Matrices MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Matrices - मोफत PDF डाउनलोड करा

\(A + B = 2B' \ \ ..(1)\)

दोन्ही बाजूंचा परिवर्त घेतल्यास, आपल्याकडे \(A' + B' = 2B \ \ ..(2)\)

\(3A + 2B = I_3 \ \ ..(3)\)

दोन्ही बाजूंचा परिवर्त घेतल्यास, आपल्याकडे \(3A' + 2B' = I_3 \ \ ..(4)\)

समीकरण (2) ला (4) मध्ये ठेवल्यास, आपल्याकडे

\(3(2B - B') + 2B' = I_3\) म्हणजेच \(6B - B' = I_3\)

\(B' = \cfrac{A + B}{2}\) लिहिल्यास, आपल्याकडे

\(6B - \cfrac{A + B}{2} = I_3\)

\(\therefore 12B - A - B = 2I_3\) म्हणजेच \(11B - A = 2I_3\)

\(\Rightarrow 11B - A = 6A + 4B\)

\(\therefore 7B = 7A\)

\(\Rightarrow A = B\)

हे समीकरण (3) मध्ये ठेवू.

\(\Rightarrow I_3 = 3A + 2A = 5A = 5B\)

\(\Rightarrow 10A + 5B = 10A + 5A = 15A = 3I_3\)

म्हणून, पर्याय \(C\) योग्य आहे.

संकल्पना:

सारणीच्या गुणधर्माद्वारे,

A adj A= |A| I      ...(1)

गणना

दिलेले आहे:

जर A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {5a}&{ - b}\\ 3&2 \end{array}} \right]\)आणि A adj A = AAT

समीकरण 1 वापरून,

⇒ |A| I = AAT 

⇒ (10a + 3b)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)=\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {5a}&{ - b}\\ 3&2 \end{array}} \right]\)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {5a}&3\\ { - b}&2 \end{array}} \right]\)

वरील समीकरण सोडवल्यानंतर आणि परिणामी समान सारणीच्या संबंधित घटकांची तुलना केल्यावर,

⇒ 25a² + b² = 10a + 3b & 15a - 2b = 0 & 10a + 3b = 13 

ही समीकरणे सोडवल्यावर,

⇒ 10a + \(\frac{{3.15a}}{2}\) = 13 

⇒ 65a = 2 × 13 

⇒ a = \(\frac{2}{5}\) 

⇒ 5a = 2

⇒ 2b = 6 

⇒ b = 3

∴ 5a + b = 5

म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे.

संकल्पना:

सारणीचे गुणधर्म वापरा,

(AB)T = BT AT

(AT)^T = A

गणना

दिलेले आहे: AAT = ATA आणि B = A-1 AT

⇒ BBT = B(A-1 AT)T = B(AT)T (A-1)T = BA(A-1)T 

⇒ BBT = A-1 AT A(A-1)T

⇒ BBT = A-1 AAT(A-1)T 

⇒ BBT = IAT (A-1)T

⇒ BBT = AT(A-1)T 

⇒ BBT = AT(AT)-1

⇒ BBT = I

म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 4 आहे 

संकल्पना:

• समान सारणी ही अशी सारणी आहेत ज्यात संबंधित घटक समान आहेत

गणना

दिलेले आहे:

A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} α &0\\ 1&1 \end{array}} \right]\)आणि B =\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 5&1 \end{array}} \right]\)आणि A2 = B

⇒ A2 = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} α &0\\ 1&1 \end{array}} \right]\)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} α &0\\ 1&1 \end{array}} \right]\)=\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{α ^2}}&0\\ {α + 1}&1 \end{array}} \right]\)

∴ A2 = B

⇒ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{α ^2}}&0\\ {α + 1}&1 \end{array}} \right]\)= \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 5&1 \end{array}} \right]\)

वरील दोन सारण्या समान असल्याने,

⇒ α2 = 1 and α + 1 = 5

• हे एकाच वेळी शक्य नाही म्हणून α ची वास्तविक मूल्ये नाहीत
• तर, योग्य उत्तर पर्याय 4 आहे.

दिलेले आहे:

α, β ही 

1 + x + x2 = 0 ची दोन मुळे आहेत

संकल्पना:

पहिल्या सारणीच्या स्तंभांची संख्या दुसऱ्या सारणीच्या पंक्तींच्या संख्येइतकी असेल तेव्हाच दोन सारण्यांचा गुणाकार केला जाऊ शकतो.

समीकरणाची मुळे 

1 + x + x2 = 0 हे ω आणि ω² आहेत.

वापरलेले सूत्र :

• 1 +  ω + ω² = 0 
• ω + ω2 = -1
• ω³ = 1

जेथे ω एकतेची घनमुळे आहेत.

गणना:

आपल्याकडे आहे,

1 + x + x2 = 0

आपल्याला माहीत आहे की वरील समीकरणाचे मूळ ω आणि ω² हे आहे

⇒ α = ω आणि β = ω²

म्हणून आवश्यक मूल्य

\( \begin{bmatrix} 1 & \beta \\\ \alpha & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\\ 1 & \beta \end{bmatrix}\)

\( \begin{bmatrix} 1 & ω^2 \\\ ω & ω \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ω & ω^2 \\\ 1 & ω^2\end{bmatrix}\)

⇒ \( \begin{bmatrix} ω+ω^2 & ω^2+ω^4 \\\ ω+ω^2 & 2ω^3 \end{bmatrix} \)

⇒  \( \begin{bmatrix} ω+ω^2 & ω^2(-ω) \\\ ω+ω^2 & 2ω^3 \end{bmatrix} \)   (∵ 1 + ω² = -ω)

⇒ \( \begin{bmatrix} -1 & -1 \\\ -1 & 2 \end{bmatrix} \)

∴ आवश्यक सारणी गुणाकार \( \begin{bmatrix} -1 & -1 \\\ -1 & 2 \end{bmatrix} \)आहे.

संकल्पना:

• m × n सारणीचा n × p सारणीने गुणाकार करण्यासाठी, n समान असणे आवश्यक आहे आणि परिणाम m × p सारणी आहे.
• A हा काेटी m × n ची सारणी असेल तर परिवर्त सारणीची काेटी n × m असेल

गणना:

दिलेले आहे:

A ची काेटी 4 × 3 आहे, B ची काेटी 4 × 5 आहे आणि C ची काेटी 7 × 3 आहे

मूळ सारणीच्या पंक्ती आणि स्तंभांची अदलाबदल करून प्राप्त सारणीचे परिवर्त म‍िळते.

तर, AT ची काेटी 3 × 4 आहे आणि CT ची काेटी 3 × 7 आहे

आता,

A^TB = {3 × 4} {4 × 5} = 3 × 5

⇒ A^TB ची काेटी 3 × 5 आहे

(A^TB) ^T ची काेटी 3 × 5 आहे

आता (A^TB) ^T C ^T ची काेटी = {5 × 3} {3 × 7} = 5 × 7

संकल्पना:

सारण्यांचा गुणाकार:

• पहिल्या सारणीच्या स्तंभांची संख्या दुसर्‍या सारणीच्या पंक्तींच्या संख्येइतकी असणे आवश्यक आहे.
• उत्तरामध्ये पहिल्या सारणीच्या पंक्तींची संख्या आणि दुसऱ्या सारणीच्या स्तंभांची संख्या समान असेल.
• m × n सारणीचा n × p सारणीने गुणाकार करण्यासाठी, n समान असणे आवश्यक आहे आणि उत्तर m × p सारणी आहे.

गणना:

विधान 1 वरून∶

AB = A

या विधानातून आपणास काहीही सापडत नाही.

विधान 2 वरून∶

या विधानातून आपणास काहीही सापडत नाही.

विधान 1 आणि 2 एकत्र केल्यावर∶

∴ आपल्याला दोन्ही विधानांमधून n ची किंमत मिळू शकत नाही.

गणना:

दिलेले आहे: \({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\)

\({{\rm{A}}^2} = {\rm{AA}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\)

\(\Rightarrow {{\rm{A}}^2} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 + 1}&{0 + 0}\\ {0 + 0}&{1 + 0} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

आता,

\(\Rightarrow {{\rm{A}}^4} = {{\rm{A}}^2}{{\rm{A}}^2} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

म्हणून पर्याय 1 हे योग्य उत्तर आहे.

संकल्पना:

लंबकोनी सारणी: जेव्हा सारणीचे गुणाकार त्याच्या परावर्तनासाठी सारणी ओळख देते.

समजा A हा वास्तविक घटकांसह आणि n x n काेटीचा चौरस सारणी आहे आणि AT किंवा A’ हे A चे परावर्त आहे.

AA^T = I

गणना:

समजा A हा वास्तविक घटकांसह आणि n x n काेटीचा चौरस सारणी आहे आणि AT किंवा A’ हे A चे परावर्त आहे.

मग व्याख्येनुसार;

AA^T = I

A ^{- 1} ने पूर्व गुणाकार

A ^{- 1} AA^T = A ^{- 1} I

IA^T = A ^{- 1}

A^T = A ^{- 1} or A’ = A ^{- 1}
तर A म्हणजे लंबकोनी सारणी.

संकल्पना:

• प्राथमिक सारणी: प्राथमिक सारणी ही सारणी आहे जी अविकारक सारणीपासून एकल प्राथमिक पंक्तीच्या क्रियेद्वारे वेगळे असते.
• प्राथमिक सारणीमध्ये प्रत्येक व‍िकर्ण घटक 1 असतो.

गणना:

चला पर्याय b तपासू,

समजा E = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\)

R₁ → R₁ – 5R₂ लागू करा

\( \Rightarrow {\rm{E\;}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right] = \;{{\rm{I}}_{3{\rm{\;}} \times 3}}\)

एका प्राथमिक क्रियेद्वारे पर्याय B हा अविकारक सारणीमध्ये रूपांतरित झालेला आहे असे आपण पाहू शकतो.

म्हणून पर्याय B योग्य आहे.

शॉर्टकट पद्धत:

आपल्याला माहित आहे की प्राथमिक सारणीमध्ये प्रत्येक व‍िकर्ण घटक 1 असतो.

फक्त B मध्ये व‍िकर्ण घटक 1 आहे. (व्याख्यानुसार)

तर, पर्याय B योग्य आहे.

संकल्पना:

सममित सारणी:

कोणतीही वास्तविक चौरस सारणी A = (aij) ही सममित सारणी आहे असे म्हटले जाते जर ती केवळ aij = aji आहे, ∀ i आणि j किंवा दुसर्‍या शब्दात आपण असे म्हणू शकतो की A ही वास्तविक चौरस सारणी आहे जसे की A = A^t ​​तर A ही सममित सारणी असेल.

वितल सममित सारणी:

कोणतीही वास्तविक चौरस सारणी A = (aij) ही वितल सममित सारणी असे म्हटले जाते जर ती केवळ aij = - aji आहे, ∀ i आणि j किंवा दुसर्‍या शब्दात आपण असे म्हणू शकतो की A हा वास्तविक चौरस सारणी आहे जसे की A = -At ​​तर A ही वितल सममित सारणी असेल

परिवर्त आव्यूहाचे गुणधर्म:

• जर A ही m x n कोटिकेची सारणी असेल, तर (At)t = A
• जर k ∈ R हे अदिश असेल आणि A ही m x n कोटिकेची सारणी असेल, तर (k × A)t = k × At
• जर A आणि B ही m x n समान कोटिकेची सारणी असेल, तर (A ± B)t = At ± Bt.

गणना:

दिलेल्याप्रमाणे: A ही वितल सममित सारणी आहे

आपणास माहित आहे की, जर A ही वितल सममित सारणी असेल तर A = - A^t

⇒ (A2)t = (At)2

∵ A ही वितल सममित सारणी आहे

⇒ (A2)t = (- A)2 = A2

म्हणून, A² ही सममित सारणी आहे.

म्हणून, पर्याय D हा योग्य उत्तर आहे.

संकल्पना:

विचार करा की सारणी A हे विषम सममितीय आहे, तर AT = −A  
आणि A हे सममितीय आहे, तर AT = A

गणना:

कारण, A हे विषम सममितीय आहे.

A^T = −A
कारण, A हे सममितीय आहे.
A^T = A
⇒ −A = A
⇒2A = O
⇒A = O

म्हणून, A एक शून्य सारणी आहे.

म्हणून, पर्याय (4) योग्य आहे.

संकल्पना:

समजा A आणि B या m × n अश्या समान क्रम असलेले कोणतेही दोन आव्यूह  आहेत, तर त्यांची बेरीज A + B = [a_ij + b_ij]_{m × n} जेथे A = [a_ij]_{m × n} आणि B = [b_ij]_{m × n}

गणना:

विधान 1 वरून:

\(A\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} n&1\\ 0&-1 \end{array}} \right]\)

आपण या विधानासह काहीही शोधू शकत नाही.

विधान 2 वरून:

\(B\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&-1\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

या विधानासह आपणास काहीही सापडत नाही.

विधान 3 वरून:

A + B = O, जेथे O हा 2 × 2 चा एक शून्य आव्यूह आहे.

या विधानासह आपल्याला काहीही सापडत नाही.

ही सर्व विधाने एकत्र केल्यानंतर:

∵ O हा शून्य आव्यूह आहे.

\(∴ O\; = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right]\)

A + B = O

\(\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} n&1\\ 0&-1 \end{array}} \right] +\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&-1\\ 0&1 \end{array}} \right]=\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right]\)

\(⇒ \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} n+1&1-1\\ 0+0&-1+1 \end{array}} \right] =\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right]\)

\(⇒ \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} n+1&0\\ 0&0 \end{array}} \right] =\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0 \end{array}} \right]\)

⇒ n + 1 = 0

∴ n = -1

संकल्पना:

m पंक्ती आणि n स्तंभांच्या स्वरूपात mn संख्यांचे (संमिश्र किंवा वास्तविक) आयताकृती प्रतिनिधित्वास m × n काेट‍ीची सारणी असे म्हणतात.

कोणतीही m × n सारणी अशी दर्शविली जाते,

\(A = \;{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& ⋅s &{{a_{1n}}}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{a_{m1}}}& ⋅s &{{a_{mn}}} \end{array}} \right]_{m × \;n}}\)

गणना:

A हा काेट‍ी m × n ची सारणी आहे असे समजा की त्यात p हे घटक आहे जेथे p हा अविभाज्य आहे.

⇒ m ⋅ n = p

आपल्याला माहीत आहे की, अविभाज्य संख्येचे अविभाज्य विभाजन p = p × 1 आहे.

तर, सारणी A चे संभाव्य काेट‍ी आहेत: (p × 1), (1 × p)

म्हणून, त्याच्या संभाव्य काेट‍ींची संख्या 2 आहे.

संकल्पना

A हा क्रम n ची कोणतीही सारणी असेल आणि तिची व्यस्त सारणी अस्तित्वात असेल तर आपण खालीलप्रमाणे लिहू शकतो

AA^-1 = A^-1A = I, जेथे I = n क्रमाची अविकारक सारणी

गणना

दिलेल्याप्रमाणे: A क्रम 3 ची अविकारक सारणी असेल म्हणजे, A = I

दोन्ही बाजूंना A^-1 द्वारे गुणाकार केल्यास, आपणास खालीलप्रमाणे मिळते,

⇒ AA^-1 = IA^-1

⇒ I = A^-1 [∵ सारणीला अविकारक सारणीने गुणाकार केल्यास सारणी मिळते, म्हणजे,  AI = A]