एकरुपता आणि समानता MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Congruence and Similarity - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेल्याप्रमाणे:

ΔPQR मध्ये:

PQ = 5 सेमी, QR = 6 सेमी, PR = 7 सेमी

ΔXYZ मध्ये:

XY = 5 सेमी, YZ = 6 सेमी, XZ = 7 सेमी

वापरलेले सूत्र:

बाबाबा (बाजू-बाजू-बाजू) सर्वांगसमता नियम:

जर एका त्रिकोणाच्या तीन बाजू दुसऱ्या त्रिकोणाच्या तीन बाजूंइतक्या असतील, तर ते त्रिकोण सर्वांगसम असतात.

गणना:

बाजूंच्या लांबींची तुलना करून:

PQ = XY = 5 सेमी

QR = YZ = 6 सेमी

PR = XZ = 7 सेमी

सर्व संगत बाजू समान असल्याने, SSS सर्वांगसमता नियमानुसार:

⇒ ΔPQR ≅ ΔXYZ

म्हणूनच, योग्य विधान ΔPQR ≅ ΔXYZ आहे.

दिलेले आहे:

दोन सारख्या त्रिकोणांच्या दोन संगत बाजूंच्या लांबीचे गुणोत्तर 17 : 13 आहे.

वापरलेले सूत्र:

दोन सारख्या त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर म्हणजे त्यांच्या संगत बाजूंच्या गुणोत्तराचे वर्ग असतो.

गणना:

संगत बाजूंच्या लांबीचे गुणोत्तर 17/13 असू द्या.

त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर = (बाजूंच्या लांबीचे गुणोत्तर)²

⇒ क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर = (17/13)²

⇒ क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर = 17² / 13²

⇒ क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर = 289 / 169

या दोन त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर 289 : 169 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

त्रिकोण ABC आणि DEF मध्ये:

AB = EF

BC = DF

CA = DE

वापरलेले सूत्र:

जर एका त्रिकोणाच्या तीन बाजू दुसऱ्या त्रिकोणाच्या तीन संबंधित बाजूंइतक्या असतील, तर दोन्ही त्रिकोण **बाबाबा (बाजू-बाजू-बाजू) एकरूपता नियम** द्वारे एकरूप असतात.

गणना:

कारण AB = EF, BC = DF आणि CA = DE आहेत, म्हणून △ABC च्या तीन बाजू △DEF च्या तीन संगत बाजूंइतक्या आहेत.

आपण सर्वांगसमतेसाठी बाबाबा निकष थेट लागू करू शकतो.

याचा अर्थ असा आहे की दोन्ही त्रिकोणाच्या सर्व संगत बाजू समान आहेत, म्हणून ∆ABC ≅ ∆EFD.

म्हणून, योग्य उत्तर पहिला पर्याय आहे: ΔCBA ≅ ΔDFE.

∴ दोन्ही त्रिकोण सर्वांगसम आहेत.

दिलेले आहे:

त्रिकोण PQR मध्ये, बाजू PQ वरील बिंदू X आणि बाजू PR वरील बिंदू Y यांना जोडणारी रेषा बाजू QR ला समांतर आहे.

PY : YR गुणोत्तर = 3 : 5

PX ची लांबी = 7 सेमी

वापरलेले सूत्र:

एखाद्या त्रिकोणात, जर एका बाजूला समांतर असलेली रेषा इतर दोन बाजूंना छेदत असेल, तर ती त्या बाजूंना समप्रमाणात विभागते.

\(\frac{PX}{PQ} = \frac{PY}{PR}\)

गणना:

दिलेले आहे, PY : YR = 3 : 5, अशाप्रकारे \(\frac{PY}{PR} = \frac{3}{3+5}\)

⇒ \(\frac{PY}{PR} = \frac{3}{8}\)

प्रमाणता सूत्र वापरून:

⇒ \(\frac{PX}{PQ} = \frac{PY}{PR}\)

⇒ \(\frac{7}{PQ} = \frac{3}{8}\)

PQ सोडवण्यासाठी, तिरकस-गुणाकार करू:

⇒ 7 × 8 = 3 × PQ

⇒ 56 = 3 × PQ

⇒ PQ = 56/3

PQ = 18.66 सेमी

बाजू PQ ची लांबी 18.66 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

ΔABC चे क्षेत्रफळ = 63 सेमी²

ΔACD चे क्षेत्रफळ = 7 सेमी²

AC = 5 सेमी

वापरलेले सूत्र:

जर ΔABC ∼ ΔXYZ असेल तर

क्षेत्रफळ ( ΔABC) / क्षेत्रफळ(ΔXYZ) = (AB/XY)² = (BC/YZ)2 = (AC/XZ)2

गणना:

ΔABC आणि ΔACD मध्ये

∠BAC = ∠ADC = 90°

∠C = ∠C (दोन्ही त्रिकोणांमध्ये सामान्य)

तर, ΔABC ∼ Δ DAC (AA समानतेनुसार)

आता,

ar(ΔABC) / ar(ΔACD) = (BC/AC) ²

⇒ 63/7 = (BC/5)2

⇒ 9/1 = (BC/5)2

⇒ √(9/1) = BC/5

⇒ 3 = BC/5

⇒ BC = 5 × 3 = 15 सेमी

∴ BC ची लांबी 15 सेमी आहे

दिलेले आहे:

ΔPQR ∼ ΔDEF

ΔPQR आणि ΔDEF च्या बाजू 5 ∶ 6 या प्रमाणात आहेत.

क्षेत्रफळ(PQR) = 75 सेमी2

वापरलेली संकल्पना:

समान त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर हे संबंधित त्रिकोणांच्या बाजूंच्या गुणोत्तराच्या वर्गाच्या समान असते.

गणना:

ΔPQR ∼ ΔDEF

क्षेत्रफळ(PQR)/क्षेत्रफळ(DEF) = (ΔPQR ची बाजू/ΔDEF ची बाजू)2

⇒ 75 सेमी2 /क्षेत्रफळ(DEF) = (5/6)2

⇒ क्षेत्रफळ(DEF) = 108 सेमी2

∴ ΔDEF चे क्षेत्रफळ 108 सेमी2 आहे.  

दिलेले आहे:

 Δ ABC ∼ Δ QPR, \(\rm \frac{ar(Δ ABC)}{ar(Δ PQR)}=\frac{4}{9}\),

AC = 12 सेमी, AB = 18 सेमी आणि BC = 10 सेमी 

वापरलेली संकल्पना:

Δ ABC ∼ Δ QPR ⇒ संबंधित क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर = संबंधित बाजूंच्या वर्गाचे गुणोत्तर

ते म्हणजे, \(\rm \frac{ar(Δ ABC)}{ar(Δ PQR)}=\frac{AB^2}{QP^2}=\frac{BC^2}{PR^2}=\frac{AC^2}{QR^2}\)

गणना:

⇒ 4/9 = (10)²/PR²

⇒ PR² = 900/4

⇒ PR2 = 225

⇒ PR = 15 सेमी

Mistake Pointsया प्रश्नात, ΔABC हा ΔQPR सारखा आहे असे दिले आहे. ΔPQR म्हणून चुकीचे वाचू नका.

∵ AE + EC = AC

⇒ EC = 5 सेमी

कोन दुभाजक प्रमेयानुसार,

तर, AE/EC = AB/BC

⇒ 4/5 = AB/10

∴ AB = 8 सेमी

दिलेल्याप्रमाणे:

DE = 9 , EF = 12 सेमी, आणि DF = 7 सेमी

DO हा ∠EDF चा कोन दुभाजक आहे

वापरलेली संकल्पना:

त्रिकोणामध्ये, जर AD हा ∠BAC चा कोन दुभाजक असेल तर BC च्या विरुद्ध बाजूस D वर छेदतो.

कोन दुभाजक प्रमेयाद्वारे

AB/AC = BD/CD

गणना:

DE = 9 , EF = 12 सेमी, आणि DF = 7 सेमी

DO हा ∠EDF चा कोन दुभाजक आहे

कोन दुभाजक प्रमेयाद्वारे,

DE/DF = EO/OF

⇒ 9/7 = (EF - OF)/OF

⇒ 9/7 = (12 - OF)/OF

⇒ 9 x OF = 84 - 7 x OF

⇒ 16 x OF = 84

⇒ OF = 84/16

⇒ OF = 5.25 सेमी

∴ T हे OF चे मूल्य 5.25 सेमी आहे .

दिलेले आहे:-

ΔABC आणि ΔPQR हे समरूप आहेत.

AB = 8 सेमी

PQ = 12 सेमी

QR = 18 सेमी

RP = 24 सेमी

वापरलेली संकल्पना:-

जर दोन त्रिकोणांच्या संबंधित बाजूंचे गुणोत्तर आणि संबंधित कोनांची जोडी समरूप असेल, तर ते त्रिकोण समरूप असतात.

(1) AB/PQ = BC/QR = AC/PR

(2) कोन A = कोन P, कोन B = कोन Q, कोन C = कोन R

गणना:-

⇒ AB/PQ = BC/QR = AC/PR

⇒ 8/12 = BC/18 = AC/24

⇒ BC = (18 × 8) /12 = 12 सेमी

आणि,

⇒ AC = (12 × 24) /18 = 16 सेमी

आता,

⇒   त्रिकोण ABC ची परिमिती = AB +BC + AC = 8 + 12 + 16

⇒ त्रिकोण ABC ची परिमिती = 36 सेमी

जर D हा BC चा मध्यबिंदू असेल आणि E हा AB चा मध्यबिंदू असेल तर

DE ∥ AC

समजा BC = 2 एकक आणि BD = 1 एकक

जसे आपणास माहित आहे,

ΔBDE चे क्षेत्रफळ/ΔBCA चे क्षेत्रफळ = (BD/BC)²

⇒ ΔBDE चे क्षेत्रफळ/44 = (1/2)²

∴ ΔBDE चे क्षेत्रफळ= (1/4) × 44 = 11 चौरस सेमी

दिलेले:

Δ ABC मध्ये, ∠BAC = 90°, BC वरील बिंदू A पासून लंब AD काढला जातो.

वापरलेली संकल्पना:

समरूप त्रिकोण

गणना:

AD⊥BC पासून, ΔBAC ~ ΔBDA

तर, आपल्याला माहित आहे की,

BC/AB = AB/BD

⇒ BC x BD = AB²

⇒ BC : AB :: AB : BD

∴ AB हा BD आणि BC मधील सरासरी समानुपात आहे.

जस आपल्याला माहित आहे,

AD हा मध्य आहे, म्हणून AD त्रिकोणाला दोन समान भागांमध्ये विभाजित करतो

ar ΔADB = ar ΔADC

ΔABD मध्ये

⇒ ar ΔBDG/ar ΔBGA = DG/AG

⇒ ar ΔBDG/ar ΔBGA = 1/2

ΔBDG चे क्षेत्रफळ = 1 एकक समजा

तर, ΔBGA चे क्षेत्रफळ = 2 एकक असेल

तर, ΔBAD = ar ΔBDG + ar ΔBGA = 1 + 2 = 3 युनिटचे क्षेत्रफळ

ΔABC चे क्षेत्रफळ = 2 x ar ΔBAD = 2 x 3 = 6 एकक

∴ ar ΔBDG : ar ΔABC = 1 : 6

दोन समान त्रिकोणांसाठी, संबंधित बाजू समान प्रमाणात असतात आणि त्रिकोणांच्या परिमितीचे गुणोत्तर हे बाजूंच्या गुणोत्तरासारखे असते.

तसेच, समान त्रिकोणांच्या क्षेत्रांचे गुणोत्तर त्यांच्या संबंधित बाजूंच्या गुणोत्तराच्या वर्गाइतके असते.

⇒ समान त्रिकोणांच्या क्षेत्रांचे गुणोत्तर = त्रिकोणांच्या परिमितीच्या गुणोत्तराचा वर्ग

⇒ ΔABC चे क्षेत्रफळ/ΔPQR चे क्षेत्रफळ = (ΔABC ची परिमिती/ΔPQR ची परिमिती)²

⇒ 448/ΔPQR चे क्षेत्रफळ = (24/21)²

⇒ ΔPQR चे क्षेत्रफळ = 49/64 × 448

दिलेल्याप्रमाणे 

AD = 8 सेमी; DB = 6 सेमी; DE = 4 सेमी

बाजूची लांबी AB = AD + DB = 8 + 6 = 14 सेमी

गुणधर्म:

कोणत्याही बाजूला समांतर काढलेली रेषा, बाकीच्या दोन बाजूंना एकाच प्रमाणात विभागते” आपल्याला मिळते, 

⇒ AD/DE = AB/BC

⇒ 8/4 = 14/BC

⇒ BC = 14 × 4/ 8