Using Variable Separable Method MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Using Variable Separable Method - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

प्रथम कोटि अवकल समीकरण:

• एक अवकल समीकरण जिसमें फलन y और इसका प्रथम अवकलज dy/dx शामिल है, उसे प्रथम कोटि अवकल समीकरण कहा जाता है।
• पृथक्करणीय अवकल समीकरणों को चरों y और x को समीकरण के विपरीत पक्षों पर अलग करके हल किया जा सकता है।
• एक बार चरों को अलग करने के बाद, दोनों पक्षों को उनके अपने चर के सापेक्ष समाकलित करें।
• समाकलन के स्थिरांक को ज्ञात करने और विशेष हल प्राप्त करने के लिए प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करें।

लघुगणकीय फलन:

• प्राकृतिक लघुगणकीय फलन को log_e या ln के रूप में दर्शाया जाता है।
• महत्वपूर्ण सर्वसमिका: ∫(1/x) dx = log_e|x| + C

गणना:

दिया गया है, y(0) = 1

समीकरण: (y − x²y) dy = (1 − x³) dx

⇒ y(1 − x²) dy = (1 − x³) dx

⇒ y dy = [(1 − x³)/(1 − x²)] dx

⇒ y dy = [(1 + x + x²)/(1 + x)] dx

⇒ y dy = x + (1/(1 + x)) dx

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

⇒ ∫ y dy = ∫ (x + 1/(1 + x)) dx

⇒ y²/2 = x²/2 + log_e|1 + x| + C

⇒ y² = x² + 2 log_e|1 + x| + C′

प्रारंभिक स्थिति लागू करने पर: x = 0, y = 1

⇒ (1)² = 0 + 2 log_e(1) + C′

⇒ 1 = 0 + 0 + C′

⇒ C′ = 1

∴ इसलिए, विशेष हल y² = x² + 2 log_e|1 + x| + 1 है। 

गणना

\(y d y=(x d y-y d x) \sin \left(\frac{x}{y}\right)\)

⇒ \(\frac{d y}{y}=\left(\frac{x d y-y d x}{y^{2}}\right) \sin \left(\frac{x}{y}\right)\)

⇒ \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{y}}=\sin \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\right) \mathrm{d}\left(-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\right)\)

⇒ \(ℓ n y=\cos \frac{x}{y}+C\)

\(x(1)=\frac{\pi}{2} \Rightarrow 0=\cos \frac{\pi}{2}+C \Rightarrow C=0\)

⇒ \(ℓ \mathrm{ny}=\cos \frac{x}{y}\)

लेकिन,\(\text { } y=2 \Rightarrow \cos \frac{x}{2}=\ln 2\)

⇒ \(\cos x=2 \cos ^{2} \frac{x}{2}-1\)

= 2(ℓn2)² - 1

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

व्याख्या:

\(\rm \frac{dx}{dt}=-ω y; \frac{dy}{dt}=ω x\)...(i)

इसलिए, \(\rm \frac{d^2x}{dt^2}=-ω {dy\over dt}\)

⇒ \(\rm \frac{d^2x}{dt^2}=-ω^2x\) ((i) का उपयोग करने पर)

सहायक समीकरण है

m² = - ω²

⇒ m = ωi

इसलिए, व्यापक हल है

x = c1 cos ωt + c2 sin ωt

इसलिए, -ωy = \(\rm dx\over dt\) = -ωc1 sin ωt + ωc2 cos ωt

⇒ y = c1 sin ωt - c2 cos ωt

इसलिए

x = c1 cos ωt + c2 sin ωt

y = c1 sin ωt - c2 cos ωt

(1) सही है।

गणना

\(\frac{dy}{dx} = -\frac{e^{x} + x^{2}}{e^{-sin y}cos y}\)

\(\Rightarrow d(e^{-sin y}) + (e^{x} + x^{2})dx = 0\)

\(\Rightarrow e^{-sin y} + e^{x} + \frac{x^{3}}{3} = C\)

f(x) = \(\rm e^{x}+\frac{1}{3}x^3\)

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

गणना:

दिया गया है, (1 + y2)dx - xy dy = 0

⇒ \(\frac{ydy}{1+y^2}\) = \(\frac{dx}{x}\)

⇒ \(\int \frac{ydy}{1+y^2}\) = \(\int \frac{dx}{x}\)

⇒ \(\frac{1}{2}\)ln(1 + y²) = ln x + ln C

x = 1, y = 0 पर

⇒ \(\frac{1}{2}\)ln(1) = ln 1 + ln C

⇒ ln C = 0

∴ \(\frac{1}{2}\)ln(1 + y2) = ln x

⇒ ln(1 + y2) = = 2 ln x

⇒ ln(1 + y2) = ln x²

⇒ 1 + y2 = x²

⇒ x² - y2 = 1, जो एक अतिपरवलय को निरूपित करता है।

∴ दिया गया अवकल समीकरण एक अतिपरवलय को निरूपित करता है।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

संकल्पना:

\(\rm \displaystyle \int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1} x + c\)

गणना:

दिया गया है: dy = (1 + y²) dx

\(\rm \Rightarrow \frac{dy}{1+y^2}=dx\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm \Rightarrow \displaystyle \int \frac{dy}{1+y^2}=\displaystyle \int dx\\\rm \Rightarrow \tan^{-1} y = x + c \)

⇒ y = tan (x + c)

∴ दिए गए अवकल समीकरण का हल y = tan (x + c) है।

गणना:

दिया गया है: \(\ln \left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right) - {\rm{a}} = 0\)

\( \Rightarrow \ln \left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right) = {\rm{a}}\)

\(\Rightarrow \frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}} = {{\rm{e}}^{\rm{a}}}\)

\(\Rightarrow {\rm{\;}}\smallint \frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}} = \smallint {{\rm{e}}^{\rm{a}}}\)

दोनों पक्षों में समाकलन का प्रयोग करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ y = xe^a + c

संकल्पना:

\(\rm \int \frac{1}{x}dx = \log x + c\)

\(\rm \int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c\)

गणना:

दिया गया है:\(\rm\left( xy \frac {dy}{dx} -1 \right)= 0\)

\(\Rightarrow \rm xy \frac {dy}{dx} =1 \)

\(\Rightarrow \rm y \;dy=\frac {dx}{x} \)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm \Rightarrow \frac{y^2}{2} = \log x + c\)

अवधारणा:

\(\rm \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx = \frac{1}{a}\tan ^{-1}\frac{x}{a}+ C\) 

गणना:

दिया गया है : \(\rm dy = \left ( 4 + y^{2} \right )dx\) 

⇒ \(\rm \frac{dy}{4+y^{2}}= dx\) 

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें मिलता है

\(\rm \int \frac{dy}{2^{2}+y^{2}}= \int dx\)

⇒ \(\rm \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{y}{2}= x+c\) 

⇒ \(\rm \tan^{-1}\frac{y}{2}= 2x+ 2c\)

⇒ \(\rm \tan^{-1}\frac{y}{2}= 2x+ C\) [∵ 2c = C]

⇒ \(\rm \frac{y}{2}= \tan(2x+ C)\)

 \(\rm y = 2\tan \left ( 2x+C \right )\) 

सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं:

\(\rm \int{dx\over ax}={1\over a}logx+c\)

यदि log x = z है, तो हम x = e^z लिख सकते हैं

गणना:

\(\rm {dx\over dt}= 3x+8\)

उपरोक्त समीकरण को पुनःव्यवस्थित करने और समाकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

⇒\(\rm \int{dx\over 3x+8}=\int dt\)

⇒\(\rm {1\over 3 }log({3x+8})=t+c\), c = समाकलन का स्थिरांक 

⇒ log(3x + 8) = 3(t + c)

⇒ 3x + 8 = e^3(t+c) 

⇒ 3x = e^3(t+c) - 8

∴ \(\rm x ={ 1\over 3}e^{3(t+c)}-{8\over 3}\)

संकल्पना:

\(\rm \int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}= sin^{-1}\frac{x}{a}\) 

गणना:

दिया गया है: dy = \(\rm \sqrt{1-y^2}\) dx 

⇒ \(\rm \frac{dy}{\sqrt{1^{2}-y^{2}}} = dx\) 

दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ \(\rm \int \frac{dy}{\sqrt{1^{2}-y^{2}}} =\int dx\) 

⇒ \(\rm sin^{-1}\left ( y \right )\) = x + c 

⇒ y = sin ( x + c ) . 

सही विकल्प 2 है। 

संकल्पना:

\(\rm \int \frac{1}{a^2+x^2}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + c\)

\(\rm \int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c\)

गणना:

दिया गया है: \(\rm \frac{dx}{dy} = (1+x^2)(1+y^2)\)

\(\rm \Rightarrow \frac{dx}{(1+x^2)} = (1+y^2)dy\)

\(\rm \Rightarrow (1+y^2)dy=\frac{dx}{(1+x^2)} \)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm \Rightarrow \int (1+y^2)dy=\int \frac{dx}{(1+x^2)} \)

\(\rm \Rightarrow y+\frac{y^3}{3} = \tan^{-1}x + c\)

गणना:

दिया गया है कि: \(\rm y \frac {dy}{dx} = x + 1\)

⇒ ydy = (x + 1) dx

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें मिलता है

⇒ ∫ ydy = ∫ (x + 1) dx

⇒ \(\rm \frac {y^2}{2} = \rm \frac {x^2}{2} + x + c \)

⇒ y ² = x ² + 2x + 2c

∴ y2 - x2 - 2x - c = 0

संकल्पना:

पहली-कोटि वाले अवकल समीकरण के लिए चर को अलग कीजिए और उसीप्रकार समाकलन कीजिए। 

समाकलन स्थिरांक ज्ञात करने के लिए दी गयी स्थिति को रखिए। 

गणना:

दिया गया अवकल समीकरण 

\(\rm \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d x}} -4y = 0\)

⇒ \(\rm \frac{\mathrm{d} y}{y} =4dx\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर 

⇒ \(\rm \int\frac{\mathrm{d} y}{y} =\int4dx\)

⇒ ln y = 4x + c

⇒ y = e^{4x + c}

अब y(0) = 1

⇒ 1 = e^{0 + c}

⇒ c = 0

∴ y = e^4x

संकल्पना:

परिवर्तनीय वियोज्य विधि द्वारा अवकल समीकरण

यदि दिए गए अवकल समीकरण में \(\rm dx\) का गुणांक केवल x का फलन है और \(\rm dy\) का गुणांक केवल y का फलन है, तो हम \(\rm dx\) और \(\rm dy\) के पदों को अलग कर सकते हैं और दोनों का अलग-अलग समाकलन कर सकते हैं। 

\(\rm ⇒ \smallint f\left( x \right)dx = \smallint g\left( y \right)dy\)

गणना:

ज्ञात करना है: अवकल समीकरण का हल

\(\rm \frac{ydx-xdy}{x} = 0\)

⇒ ydx - xdy = 0

⇒ ydx = xdy 

⇒ \(\rm \frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}\)

दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm \int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}\\⇒ \ln y = \ln x + \ln c\)   

\(\rm ⇒ \ln (y) = \ln cx\)                   (∵ ln x + ln y = ln (xy))

⇒ y = cx 

∴ y - cx = 0