Using Variable Separable Method MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Using Variable Separable Method - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

प्रथम कोटि अवकल समीकरण:

• एक अवकल समीकरण जिसमें फलन y और इसका प्रथम अवकलज dy/dx शामिल है, उसे प्रथम कोटि अवकल समीकरण कहा जाता है।
• पृथक्करणीय अवकल समीकरणों को चरों y और x को समीकरण के विपरीत पक्षों पर अलग करके हल किया जा सकता है।
• एक बार चरों को अलग करने के बाद, दोनों पक्षों को उनके अपने चर के सापेक्ष समाकलित करें।
• समाकलन के स्थिरांक को ज्ञात करने और विशेष हल प्राप्त करने के लिए प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करें।

लघुगणकीय फलन:

• प्राकृतिक लघुगणकीय फलन को log_e या ln के रूप में दर्शाया जाता है।
• महत्वपूर्ण सर्वसमिका: ∫(1/x) dx = log_e|x| + C

गणना:

दिया गया है, y(0) = 1

समीकरण: (y − x²y) dy = (1 − x³) dx

⇒ y(1 − x²) dy = (1 − x³) dx

⇒ y dy = [(1 − x³)/(1 − x²)] dx

⇒ y dy = [(1 + x + x²)/(1 + x)] dx

⇒ y dy = x + (1/(1 + x)) dx

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

⇒ ∫ y dy = ∫ (x + 1/(1 + x)) dx

⇒ y²/2 = x²/2 + log_e|1 + x| + C

⇒ y² = x² + 2 log_e|1 + x| + C′

प्रारंभिक स्थिति लागू करने पर: x = 0, y = 1

⇒ (1)² = 0 + 2 log_e(1) + C′

⇒ 1 = 0 + 0 + C′

⇒ C′ = 1

∴ इसलिए, विशेष हल y² = x² + 2 log_e|1 + x| + 1 है। 

गणना

⇒

⇒

⇒

⇒

लेकिन,

⇒

= 2(ℓn2)² - 1

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

व्याख्या:

...(i)

इसलिए,

⇒ ((i) का उपयोग करने पर)

सहायक समीकरण है

m² = - ω²

⇒ m = ωi

इसलिए, व्यापक हल है

x = c1 cos ωt + c2 sin ωt

इसलिए, -ωy = = -ωc1 sin ωt + ωc2 cos ωt

⇒ y = c1 sin ωt - c2 cos ωt

इसलिए

x = c1 cos ωt + c2 sin ωt

y = c1 sin ωt - c2 cos ωt

(1) सही है।

गणना

f(x) =

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

गणना:

दिया गया है, (1 + y2)dx - xy dy = 0

⇒ =

⇒ =

⇒ ln(1 + y²) = ln x + ln C

x = 1, y = 0 पर

⇒ ln(1) = ln 1 + ln C

⇒ ln C = 0

∴ ln(1 + y2) = ln x

⇒ ln(1 + y2) = = 2 ln x

⇒ ln(1 + y2) = ln x²

⇒ 1 + y2 = x²

⇒ x² - y2 = 1, जो एक अतिपरवलय को निरूपित करता है।

∴ दिया गया अवकल समीकरण एक अतिपरवलय को निरूपित करता है।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

संकल्पना:

गणना:

दिया गया है: dy = (1 + y²) dx

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ y = tan (x + c)

∴ दिए गए अवकल समीकरण का हल y = tan (x + c) है।

गणना:

दिया गया है: 

दोनों पक्षों में समाकलन का प्रयोग करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ y = xe^a + c

संकल्पना:

गणना:

दिया गया है:

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

अवधारणा:

गणना:

दिया गया है :  

⇒  

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें मिलता है

⇒  

⇒ 

⇒  [∵ 2c = C]

⇒ 

सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं:

यदि log x = z है, तो हम x = e^z लिख सकते हैं

गणना:

उपरोक्त समीकरण को पुनःव्यवस्थित करने और समाकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

⇒

⇒, c = समाकलन का स्थिरांक 

⇒ log(3x + 8) = 3(t + c)

⇒ 3x + 8 = e^3(t+c) 

⇒ 3x = e^3(t+c) - 8

∴ 

संकल्पना:

गणना:

दिया गया है: dy =  dx 

⇒  

दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒  

⇒  = x + c 

⇒ y = sin ( x + c ) . 

सही विकल्प 2 है। 

संकल्पना:

गणना:

दिया गया है: 

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

गणना:

दिया गया है कि:

⇒ ydy = (x + 1) dx

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें मिलता है

⇒ ∫ ydy = ∫ (x + 1) dx

⇒

⇒ y ² = x ² + 2x + 2c

∴ y2 - x2 - 2x - c = 0

संकल्पना:

पहली-कोटि वाले अवकल समीकरण के लिए चर को अलग कीजिए और उसीप्रकार समाकलन कीजिए। 

समाकलन स्थिरांक ज्ञात करने के लिए दी गयी स्थिति को रखिए। 

गणना:

दिया गया अवकल समीकरण 

⇒ 

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर 

⇒ 

⇒ ln y = 4x + c

⇒ y = e^{4x + c}

अब y(0) = 1

⇒ 1 = e^{0 + c}

⇒ c = 0

∴ y = e^4x

संकल्पना:

परिवर्तनीय वियोज्य विधि द्वारा अवकल समीकरण

यदि दिए गए अवकल समीकरण में  का गुणांक केवल x का फलन है और  का गुणांक केवल y का फलन है, तो हम  और  के पदों को अलग कर सकते हैं और दोनों का अलग-अलग समाकलन कर सकते हैं। 

गणना:

ज्ञात करना है: अवकल समीकरण का हल

⇒ ydx - xdy = 0

⇒ ydx = xdy 

⇒ 

दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

                   (∵ ln x + ln y = ln (xy))

⇒ y = cx 

∴ y - cx = 0