⇒ 12 = (4/5) × मानक विचलन

⇒ मानक विचलन = 15

अतः मानक विचलन का मान 15 है।

संकल्पना:

\(S.D = \sqrt {E\left( {{X^2}} \right) - {{\left\{ {E\left( X \right)} \right\}}^2}} \)

गणना:

\(E\left( X \right) = 2\left( {\frac{1}{3}} \right) + \left( { - 1} \right)\left( {\frac{2}{3}} \right)\)

∴ E(X) = 0

अब,

\(E\left( {{X^2}} \right) = \sum x_i^2P\left( {{x_i}} \right)\)

\(E\left( {{X^2}} \right) = {2^2}\left( {\frac{1}{3}} \right) + {\left( { - 1} \right)^2}\left( {\frac{2}{3}} \right)\)

∴ E(X2) = 2

हम जानते हैं कि,

\(S.D\;\left( \sigma \right) = \sqrt {E\left( {{X^2}} \right) - {{\left\{ {E\left( X \right)} \right\}}^2}} \)

\(\therefore S.D\;\left( \sigma \right) = \sqrt {{2} - 0} \)

∴ σ = 1.41

माध्य विचलन: माना कि दिए गए आकड़ों में क्रमशः x₁, x₂,…x_n, के रूप में पृथक अवलोकन शामिल है। 

इस स्थिति में माध्य के लगभग माध्य विचलन को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(M.D.\left( {{\rm{\bar x}}} \right) = \frac{{{f_i}\left| {{x_i} - {\rm{\bar x}}} \right|}}{N}\)

x̅ = x₁….x_n का माध्य 

मानक विचलन:

भिन्नता को σ² द्वारा दर्शाया गया है और निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\({\sigma ^2} = \frac{1}{n}{\left( {{x_i} - \bar x} \right)^2}\)

मानक विचलन भिन्नता का वर्गमूल है, अर्थात्

\(\sigma = \sqrt {\frac{1}{n}{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} \)

उसीप्रकार, एक पृथक वितरण के लिए मानक विचलन निम्न है:

\(\sigma = \sqrt {\frac{1}{N}{f_i}{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} \)

हम यह कह सकते हैं कि पृथक वितरण का मानक विचलन माध्य से माध्य विचलन से कम नहीं होता है, अर्थात्

\(M.D\;\left( {\bar x} \right) \le \sigma \left( {\bar x} \right)\)

संकल्पना:

• मानक विचलन (SD) अलग-अलग आकड़े के मान से माध्य तक विभिन्नता या प्रसार की मात्रा को मापता है, जबकि माध्य (SEM) या माध्य विचलन की मानक त्रुटि यह मापती है कि कितनी दूरी तक आकड़े के प्रतिरूप माध्य (औसत) के वास्तविक आबादी माध्य से होने की संभावना होती है।
• SEM सदैव SD की तुलना में कम होता है।
• सममित वितरण में माध्य विचलन मानक विचलन के 4/5वें भाग के बराबर होता है।

गणना:

चूँकि वितरण सममित है,

⇒ माध्य विचलन = मानक विचलन का 4/5 

⇒ 12 = (4/5) × मानक विचलन

⇒ मानक विचलन = 15

अतः मानक विचलन का मान 15 है।

माध्य विचलन: माना कि दिए गए आकड़ों में क्रमशः x₁, x₂,…x_n, के रूप में पृथक अवलोकन शामिल है। 

इस स्थिति में माध्य के लगभग माध्य विचलन को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(M.D.\left( {{\rm{\bar x}}} \right) = \frac{{{f_i}\left| {{x_i} - {\rm{\bar x}}} \right|}}{N}\)

x̅ = x₁….x_n का माध्य 

मानक विचलन:

भिन्नता को σ² द्वारा दर्शाया गया है और निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\({\sigma ^2} = \frac{1}{n}{\left( {{x_i} - \bar x} \right)^2}\)

मानक विचलन भिन्नता का वर्गमूल है, अर्थात्

\(\sigma = \sqrt {\frac{1}{n}{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} \)

उसीप्रकार, एक पृथक वितरण के लिए मानक विचलन निम्न है:

\(\sigma = \sqrt {\frac{1}{N}{f_i}{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} \)

हम यह कह सकते हैं कि पृथक वितरण का मानक विचलन माध्य से माध्य विचलन से कम नहीं होता है, अर्थात्

\(M.D\;\left( {\bar x} \right) \le \sigma \left( {\bar x} \right)\)

संकल्पना: 

मान लीजिए कि एक आँकड़े में n अवयवों की संख्या है और अवयव x₁, x₂, x₃, …, x_n हैं। 

तब आँकड़ों का माध्य  \(\overline{x}\) = \(\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{n}\)द्वारा दिया जाता है। 

मानक विचलन माध्य से आँकड़े बिंदुओं के वर्ग विचलन के औसत का वर्गमूल है।

मानक विचलन SD निम्न द्वारा दिया जाता है,,

SD = \(\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}\)

गणना:

25  के समूह के लिए माध्य और मानक विचलन 20 और 5 है।

चूँकि, \(\overline{x}\) = 20

\(\Rightarrow\) \(\frac{\sum_{i = 1}^{25}x_i}{25}\) = 20

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}x_i\) = 500

चूँकि मानक विचलन 5 है, हम लिख सकते हैं,

SD = 5

\(\Rightarrow\) \(\sqrt{\frac{1}{25}\sum_{i = 1}^{25}(x_i - 20)^2}\) = 5

\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{25}\sum_{i = 1}^{25}(x_i - 20)^2\) = 25

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}(x_i - 20)^2\) = 625

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}(x_i^2 - 40x_i + 400)\) = 625

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i² - 40\(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i + \(\sum_{i = 1}^{25}\)400 = 625

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i² - 40 × 500 + 400 × 25 = 625

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i² - 20000 + 10000 = 625

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i² = 625 + 10000 = 10625

बाद में यह पाया गया कि अवलोकन को 22 के बजाय 12 के रूप में गलत तरीके से दर्ज किया गया था।

इसलिए वास्तविक सिग्मा x = 500 - 12 + 22 = 510

वास्तविक माध्य = \(\frac{510}{25}\) = 20.4 

वास्तविक \(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i² = 10625 - 12² + 22² = 10625 - 144 + 484 = 10625 + 340 = 10965

अब नया मानक विचलन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाएगा,

SD = \(\sqrt{\frac{1}{25}\sum_{i = 1}^{25}(x_i - 20.4)^2}\)

\(\Rightarrow\) SD = \(\sqrt{\frac{1}{25}\sum_{i = 1}^{25}(x_i^2 - 40.8x_i + 416.16)}\)

\(\Rightarrow\) SD =​ \(\sqrt{\frac{1}{25}(\sum_{i = 1}^{25}x_i^2 - 40.8\sum_{i = 1}^{25}x_i + \sum_{i = 1}^{25}416.16)}\)

​\(\Rightarrow\) SD = \(\sqrt{\frac{1}{25}(10965 - 40.8\times510 + 25\times416.16)}\)

\(\Rightarrow\) SD = \(\sqrt{\frac{1}{25}(10965 - 20808 + 10404})\)

\(\Rightarrow\) SD = \(\sqrt{\frac{1}{25}(10965 - 20808 + 10404})\)

\(\Rightarrow\) SD = \(\sqrt{\frac{561}{25}}\) = 4.737 ≈ 4.7

अतः सही उत्तर विकल्प 3 है।

संकल्पना:

• मानक विचलन (SD) अलग-अलग आकड़े के मान से माध्य तक विभिन्नता या प्रसार की मात्रा को मापता है, जबकि माध्य (SEM) या माध्य विचलन की मानक त्रुटि यह मापती है कि कितनी दूरी तक आकड़े के प्रतिरूप माध्य (औसत) के वास्तविक आबादी माध्य से होने की संभावना होती है।
• SEM सदैव SD की तुलना में कम होता है।
• सममित वितरण में माध्य विचलन मानक विचलन के 4/5वें भाग के बराबर होता है।

गणना:

चूँकि वितरण सममित है,

⇒ माध्य विचलन = मानक विचलन का 4/5 

⇒ 12 = (4/5) × मानक विचलन

⇒ मानक विचलन = 15

अतः मानक विचलन का मान 15 है।

माध्य विचलन: माना कि दिए गए आकड़ों में क्रमशः x₁, x₂,…x_n, के रूप में पृथक अवलोकन शामिल है। 

इस स्थिति में माध्य के लगभग माध्य विचलन को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(M.D.\left( {{\rm{\bar x}}} \right) = \frac{{{f_i}\left| {{x_i} - {\rm{\bar x}}} \right|}}{N}\)

x̅ = x₁….x_n का माध्य 

मानक विचलन:

भिन्नता को σ² द्वारा दर्शाया गया है और निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\({\sigma ^2} = \frac{1}{n}{\left( {{x_i} - \bar x} \right)^2}\)

मानक विचलन भिन्नता का वर्गमूल है, अर्थात्

\(\sigma = \sqrt {\frac{1}{n}{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} \)

उसीप्रकार, एक पृथक वितरण के लिए मानक विचलन निम्न है:

\(\sigma = \sqrt {\frac{1}{N}{f_i}{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} \)

हम यह कह सकते हैं कि पृथक वितरण का मानक विचलन माध्य से माध्य विचलन से कम नहीं होता है, अर्थात्

\(M.D\;\left( {\bar x} \right) \le \sigma \left( {\bar x} \right)\)

संकल्पना:

\(S.D = \sqrt {E\left( {{X^2}} \right) - {{\left\{ {E\left( X \right)} \right\}}^2}} \)

गणना:

\(E\left( X \right) = 2\left( {\frac{1}{3}} \right) + \left( { - 1} \right)\left( {\frac{2}{3}} \right)\)

∴ E(X) = 0

अब,

\(E\left( {{X^2}} \right) = \sum x_i^2P\left( {{x_i}} \right)\)

\(E\left( {{X^2}} \right) = {2^2}\left( {\frac{1}{3}} \right) + {\left( { - 1} \right)^2}\left( {\frac{2}{3}} \right)\)

∴ E(X2) = 2

हम जानते हैं कि,

\(S.D\;\left( \sigma \right) = \sqrt {E\left( {{X^2}} \right) - {{\left\{ {E\left( X \right)} \right\}}^2}} \)

\(\therefore S.D\;\left( \sigma \right) = \sqrt {{2} - 0} \)

∴ σ = 1.41

संकल्पना: 

मान लीजिए कि एक आँकड़े में n अवयवों की संख्या है और अवयव x₁, x₂, x₃, …, x_n हैं। 

तब आँकड़ों का माध्य  \(\overline{x}\) = \(\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{n}\)द्वारा दिया जाता है। 

मानक विचलन माध्य से आँकड़े बिंदुओं के वर्ग विचलन के औसत का वर्गमूल है।

मानक विचलन SD निम्न द्वारा दिया जाता है,,

SD = \(\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}\)

गणना:

25  के समूह के लिए माध्य और मानक विचलन 20 और 5 है।

चूँकि, \(\overline{x}\) = 20

\(\Rightarrow\) \(\frac{\sum_{i = 1}^{25}x_i}{25}\) = 20

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}x_i\) = 500

चूँकि मानक विचलन 5 है, हम लिख सकते हैं,

SD = 5

\(\Rightarrow\) \(\sqrt{\frac{1}{25}\sum_{i = 1}^{25}(x_i - 20)^2}\) = 5

\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{25}\sum_{i = 1}^{25}(x_i - 20)^2\) = 25

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}(x_i - 20)^2\) = 625

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}(x_i^2 - 40x_i + 400)\) = 625

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i² - 40\(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i + \(\sum_{i = 1}^{25}\)400 = 625

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i² - 40 × 500 + 400 × 25 = 625

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i² - 20000 + 10000 = 625

\(\Rightarrow\) \(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i² = 625 + 10000 = 10625

बाद में यह पाया गया कि अवलोकन को 22 के बजाय 12 के रूप में गलत तरीके से दर्ज किया गया था।

इसलिए वास्तविक सिग्मा x = 500 - 12 + 22 = 510

वास्तविक माध्य = \(\frac{510}{25}\) = 20.4 

वास्तविक \(\sum_{i = 1}^{25}\)x_i² = 10625 - 12² + 22² = 10625 - 144 + 484 = 10625 + 340 = 10965

अब नया मानक विचलन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाएगा,

SD = \(\sqrt{\frac{1}{25}\sum_{i = 1}^{25}(x_i - 20.4)^2}\)

\(\Rightarrow\) SD = \(\sqrt{\frac{1}{25}\sum_{i = 1}^{25}(x_i^2 - 40.8x_i + 416.16)}\)

\(\Rightarrow\) SD =​ \(\sqrt{\frac{1}{25}(\sum_{i = 1}^{25}x_i^2 - 40.8\sum_{i = 1}^{25}x_i + \sum_{i = 1}^{25}416.16)}\)

​\(\Rightarrow\) SD = \(\sqrt{\frac{1}{25}(10965 - 40.8\times510 + 25\times416.16)}\)

\(\Rightarrow\) SD = \(\sqrt{\frac{1}{25}(10965 - 20808 + 10404})\)

\(\Rightarrow\) SD = \(\sqrt{\frac{1}{25}(10965 - 20808 + 10404})\)

\(\Rightarrow\) SD = \(\sqrt{\frac{561}{25}}\) = 4.737 ≈ 4.7

अतः सही उत्तर विकल्प 3 है।

सही उत्तर Z स्कोर है।

Key Points

•  किसी मान (x) के माध्य से ऊपर या नीचे होने पर मानक विचलनों की संख्या को "मानक स्कोर" या "z-स्कोर" कहा जाता है।
• एक z-स्कोर मानक विचलन की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, जो एक डेटा बिंदु का एक बंटन के माध्य से होता है। इसकी गणना डेटा बिंदु से माध्य घटाकर और फिर परिणाम को मानक विचलन से विभाजित करके की जाती है।
• z-स्कोर की गणना करने का सूत्र है:
• z = (x - μ) / σ
• जहाँ z, z-स्कोर है, x डेटा बिंदु है, μ बंटन का माध्य है, और σ बंटन का मानक विचलन है।
• एक धनात्मक z-स्कोर इंगित करता है कि डेटा बिंदु माध्य से ऊपर है, जबकि एक ऋणात्मक z-स्कोर इंगित करता है कि डेटा बिंदु माध्य से नीचे है।
• z-स्कोर का परिमाण इंगित करता है कि मानक विचलन के संदर्भ में डेटा बिंदु माध्य से कितनी दूर है। 0 के z-स्कोर का अर्थ है कि डेटा बिंदु माध्य के बराबर है।

Additional Information

निरपेक्ष विचलन- निरपेक्ष विचलन डेटा बिंदुओं के एक सेट की विचरणशीलता का एक माप है। यह बंटन के माध्य से प्रत्येक डेटा बिंदु की औसत दूरी को मापता है, भले ही डेटा बिंदु माध्य से ऊपर या नीचे हो।

विचरण गुणांक- विचरण गुणांक (CV) डेटा बिंदुओं के एक सेट की सापेक्ष विचरणशीलता, या परिक्षेपण का एक सांख्यिकीय माप है। इसका उपयोग अक्सर दो या दो से अधिक डेटा सेटों की विचरणशीलता की तुलना करने के लिए किया जाता है, जिनमें माप की अलग-अलग इकाइयाँ या पैमाने होते हैं।

अन्तःचतुर्थक परिसर- अन्तःचतुर्थक परिसर (IQR) विचरणशीलता का एक माप है जो डेटा सेट को चार बराबर भागों या चतुर्थक में विभाजित करने पर आधारित है। इसकी गणना डेटा सेट के ऊपरी चतुर्थक (Q3) और निचले चतुर्थक (Q1) के बीच के अंतर के रूप में की जाती है।

अत:, सही उत्तर Z-स्कोर है।

संप्रत्यय:

मानक विचलन और वर्गों का योग:

• n प्रेक्षणों का मानक विचलन (σ) इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
• σ = √[(Σx_i²)/n − (माध्य)²]
• हम प्रेक्षणों के वर्गों के योग को ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:
• Σx_i² = n x [σ² + (माध्य)²]
• यह सूत्र सभी वर्गांकित मानों का कुल योग सीधे देता है।

गणना:

दिया गया है,

n = 100

माध्य (μ) = 50

मानक विचलन (σ) = 5

⇒ Σx_i² = n x (σ² + μ²)

⇒ Σx_i² = 100 x (5² + 50²)

⇒ Σx_i² = 100 x (25 + 2500)

⇒ Σx_i² = 100 x 2525

⇒ Σx_i² = 252500

∴ सभी प्रेक्षणों के वर्गों का योग 252500 है

संकल्पना:

\(S.D = \sqrt {E\left( {{X^2}} \right) - {{\left\{ {E\left( X \right)} \right\}}^2}} \)

गणना:

\(E\left( X \right) = 2\left( {\frac{1}{3}} \right) + \left( { - 1} \right)\left( {\frac{2}{3}} \right)\)

∴ E(X) = 0

अब,

\(E\left( {{X^2}} \right) = \sum x_i^2P\left( {{x_i}} \right)\)

\(E\left( {{X^2}} \right) = {2^2}\left( {\frac{1}{3}} \right) + {\left( { - 1} \right)^2}\left( {\frac{2}{3}} \right)\)

∴ E(X2) = 2

हम जानते हैं कि,

\(S.D\;\left( \sigma \right) = \sqrt {E\left( {{X^2}} \right) - {{\left\{ {E\left( X \right)} \right\}}^2}} \)

\(\therefore S.D\;\left( \sigma \right) = \sqrt {{2} - 0} \)

∴ σ = 1.41