Taylor's Method MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Taylor's Method - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

बहुचर में टेलर श्रेणी का प्रसार निम्न प्रकार दिया जाता है

\(f\left( {x,y} \right) = f\left( {a,b} \right) + {f_x}\left( {a,b} \right)\left( {x - a} \right) + {f_y}\left( {a,b} \right)\left( {y - b} \right) + \frac{1}{{2!}}\left[ {{f_{xx}}\left( {a,b} \right){{\left( {x - a} \right)}^2} + 2{f_{xy}}\left( {a,b} \right)\left( {x - a} \right)\left( {y - b} \right) + {f_{yy}}{{\left( {y - b} \right)}^2}} \right] + \ldots \)

यदि केवल स्थिर, रैखिक और द्विघात पदों पर विचार किया जाए, तो सन्निकटन को द्विघात सन्निकटन (2nd डिग्री) कहा जाता है।

⇒ \(f\left( {x,y} \right) = f\left( {a,b} \right) + {f_x}\left( {a,b} \right)\left( {x - a} \right) + {f_y}\left( {a,b} \right)\left( {y - b} \right) + \frac{1}{{2!}}\left[ {{f_{xx}}\left( {a,b} \right){{\left( {x - a} \right)}^2} + 2{f_{xy}}\left( {a,b} \right)\left( {x - a} \right)\left( {y - b} \right) + {f_{yy}}{{\left( {y - b} \right)}^2}} \right]\)

मूलबिन्दु के निकट जो (0, 0) है, प्रसार निम्न प्रकार होगा

\(f\left( {x,y} \right) = f\left( {0,0} \right) + {f_x}\left( {0,0} \right)\left( x \right) + {f_y}\left( {0,0} \right)\left( y \right) + \frac{1}{{2!}}\left[ {{f_{xx}}\left( {0,0} \right){{\left( x \right)}^2} + 2{f_{xy}}\left( {0,0} \right)\left( x \right)\left( y \right) + {f_{yy}}{{\left( y \right)}^2}} \right]\)

गणना:

दिया गया फलन f(x, y) = sin 2x + cos y है;

f_x (x, y) = 2 cos 2x;

f_y(x, y) = - sin y

f_xx(x, y) = - 4 sin 2x

f_xy(x,y) = 0

f_yy(x, y) = - cos y

मूलबिन्दु के निकट,

f(0, 0) = 1; f_x(0, 0) = 2, f_y(0, 0) = 0, f_xx(0, 0) = 0, f_xy(0, 0) = 0, f_yy(0, 0) = -1;

मानों को प्रतिस्थापित करने पर,

⇒ f(x, y) = 1 + 2x + 0 + 1/2(0 + 0 + -1 × y²)

⇒ f(x, y) = 1 + 2x – (y²/2)

संकल्पना:

बहुचर में टेलर श्रेणी का प्रसार निम्न प्रकार दिया जाता है

\(f\left( {x,y} \right) = f\left( {a,b} \right) + {f_x}\left( {a,b} \right)\left( {x - a} \right) + {f_y}\left( {a,b} \right)\left( {y - b} \right) + \frac{1}{{2!}}\left[ {{f_{xx}}\left( {a,b} \right){{\left( {x - a} \right)}^2} + 2{f_{xy}}\left( {a,b} \right)\left( {x - a} \right)\left( {y - b} \right) + {f_{yy}}{{\left( {y - b} \right)}^2}} \right] + \ldots \)

यदि केवल स्थिर, रैखिक और द्विघात पदों पर विचार किया जाए, तो सन्निकटन को द्विघात सन्निकटन (2nd डिग्री) कहा जाता है।

⇒ \(f\left( {x,y} \right) = f\left( {a,b} \right) + {f_x}\left( {a,b} \right)\left( {x - a} \right) + {f_y}\left( {a,b} \right)\left( {y - b} \right) + \frac{1}{{2!}}\left[ {{f_{xx}}\left( {a,b} \right){{\left( {x - a} \right)}^2} + 2{f_{xy}}\left( {a,b} \right)\left( {x - a} \right)\left( {y - b} \right) + {f_{yy}}{{\left( {y - b} \right)}^2}} \right]\)

मूलबिन्दु के निकट जो (0, 0) है, प्रसार निम्न प्रकार होगा

\(f\left( {x,y} \right) = f\left( {0,0} \right) + {f_x}\left( {0,0} \right)\left( x \right) + {f_y}\left( {0,0} \right)\left( y \right) + \frac{1}{{2!}}\left[ {{f_{xx}}\left( {0,0} \right){{\left( x \right)}^2} + 2{f_{xy}}\left( {0,0} \right)\left( x \right)\left( y \right) + {f_{yy}}{{\left( y \right)}^2}} \right]\)

गणना:

दिया गया फलन f(x, y) = sin 2x + cos y है;

f_x (x, y) = 2 cos 2x;

f_y(x, y) = - sin y

f_xx(x, y) = - 4 sin 2x

f_xy(x,y) = 0

f_yy(x, y) = - cos y

मूलबिन्दु के निकट,

f(0, 0) = 1; f_x(0, 0) = 2, f_y(0, 0) = 0, f_xx(0, 0) = 0, f_xy(0, 0) = 0, f_yy(0, 0) = -1;

मानों को प्रतिस्थापित करने पर,

⇒ f(x, y) = 1 + 2x + 0 + 1/2(0 + 0 + -1 × y²)

⇒ f(x, y) = 1 + 2x – (y²/2)