Variance and Standard Deviation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Variance and Standard Deviation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

\(\rm \Sigma_{i=1}^9x_i^2=885\)

प्रसरण σ² = \(\rm \Sigma_{i=1}^9x_i^2 - (माध्य)^2\)

= \(\frac{885}{9} -(M)^2\)

इसलिए, σ² + M² = \(\frac{885}{9} = 98.33\) (लगभग 95 के करीब)

हालांकि, प्रश्न में दिया गया योग 885 है, यदि हम मान लें कि योग 855 है तो:

σ² + M² = \(\frac{855}{9} = 95\)

इसलिए, विकल्प (b) सही है।

गणना

मान लीजिए कि दो अज्ञात वस्तुएँ x और y हैं। तब,

माध्य = 4 ⇒ \(\frac{1+2+6+x+y}{5}=4\)

⇒ x + y = 11...(i)

और प्रसरण = 5.2

⇒ \(\frac{1^{2}+2^{2}+6^{2}+x^{2}+y^{2}}{5}\) - (माध्य)2 = 5.2

⇒ 41 + x2 + y2 = 5(5.2 + 16)

⇒ 41 + x2 + y2 = 106

⇒ x2 + y2 = 65... (ii)

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है

x = 4, y = 7 या x = 7, y = 4

योग = 28

प्रयुक्त अवधारणा:

माध्य: \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}\)

प्रसरण: \(\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2\)

गणना:

दिया गया है:

5 प्रेक्षणों का माध्य = 4

5 प्रेक्षणों का प्रसरण = 5.2

तीन प्रेक्षण: 1, 2, 6

मान लीजिये अन्य दो प्रेक्षण x और y हैं।

माध्य: \(\frac{1 + 2 + 6 + x + y}{5} = 4\)

⇒ \(9 + x + y = 20\)

⇒ \(x + y = 11\) ...(1)

प्रसरण: \(\frac{1^2 + 2^2 + 6^2 + x^2 + y^2}{5} - 4^2 = 5.2\)

⇒ \(\frac{1 + 4 + 36 + x^2 + y^2}{5} - 16 = 5.2\)

⇒ \(\frac{41 + x^2 + y^2}{5} = 21.2\)

⇒ \(41 + x^2 + y^2 = 106\)

⇒ \(x^2 + y^2 = 65\) ...(2)

(1) से, \(y = 11 - x\)

(2) में प्रतिस्थापित करें:

⇒ \(x^2 + (11 - x)^2 = 65\)

⇒ \(x^2 + 121 - 22x + x^2 = 65\)

⇒ \(2x^2 - 22x + 56 = 0\)

⇒ \(x^2 - 11x + 28 = 0\)

⇒ \((x - 4)(x - 7) = 0\)

⇒ \(x = 4\) या \(x = 7\)

यदि \(x = 4\), \(y = 11 - 4 = 7\)

यदि \(x = 7\), \(y = 11 - 7 = 4\)

अन्य दो प्रेक्षण 4 और 7 हैं।

इसलिए विकल्प 1 सही है

\(|A|=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|\)

= a₁₁ a₂₂ - a₂₁

a₁₂ = {-1, 0, 1}

\(\begin{array}{c|c|c|c} \mathrm{x} & \mathrm{P}_{\mathrm{i}} & \mathrm{P}_{\mathrm{i}} \mathrm{X}_{\mathrm{i}} & \mathrm{P}_{1} \mathrm{X}_{\mathrm{i}}{ }^{2} \\ -1 & \frac{3}{16} & -\frac{3}{16} & \frac{3}{16} \\ 0 & \frac{10}{16} & 0 & 0 \\ 1 & \frac{3}{16} & \frac{3}{16} & \frac{3}{16} \\ \hline & & \sum \mathrm{P}_{\mathrm{i}} X_{\mathrm{i}}=0 & \sum \mathrm{P}_{\mathrm{i}} X_{\mathrm{i}}{ }^{2}=\frac{3}{8} \end{array}\)

\(\therefore \operatorname{var}(\mathrm{x})=\sum \mathrm{P}_{\mathrm{i}} \mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{2}-\left(\sum \mathrm{P}_{\mathrm{i}} \mathrm{X}_{\mathrm{i}}\right)^{2} \)

\(=\frac{3}{8}-0=\frac{3}{8} \)

\(\frac{4}{5}=\frac{\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}^{2}}{10}-\left(\frac{\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{10}\right)^{2} \)

\(\frac{4}{5}=\frac{\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}^{2}}{10}-25 \)

\(\Rightarrow \sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}^{2}=258 \)

अब \( \sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-\beta\right)^{2}=98\)

\(\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}^{2}-2 \beta. \mathrm{x}_{\mathrm{i}}+\beta^{2}\right)=98 \)

258 - 2β(50) + 10β² = 98

(β - 8)(β - 2) = 0

β = 8 या β = 2 (चूँकि β > 2)

∴ β = 8

अब,

= 2(x₁ - 1) + 4β, 2(x₂ - 1) + 4β, ….2(x₁₀ - 1) + 4β

= 2x₁ + 30, 2 x₂ + 30, ….2x₁₀ + 30

μ = 2(5) + 30 = 40

\(\sigma^{2}=2^{2}\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{16}{5} \)

\(\because \frac{\mathrm{B} μ}{\sigma^{2}}=\frac{8 \times 40}{16 / 5}=100\)

प्रयुक्त सूत्र:

• σ2 = ∑(xi – x)2/n
• मानक विचलन समान होता है जब प्रत्येक तत्व को एक ही स्थिरांक से बढ़ाया जाता है

गणना:

चूंकि प्रत्येक डेटा में 10 की वृद्धि होती है,

मानक विचलन में कोई परिवर्तन नहीं होगा क्योंकि (xi – x) समान रहता है।

∴ 10, 11, 12, 13 _____ 19 का मानक विचलन K होगा।

Alternate Method 

गणना:

माना कि संख्याएँ x1, x2, x3, x4 हैं।

चार संख्याओं का माध्य x1, x2, x3, x4 = 37

चार संख्याओं का योग x1, x2, x3, x4 = 37 × 4 = 148.

तीन न्यूनतम संख्याओं का माध्य x1, x2, x3 = 34

तीन न्यूनतम संख्याओं का योग x1, x2, x3 = 34 × 3 = 102.

∴ अधिकतम संख्या का मान x4 = 148 – 102 = 46.

रेंज (अधिकतम और न्यूनतम संख्याओं के बीच का अंतर) x4 – x1 = 15.

∴ न्यूनतम संख्या x1 = 46 – 15 = 31.

अब,

x2, x3 का योग = कुल योग – (न्यूनतम और अधिकतम संख्या का योग)

⇒ 148 – (46 + 31)

⇒ 148 – 77

⇒ 71

अब,

संकल्पना:

मानक विचलन:

अवलोकन समुच्चय \(\rm \{x_i,i=1,2,3,\cdots\}\) का मानक विचलन निम्नानुसार दिया गया है:

\(\rm \sigma=\sqrt{\dfrac{\sum\left(x_i-\mu\right)^2}{N}}\)

जहाँ N = अवलोकन समुच्चय का आकार और μ = अवलोकनों का माध्य।

गणना:

सबसे पहले हम दिए गए अवलोकनों के माध्य की गणना करेंगे।

\(\begin{align*} \mu &= \dfrac{-\sqrt6-\sqrt5-\sqrt4-1+1+\sqrt4+\sqrt5+\sqrt6}{8}= 0 \end{align*}\)

इसलिए मानक विचलन सूत्र के वर्गमूल पद के अंदर अंश \(\rm (x_i-\mu)^2=x_i^2\) के बराबर होगा।

अब हम निरीक्षण करते हैं कि \(\rm N=8\)।

इसलिए, मानक विचलन निम्नानुसार दिया गया है:

\(\begin{align*} \sigma &= \sqrt{\dfrac{\left(-\sqrt6\right)^2+\left(-\sqrt5\right)^2+\left(-\sqrt4\right)^2+\left(-1\right)^2+\left(1\right)^2+\left(\sqrt4\right)^2+\left(\sqrt5\right)^2+\left(\sqrt6\right)^2}{8}}\\ &= \sqrt{\dfrac{32}{8}}\\ &= \sqrt4\\ &= 2 \end{align*}\)

इसलिए, दिए गए अवलोकनों का मानक विचलन 2 है।

\(\bar x\) (माध्य) \( = \;\frac{{\sum fx}}{n}\)

माध्य

⇒ n = कुल आवृति

\(\sum fx =\) मध्य मान के गुणनफल का योग - अंतराल मान और उनकी संगत आवृत्तियाँ

10 – 12 का मध्य मान = (10 + 12)/2 = 11

12 – 14 का मध्य मान = (12 + 14 )/2 = 13

14 – 16 का मध्य मान = (14 + 16 )/2 = 15

16 – 18 का मध्य मान = (16 + 18 )/2 = 17

18 – 20 का मध्य मान = (18 + 20 )/2 = 19

⇒ माध्य \( = \;\frac{{11\; \times \;6\; + \;13\; \times \;8\; + \;15\; \times \;5\; + \;17\; \times \;7\; + \;19\; \times \;4}}{{6\; + \;8\; + \;5\; + \;7\; + \;4}} = \;\frac{{440}}{{30}}\)

⇒ माध्य = 14.67

∴ दिए गए डेटा के माध्य अंक 14.67 हैं

संकल्पना:

यदि प्रत्येक अवलोकन को एक संख्या से गुणा किया जाता है, तो माध्य को भी समान संख्या से गुणा किया जाता है। 

\(\text { Variance }=\sigma^{2}=\frac{\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{\text {} n}\)

यदि प्रत्येक अवलोकन को एक संख्या से गुणा किया जाता है, तो नयी भिन्नता = (संख्या)² × पुरानी भिन्नता

गणना:

यहाँ, माध्य (x̅) = 4 और भिन्नता (σ²) = 2

अवलोकन की संख्या (n) = 10

नया माध्य = 2 × (माध्य)

= 2 × 4

⇒ 8

नयी भिन्नता  = (संख्या)2 × पुरानी भिन्नता

⇒ 2² × 2

⇒ 8

अतः विकल्प (3) सही है। 

हम जानते हैं कि,

\(S.D = \sqrt {Variance} = \sqrt {81} = 9\)

और,

गुणांक भिन्नता \(= \frac{{S.D}}{{Mean}} \times 100\) 

\(30 = \frac{9}{{Mean}} \times 100\)

गणना:

दिए गए मान 6.5, 3.4, 8.6, 2.9

दी गई संख्या को आरोही क्रम में रखने पर, हमें मिलेगा

2.9, 3.4, 6.5, 8.6

वर्णन:

मानक विचलन की गणना करने में प्रयोग किया गया पद अवलोकनों के माध्य से विचलन होते हैं। 

चूँकि प्रत्येक संख्या/अवलोकन को 2 बढ़ा दिया जाता है, इसलिए माध्य से विचलन समान रहता है। 

इसलिए मानक विचलन समान रहता है। 

इसके अलावा माध्यक उसके अनुसार मध्य पद या दो माध्य पदों का औसत तब प्रदान करता है जब पदों की कुल संख्या विषम या सम होती है। 

इसलिए, इसे 2 बढ़ाना है। 

अतः नया माध्यक = 20 + 2 = 22 और मानक विचलन = 4

माध्य, \(\bar x = \frac{{2 + 4 + 6 + 8 + 10}}{5} = \frac{{30}}{5} = 6\) 

अतः प्रसरण​\(\ = \frac{1}{n}\sum {\left( {{x_i} - \bar x} \right)^2}\;\)

\(= \frac{1}{5}\left\{ {{{\left( {2 - 6} \right)}^2} + {{\left( {4 - 6} \right)}^2} + {{\left( {6 - 6} \right)}^2} + {{\left( {8 - 6} \right)}^2} + {{\left( {10 - 6} \right)}^2}} \right\}\)

\(= \frac{1}{5}\left\{ {16 + 4 + 0 + 4 + 16} \right\} = \frac{1}{5} \times 40 = 8\)

Z प्रत्येक आँकड़ें के लिए x के परिसर का मध्यबिंदु है। 

सभी F × Z का योग = 875 + 35P

उपरोक्त आँकड़ों का माध्य 25.2 है और सभी F का योग = 8 + 12 + 10 + P + 9 = 39 + P

माध्य \(= \frac{{875 + 35P}}{{39 + P}} = 25.2\)

⇒ 9.8 P = 107.8