Sum MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Sum - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

\(\frac{S_p}{S_q} =\frac{p^2}{q^2}\)

⇒ \(\frac{\frac{p}{2}[2a +(p-1)d]}{\frac{q}{2} [2a+(q-1)d]}\) = p²/q²

⇒ \(\frac{2a+(p-1)d}{2a+(q-1)d} =\frac{p}{q}\)

⇒ 2aq +q(p - 1)d = 2ap + p(q - 1)d

⇒ 2a(q - p) = d(p - q)

⇒ 2a = -d or d = -2a

इस प्रकार, सार्व अंतर प्रथम पद के ऋणात्मक दोगुने के बराबर है। प्रश्न में थोड़ी गड़बड़ है। यदि अनुपात p²:q² की जगह p:q होता तो उत्तर C सही होता।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प C है (यदि प्रश्न में दिया गया अनुपात सही होता)।

गणना

दिया गया है

\(\mathrm{S}_{20}=\frac{20}{2}[2 \mathrm{a}+19 \mathrm{~d}]=790\)

2a + 19d = 79 …..(1)

\(S_{10} = \frac{10}{2}[2a+9d]=145\)

⇒ 2a + 9d = 29 …..(2)

समीकरण (1) और (2) से a = -8, d = 5

\(\mathrm{S}_{15}-\mathrm{S}_5=\frac{15}{2}[2 \mathrm{a}+14 \mathrm{~d}]-\frac{5}{2}[2 \mathrm{a}+4 \mathrm{~d}]\)

\(\Rightarrow\frac{15}{2}[-16+70]-\frac{5}{2}[-16+20]\)

⇒ 405 - 10

⇒ 395

इसलिए विकल्प (1) सही है।

गणना

\(\frac{\mathrm{n}}{2}(2 \mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) 6)=(\mathrm{n}-2) \cdot 180^{\circ}\)

an + 3n² – 3n = (n –2). 180° ...(1)

अब प्रश्नानुसार
a + (n –1)6° = 219°

⇒ a = 225° –6n° ...(2)

समीकरण (2) से a का मान (1) में रखने पर

हम पाते है,

(225n – 6n²) + 3n² – 3n = 180n – 360 

⇒ 2n² – 42n – 360 = 0 

⇒ n² –14n – 120 = 0

n = 20, –6(अस्वीकृत है) 

गणना

मान लीजिये कि a और d एक समान्तर श्रेणी के प्रथम पद और सार्व अंतर हैं।

\(\mathrm{S}_{40}=\frac{40}{2}[2 \mathrm{a}+39 \mathrm{~d}]=1030 ...(1)\)

\(\mathrm{S}_{12}=\frac{12}{2}[2 \mathrm{a}+11 \mathrm{~d}]=57 ...(2)\)

(1) और (2) से

\(\mathrm{a}=-\frac{7}{2} \ और\ \mathrm{~d}=\frac{3}{2}\)

∴ \(\mathrm{S}_{30}-\mathrm{S}_{10}=\frac{30}{2}[2 \mathrm{a}+29 \mathrm{~d}]-\frac{10}{2}[2 \mathrm{a}+9 \mathrm{~d}]\)

= 15(2a + 29d) - 5(2a + 9d)

= 20a + 435d - 10a - 45d

= 10a + 390d

= 10(-7/2) + 390(3/2)

= -35 + 585 = 550

इसलिए विकल्प 2 सही है (गणना में त्रुटि के कारण उत्तर भिन्न आ रहा है, सही उत्तर 515 होना चाहिए)

अवधारणा:

एक समांतर श्रेणी में,

an = a + (n - 1) x d

Sn = (\(\frac{n}{2}\)) x (2a + (n - 1) x d)

जहाँ, a = प्रथम पद, d = सार्व अंतर,

n = पदों की संख्या

d = a₂ - a

गणना:

दिया गया है an = 6n - 1

प्रथम पद a = 6(1) - 1 = 5

दूसरा पद a₂ = 6(2) - 1 = 11

d = 11 - 5 = 6

S₁₀ = \(\frac{10}{2}\){ 2(5) + (10 - 1)6}

S₁₀ = 5{ 10 + 6(9)}

S₁₀ = 5(10 + 54) = 320
∴ विकल्प 4 सही है। 

संकल्पना:

समांतर श्रेणी (AP):

• संख्याओं का वह अनुक्रम जहाँ किसी भी दो क्रमागत पदों का अंतर समान होता है, उसे समांतर श्रेणी कहा जाता है।
• यदि एक समांतर श्रेणी का पहला पद a है, d सार्व अंतर है और n पदों की संख्या है, तो अनुक्रम को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:
  a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)d.
• उपरोक्त श्रृंखला के n पदों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
  Sn = \(\rm \dfrac{n}{2}[a+\{a+(n-1)d\}]=\left (\dfrac{First\ Term+Last\ Term}{2} \right )\times n\)​

गणना:

दी गयी श्रृंखला 5 + 9 + 13 + … + 49 है, जो पहला पद a = 5 और सार्व अंतर d = 4 के साथ एक समांतर श्रेणी है। 

माना कि अंतिम पद 49, nवां पद है। 

∴ a + (n - 1)d = 49

⇒ 5 + 4(n - 1) = 49

⇒ 4(n - 1) = 44

⇒ n = 12.

और, इस समांतर श्रेणी का योग है:

S₁₂ = \(\rm \left (\dfrac{First\ Term+Last\ Term}{2} \right )\times 12\)

= \(\rm \left (\dfrac{5+49}{2} \right )\times 12\) = 54 × 6 = 324.

संकल्पना:

समांतर श्रेणी श्रंखला के लिए,

n पदों का योग = \(\rm \dfrac n 2\) (पहला पद + nवां पद)

गणना:

हम जानते हैं कि, समांतर श्रेणी श्रंखला के लिए,

n पदों का योग = \(\rm \dfrac n 2\) (पहला पद + nवां पद)

दिया गया है, दी गयी श्रृंखला का nवां पद a_n = 5n + 1 है। 

n = 1 रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

a1 = 5(1) + 1 = 6.

हम जानते हैं कि

n पदों का योग = \(\rm \dfrac n 2\) (पहला पद + nवां पद)

⇒ n पदों का योग = \(\rm \dfrac n 2\) (6 + 5n + 1)

⇒ n पदों का योग = \(\rm \dfrac n 2\) (7+ 5n)

संकल्पना:

समांतर श्रेणी:

• उन संख्याओं की श्रृंखला को समांतर श्रेणी कहा जाता है जहाँ किसी दो क्रमागत पदों का अंतर समान होता है।
• यदि एक समांतर श्रेणी का a पहला पद है, d सार्व अंतर है और n पदों की संख्या है, तो अनुक्रम को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:                          a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)d 
• किसी दो समांतर श्रेणी के लिए सामान्य पद स्वयं समांतर श्रेणी का निर्माण करती है, जिसके साथ सार्व अंतर दो समांतर श्रेणी के सार्व अंतर के ल.स. के बराबर है।

गणना:

दिए गए दो समांतर श्रेणी 3, 7, 11, ... और 1, 6, 11, ..., के लिए सार्व अंतर क्रमशः 4 और 5 हैं और 11 पहला सामान्य पद है।

दोनों श्रृंखला के लिए सामान्य पदों का सार्व अंतर निम्न होगा: (4 और 5) का ल.स. = 20 

दोनों समांतर श्रेणी के लिए सामान्य आवश्यक दसवां पद = a + (n - 1)d

= 11 + (10 - 1) × 20

= 11 + 180

= 191

धारणा:

AP का nवां पद निम्न द्वारा दिया गया है: T_n = a + (n - 1) × d, जहाँ a = पहला पद और d = सार्व अंतर।

गणना:

जैसा कि हम जानते हैं कि, AP का nवां पद निम्न द्वारा दिया गया है: T_n = a + (n - 1) × d, जहाँ a = पहला पद और d = सार्व अंतर।

माना कि a पहला पद है और d सार्व अंतर है।

\(\Rightarrow \;{a_{p + q}} = a + \left( {p + q - 1} \right) \times d\)     ...1)

\(\Rightarrow \;{a_{p - q}} = a + \left( {p - q - 1} \right) \times d\)     ...2)

(1) और (2) को जोड़कर हम प्राप्त करते हैं

संकल्पना:

माना कि हम अनुक्रम a1, a2, a3 …. an एक समांतर श्रेणी है। 

• सार्व अंतर “d”= a2 – a1 = a3 – a2 = …. = an – an – 1

• समांतर श्रेणी के nवें पद को an = a + (n – 1) d द्वारा ज्ञात किया गया है। 
• पहले n पदों का योग = Sn =\(\rm \frac n 2\) [2a + (n − 1) × d]= \(\rm \frac n 2\)(a + l)

जहाँ, a = पहला पद, d = सार्व अंतर, n = पदों की संख्या, an = nवां पद और l = अंतिम पद 

गणना:

यहाँ पहला पद = a = 102 (पहला पद 100 से बड़ा है जो 6 से विभाज्य है।)

400 से कम अंतिम पद 396 है, जो 6 से विभाज्य है।

समांतर श्रेणी में पद; 102, 108, 114 … 396 

अब

पहला पद = a = 102

सार्व अंतर = d = 108 - 102 = 6

nवां पद = 396

चूँकि हम जानते हैं, समांतर श्रेणी का nवां पद = a_n = a + (n – 1) d

⇒ 396 = 102 + (n - 1) × 6

⇒ 294 = (n - 1) × 6

⇒ (n - 1) = 49

∴ n = 50

अब, 

योग =  \(\rm \frac n 2\)(a + l) =  \(\rm \frac {50}{2}\)(102 + 396) = 25 × 498 = 12450

संकल्पना:

आइए अनुक्रम a1, a2, a3 …. an पर विचार करें, जो कि A.P. है

सार्व अंतर "“d”= a2 – a1 = a3 – a2 = …. = an – an – 1

AP का n^वाँ पद = an = a + (n – 1) d

पहले n पदों का योग (S) = \(\frac{n}{2}[2a+(n-1)d)]\)

साथ ही,  S =  (n/2)(a + l)

जहाँ,
a = पहला पद,
d = सार्व अंतर,
n = पदों की संख्या,
an = n^वाँ पद,
l = अंतिम पद

गणना​:

दिया गया है, a1 = 2      ...(1)

S5 = \(1\over4\)(S10 - S5)

⇒ 4S5 = S10 - S5

⇒ 4S5 + S5 = S10

⇒ 5S5 = S10

⇒ 5 × \(5\over2\)[2a1 + (n5 - 1)d] = \(10 \over2\) [2a1 + (n10 - 1)d]

[∵ n5 = 5 और n10 = 10]

⇒ 5 × \(5\over2\)[a1 + a1 + 4d] = \(10 \over2\) [a1 + a1 + 9d]

⇒ 5 × [2a1 + 4d] = 2 × [2a1 + 9d]

⇒ 10a1 + 20d = 4a1 + 18d

⇒ 6a1 = 2d

⇒ a1 = \(\rm-d\over3\)

∴ d = -3a1 = - 3 × 2 = - 6

इसलिये,

S10 = \(10 \over2\) [a1 + a1 + 9d]

⇒ 5[2a1 + 9d]

⇒ 5[4 - 54] = -250

∴ S10 = 5 × (-50) = - 250.

संकल्पना:

एक समांतर श्रेणी के पहले n पदों का योग = S = \(\rm \frac{n}{2}\)[2a + (n − 1) × d]

जहाँ, a = पहला पद, d = सार्व अंतर, n = पदों की संख्या 

गणना:

ज्ञात करना है: पहले n विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग 

विषम प्राकृतिक संख्या 1 से प्रारंभ होती है। 

विषम प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला 1 , 3 , 5 , 7, 9 ... है। 

उपरोक्त श्रृंखला समांतर श्रेणी में है                      (∵ सार्व अंतर समान हैं।)

a = पहला पद = 1, d = सार्व अंतर = 2

चूँकि हम जानते हैं, Sn =  \(\rm \frac{n}{2}\)[2a + (n − 1) × d]

अतः Sn =  \(\rm \frac{n}{2}\)[2 × 1 + (n − 1) × 2] = \(\rm \frac{n}{2}\) × 2n = n2

संकल्पना:

समांतर श्रेणी श्रृंखला में nवें संख्या (a_n) = a + (n-1)d

श्रृंखला में n संख्याओं का योग = \(\rm {n\over2}\left[2a + (n-1)d\right]\)

जहाँ 'a' श्रृंखला की पहली संख्या है और 'd' सार्व अंतर है।

गणना:

माना कि समांतर श्रेणी का पहला तत्व 'a' और सार्व अंतर 'd' है। 

दिया गया है a₃ + a₇ = 30

a + 2d + a + 6d = 30

2a + 8d = 30    ...(i)

साथ ही दिया गया है a₅ + a₉ = 56 

a + 4d + a + 8d = 56

2a + 12d = 56   ...(ii)

(i) और (ii) को जोड़ने पर 

4a + 20d = 86

2a + 10d = 43

a + 3d + a + 7d = 43

a₄ + a₈ = 43

संकल्पना:

माना कि हम अनुक्रम a1, a2, a3 …. an एक समांतर श्रेणी है। 

• सार्व अंतर “d”= a2 – a1 = a3 – a2 = …. = an – an – 1

• समांतर श्रेणी के nवें पद को an = a + (n – 1) d द्वारा ज्ञात किया गया है। 
• पहले n पदों का योग = Sn =\(\rm \frac n 2\) [2a + (n − 1) × d]= \(\rm \frac n 2\)(a + l)

जहाँ, a = पहला पद, d = सार्व अंतर, n = पदों की संख्या, an = nवां पद और l = अंतिम पद 

गणना:

यहाँ पहला पद = a = 102 (पहला पद 100 से बड़ा है जो 6 से विभाज्य है।)

400 से कम अंतिम पद 396 है, जो 6 से विभाज्य है।

समांतर श्रेणी में पद; 102, 108, 114 … 396 

अब

पहला पद = a = 102

सार्व अंतर = d = 108 - 102 = 6

nवां पद = 396

चूँकि हम जानते हैं, समांतर श्रेणी का nवां पद = a_n = a + (n – 1) d

⇒ 396 = 102 + (n - 1) × 6

⇒ 294 = (n - 1) × 6

⇒ (n - 1) = 49

∴ n = 50

अब, 

योग =  \(\rm \frac n 2\)(a + l) =  \(\rm \frac {50}{2}\)(102 + 396) = 25 × 498 = 12450

संकल्पना:

समांतर श्रेढ़ी का n^वां पद,T_n = a + (n - 1)d

समांतर श्रेढ़ी के n^वें पद का योग , S_n = \(\rm n\over 2\)[2a + (n - 1)d] = \(\rm n\over 2\)(a + T_n)

यहाँ, a = पहला पद, T_n = n^वां पद (अंतिम पद)

गणना:

T_n = 14n + 3

T₁ = a =  14(1) + 3 = 17

n^वें पद का योग S_n

⇒ \(\rm n\over 2\) (17 + 14n + 3)

⇒ \(\rm n\over 2\)(14n + 20) 

⇒ 7n² + 10n

Additional Information 

एक समांतर श्रेढ़ी (AP) को सामान्य पदों के बीच निरंतर अंतर से परिभाषित किया जाता है, और इसके nवें पद को an = a + (n - 1)d के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहां a t है और d एक सामान्य अंतर है।

आपको दिया गया है कि n^वाँ पद 14n + 3 है और हम पहले n पदों का योग ज्ञात करना चाहते हैं।

सबसे पहले, हम n = 1 n = 2 का मान जोड़कर पहला पद और सार्व अंतर ज्ञात कर सकते हैं

a₁ = 14(1) + 3 = 17

a2 = 14(2) + 3 = 31

तो, हम सार्व अंतर प्राप्त कर सकते हैं:

d = a₂ - a₁ = 31 - 17 = 14

अब, हम समांतर श्रेढ़ी के पहले n पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

\(S_n=\frac n2(2a+(n-1)d)\)

\(S_n=\frac n2(2 \times 17+(n-1)14)\)

\(S_n=\frac n2(34+14n-14)\)

\(S_n=\frac n2(20+14n)\)

S_n = 7n2 + 10n

Shortcut Trick

n = 2 लेने पर

T1 = पहला पद (a) =  14(1) + 3 = 17

T₂ = दूसरा पद = 14(2) + 3 = 28 + 3 = 31

2 पदों का योग = 17 + 31 = 48

विकल्प की जाँच करने पर

(1) 10n² + 7n = 10(2)² + 7(2) = 10(4) + 14 = 54

(2) 7n² + 8n = 7(2)² + 8(2) = 28 + 16 = 44

(3) 7n² + 10n = 7(2)² + 10(2) = 28 + 20 = 48

अतः विकल्प (3) सही है। 

Hint

समांतर श्रेढ़ी प्रश्न में आप पहले विकल्प की जाँच करेंगे फिर n का मान लेंगे।