Trigonometric Function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Trigonometric Function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

व्युत्क्रम टेंजेंट और कोटेंजेंट संबंध:

• व्युत्क्रम कोटेंजेंट फलन को व्युत्क्रम टेंजेंट फलन के पदों में लिखा जा सकता है: cot^-1 θ = (π/2) - tan^-1 θ.
• यह संबंध tan^-1 और cot^-1 दोनों वाले समीकरणों को सरल बनाने में उपयोगी है।

गणना:

दिया गया समीकरण है:

tan^-1 (2 / (3^x + 1)) = cot^-1 (3 / (3^x + 1))

हम सर्वसमिका cot^-1 θ = (π/2) - tan^-1 θ का उपयोग समीकरण को इस प्रकार पुनर्लेखित करने के लिए करते हैं:

tan^-1 (2 / (3^x + 1)) = (π/2) - tan^-1 (3 / (3^x + 1))

दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर:

(2 / (3^x + 1)) = (3 / (3^x + 1))

यह विरोधाभासी समीकरण की ओर ले जाता है:

2 = 3

इसलिए, इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

निष्कर्ष:

सही उत्तर है:

• विकल्प (1): उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करने वाला कोई वास्तविक मान x का नहीं है।

गणना

\(y = \sqrt{\sin x + y}\)

⇒ \(y^2 = \sin x + y\)

⇒ \(2y \frac{dy}{dx} = \cos x + \frac{dy}{dx}\)

⇒ \(2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \cos x\)

⇒ \(\frac{dy}{dx} (2y - 1) = \cos x\)

⇒ \(\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2y - 1}\)

x = 0 और y = 1 प्रतिस्थापित करने पर:

⇒ \(\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(0)}{2(1) - 1}\)

⇒ \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 - 1}\)

⇒ \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1}\)

⇒ \(\frac{dy}{dx} = 1\)

∴ x = 0, y = 1 पर \(\frac{dy}{dx} = 1\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

अब अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है,

\( -\sin[f(x)]f'(x) = \dfrac{[1+(\log x)^2][-2(\log x)/x] - [1 - (\log x)^2][2(\log x)/x]}{[1+(\log x)^2]^2} \)

\( x = e \) पर मान रखने पर,

\( -f'(x) = \dfrac{(2)(-2/e)-(0)(2/e)}{2^2} \)

इसका अर्थ है कि \( f'(x) = \dfrac{1}{e} \)

\( \tan^{-1}(a + b) = \dfrac{\tan^{-1}a + \tan^{-1}b}{1 - \tan^{-1}a\tan^{-1}b} \)

और इसी प्रकार,

\( \Rightarrow \tan^{-1}(a - b) = \dfrac{\tan^{-1}a - \tan^{-1}b}{1 + \tan^{-1}a\tan^{-1}b} \)

\( \Rightarrow \tan^{-1}\left(\dfrac{4x}{1 + 5x^2}\right) = \tan^{-1}\left(\dfrac{5x - x}{1 + 5x.x}\right) = \tan^{-1}5x - \tan^{-1}x \)

\( \Rightarrow \cot^{-1}x = \tan^{-1}\left(\dfrac{1}{x}\right) \)

\( \Rightarrow \cot^{-1}\left(\dfrac{3 - 2x}{2 + 3x}\right) = \tan^{-1}\left(\dfrac{2 + 3x}{3 - 2x}\right) = \tan^{-1}\left(\dfrac{\dfrac{2}{3} + x}{1 - \dfrac{2}{3}x}\right) = \tan^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right) + \tan^{-1}x \)

\( \Rightarrow \therefore y = \tan^{-1}5x + \tan^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right) \)

\( \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{5}{1 + 25x^2} \)

\( y = \sin^2 \left( \cot^{-1} \sqrt{ \dfrac{1 + x}{1 - x} } \right) \)

माना, \( \cot{\theta} = \sqrt{ \dfrac{1 + x}{1 - x} } \)

\( \cot^2{\theta} = \dfrac{1 + x}{1 - x} \)

\( \Rightarrow x = \dfrac{\cot^2{\theta} - 1}{\cot^2{\theta} + 1} = \dfrac{\cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta} + \sin^2{\theta}} = \cos{2\theta} \)

अब,

\( y = \sin^2{\theta} \)

\( \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{d(\theta)} \times \dfrac{d(\theta)}{dx} \)

\( \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 2 \sin{\theta}\cos{\theta} \times \dfrac{-1}{2 \sin(2\theta)} \)

\( \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-1}{2} \)

धारणा:

\({\cot ^{ - 1}}{\rm{x}} = {\rm{\;}}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\rm{x}}}} \right)\)

tan (tan^-1 x) = x

गणना:

दिया हुआ:

y = tan (cot⁻¹ x)

 \( \Rightarrow {\rm{y}} = \tan \left[ {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\rm{x}}}} \right)} \right]\)

⇒ y = 1/x                                (∵tan (tan^-1 x) = x)

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है

\(\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}} = {\rm{\;}} - \frac{1}{{{{\rm{x}}^2}}}\)

x = 1 पर

\(\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}} = \; - \frac{1}{1} = \; - 1\)

संकल्पना:

• \(\tan^{-1}a \, +\, \tan^{-1}b=\tan^{-1}\left (\frac{a+b}{1-ab} \right )\) ---- (1)
• da/dx = 0, जहाँ a कोई स्थिरांक है
• \(\frac{d}{dx}\tan^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}\) ---- (2)

• \(\frac{d}{dx}(a+b)=\frac{da}{dx}+\frac{db}{dx}\)

गणना:

\(\frac{d}{dx}\tan^{-1}\left [ \frac{5+x}{1-5x} \right ]\)

\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\tan^{-1}5\, +\, \tan^{-1}x)\) [(1) का उपयोग करने पर]

\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\tan^{-1}5)\, +\, \frac{d}{dx}(\tan^{-1}x)\)

\(\Rightarrow 0+\frac{1}{1+x^2}\)      [(2) का उपयोग करने पर]

\(\Rightarrow \frac{1}{1+x^2}\)

दिया गया है:

? = \(\frac{ \sin 33^\circ \cos 57^\circ + \sec 62^\circ \sin 28^\circ + \cos 33^\circ \sin 57^\circ + \rm cosec 62^\circ \cos 28^\circ}{\tan 15^\circ \tan 35^\circ \tan 60^\circ \tan 55^\circ \tan 75^\circ}\)

सूत्र:

sin (90 - θ) = cos θ

tan (90 - θ) = cot θ

गणना:

⇒ sin 33°. cos57° = sin(90° - 57°).cos57° = cos57°.cos57° = cos²57°

⇒ sec 62°.sin28° = 1/cos 62° × sin 28°

= sin (90° - 62°) × 1/cos 62°

= cos62° × 1/cos 62° = 1

⇒ cos33°. sin 57° = sin (90° - 33°) . sin 57° = sin²57°

⇒ cosec 62°. cos 28° = cos 28° × 1/sin 62°

= cos 28° × 1/sin(90° - 28°) = cos 28°/cos 28° = 1

⇒ tan 15°.tan 35°.tan 60°.tan 55°.tan 75° = (sin15°/cos15°) × (sin75°/cos75°) × (sin55°/cos55° )× (sin35°/cos35°) × √3

 = √3

तो,

⇒ ? = (cos²57° + 1 + sin²57° + 1)/√3

⇒ ? = 3/√3

⇒ ? = √3

∴ \(\frac{ \sin 33^\circ \cos 57^\circ + \sec 62^\circ \sin 28^\circ + \cos 33^\circ \sin 57^\circ + \rm cosec 62^\circ \cos 28^\circ}{\tan 15^\circ \tan 35^\circ \tan 60^\circ \tan 55^\circ \tan 75^\circ}\) = √3

संकल्पना:

मान लीजिए कि हमारे पास दो फलन f(x) और g(x) हैं और वे दोनों अवकलनीय हैं।

• श्रृंखला नियम: \(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left[ {{\rm{f}}\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right)} \right] = {\rm{\;f'}}\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right){\rm{g'}}\left( {\rm{x}} \right)\)
• गुणनफल नियम: \(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left[ {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right] = {\rm{\;f'}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g}}\left( {\rm{x}} \right) + {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g'}}\left( {\rm{x}} \right)\)

गणना:

हमें \(\rm \frac{d(\sin xt)}{dt}\) का मूल्य खोजना होगा

\(\rm \frac{d(\sin xt)}{dt} = \frac{d(\sin xt)}{d(xt)} \times \frac{d(xt)}{dt}\\=\cos xt \times x\\=x \cos xt\)

अवधारणा:

त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज:

\(\rm \frac{d}{dx}\sin x=\cos x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\\ \frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2 x\\ \frac{d}{dx}\sec x=\tan x\sec x\ \ \ \ \frac{d}{dx}\csc x=-\cot x\csc x\)

त्रिकोणमितीय सूत्र:

\(\rm \sin 2x = \frac{2\tan x}{1+\tan^2x}\)

\(\rm \cos 2x = \frac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}\)

\(\rm \tan 2x = \frac{2\tan x}{1-\tan^2x}\)

अवकलजों का श्रृंखला नियम:

• \(\rm \frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{d}{d\ g(x)}f(g(x))\times \frac{d}{dx}g(x)\)
• \(\rm \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\)

गणना:

हमारे पास y = \(\rm \cos ^ {-1} \left(\frac {1 - x}{1 + x}\right)\) है।

मान लीजिए x = tan² z

∴ y = \(\rm \cos ^ {-1} \left(\frac {1 - \tan^2z}{1 + \tan^2z}\right)\) = cos-1 (cos 2z) = 2z

अब, z के संबंध में अवकलित करते हुए हम प्राप्त करते हैं:

\(\rm\frac{dx}{dz}= \frac{d}{dz}\left(\tan^2z\right)=2\tan z\sec^2z\)

\(\rm\frac{dy}{dz}= \frac{d}{dz}(2z)=2\)

अवकलजों के श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए हम प्राप्त करते हैं:

\(\rm\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{dz}\times\frac{dz}{dx}=\frac{2}{2\tan z\sec^2z}=\frac{1}{\tan z(1+\tan^2z)}=\frac{1}{\sqrt x(1+x)}\) ।

संकल्पना-

sin 2x = 2sin x cos x.

गणना​-

जैसे कि sin x = sin 2x

⇒ sin 2x - sin x = 0

⇒ 2 sin x cos x - sin x = 0

⇒ sin x (2cos x - 1) = 0

तो या तो sin x = 0 , [0, 2π] अंतराल में, जब x = 0, π, 2π 

या 2cos x -1 = 0, अर्थात cos x = \( {1} \over {2}\)  [0,2π] अंतराल में, जब x = \(\frac{ π } {3} ,\frac { 5π } {3}\)

∴ [0, 2π] अंतराल में x का कुल मान 5 है।

उपयोग की गई अवधारणा:

त्रिकोणमिति सूत्र

sin 2x = 2sin x cos x

गणना:

y = \(\rm {\rm{\;}}\frac{{\left( {sinx - cosx} \right)}}{{sin2x}}\)

y = \(\rm \frac{{\left( {sinx - cosx} \right)}}{{2.sinx.cosx}}\)

⇒ y = \(\rm \frac{{sinx}}{{2.sinx.cosx}} - \;\frac{{cosx}}{{2.sinx.cosx}}\)

⇒ y = \(\rm \left( {\frac{1}{{2cosx}}} \right)\; - \left( {\frac{1}{{2sinx}}} \right)\)

⇒ y = \(\frac{1}{2}\) (secx - cosecx)

दोनों पक्षों में अवकलन करने पर, हमें मिलता है

⇒ \(\rm \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{d\left( {secx} \right)}}{{dx}} - \frac{{d\left( {cosecx} \right)}}{{dx}}} \right]\)

⇒ \(\rm \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{2}\left( {secx.tanx + cosecx.cotx} \right)\)

संकल्पना:

\(\rm \tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left[ \frac{x+y}{1-xy} \right ]\)

\(\rm \frac{d(\tan^{-1} x)}{dx}= \frac{1}{1+x^2}\)

गणना:

दिया गया है: y = \(\rm \tan^{-1}\left[ \frac{8x}{1-15x^2} \right ]\)

\(\rm y=\rm \tan^{-1}\left[ \frac{5x+3x}{1-5x\cdot 3x} \right ]\)

चूँकि हम जानते हैं कि,\(\rm \tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left[ \frac{x+y}{1-xy} \right ]\)

इसलिए, \(\rm y=\rm \tan^{-1}\left[ \frac{5x+3x}{1-5x\cdot 3x} \right ]\)= tan-1 5x + tan-1 3x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm \frac{dy}{dx}=\frac{d(\tan^{-1} 5x)}{dx}+\frac{d(\tan^{-1} 3x)}{dx}\)

\(= \rm \frac{5}{1+(5x)^2}+\frac{3}{1+(3x)^2}\)

\(=\rm \frac{5}{1+25x^2}+\frac{3}{1+9x^2}\)

अवधारणा:

त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज:

\(\rm \frac{d}{dx}\sin x=\cos x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\\ \frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2 x\\ \frac{d}{dx}\sec x=\tan x\sec x\ \ \ \ \frac{d}{dx}\csc x=-\cot x\csc x\)

अवकलजों का श्रृंखला नियम:

• \(\rm \frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{d}{d\ g(x)}f(g(x))× \frac{d}{dx}g(x)\) ।
• \(\rm \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}× \frac{du}{dx}\) ।

गणना:

हमारे पास y = sin (cos2 x2) है।

x के संबंध में अवकलन करते हुए हम प्राप्त करते हैं:

\(\rm\frac{dy}{dx}\) = [cos (cos2 x2)] × (2 cos x2 (-sin x2)) (2x)

= -4xcos (cos2 x2) cos x2 sin x2

संकल्पना:

\(\rm \frac {d(tanx)} {dx} = sec^2x\)

\(\rm \frac {d(logx)} {dx} = \frac {1} {x}\)

\(\rm \frac {d(x)} {dx} = 1\)

fog(x) = f{g(x)}

गणना:

f(x) = log x + 3x - 10 और g(x) = tanx

fog(x) = f{g(x)} = log(tanx) + 3tanx - 10

⇒ fog'(x) = \(\rm \frac {d[log(tanx)]} {dx} + 3\frac {d(tanx)} {dx} - \frac {d(10)} {dx}\)

⇒ fog'(x) = \(\rm \frac {1} {tanx} \frac {d(tanx)} {dx} + 3 sec^2x\)

⇒ fog'(x) = \(\rm \frac {1} {tanx} \times sec^2x + 3 sec^2x\)

⇒ fog'(x) = \(\rm \frac {cosx} {sinx} \times \frac {1} {cos^2x} + 3 sec^2x\)

⇒ fog'(x) = \(\rm cosecx. secx + 3 sec^2x\)

⇒ fog'(x) = \(\rm secx (cosecx + 3secx)\)