Conditional Probability MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Conditional Probability - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

இங்கு பயன்படுத்தப்படும் தர்க்கம்:

இரண்டு பகடைகளின் கூட்டுத்தொகை 10 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. குறைந்தது ஒரு முறையாவது 5 என்ற எண் தோன்றியதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிக்க, பின்வரும் படிகளைப் பின்பற்றவும்:

1. கூட்டுத்தொகை 10 ஆக இருக்கும் மொத்த விளைவுகளைக் கண்டறியவும்: $(x, y)$ (x, y) என்பது
   x + y = 10x + y = 10 எனில்:

   சாத்தியமான விளைவுகள்:

   எனவே, கூட்டுத்தொகை 10 ஆக இருக்கும் மொத்த விளைவுகள் 3.

   • (4, 6)
   • (5, 5)
   • (6, 4)

2. குறைந்தது ஒரு பகடையில் 5 என்ற எண் தோன்றும் சாதகமான விளைவுகளைக் கண்டறியவும்: குறைந்தது ஒரு பகடையில் 5 என்ற எண் தோன்றும் ஜோடிகள்:

   எனவே, சாதகமான விளைவுகள் 1.

   • (5, 5)

3. நிகழ்தகவைக் கணக்கிடவும்: கூட்டுத்தொகை 10 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. குறைந்தது ஒரு பகடையில் 5 என்ற எண் தோன்றியதற்கான நிகழ்தகவு $P$ கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

• P = சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை / மொத்த விளைவுகள் = 1 / 3

• எனவே, கூட்டுத்தொகை 10 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. குறைந்தது ஒரு முறையாவது 5 என்ற எண் தோன்றியதற்கான நிகழ்தகவு 1/3.

கருத்து:

பேய்ஸ் தேற்றம்:

\({\rm{P}}\left( {{\rm{A|B}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{B}}|{\rm{A}}){\rm{\;\;P}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}\)

A மற்றும் B ஆகியவை நிகழ்வுகள் மற்றும் P(B) ஆகும்.

P(A|B) என்பது ஒரு நிபந்தனை நிகழ்தகவு: A நிகழ்வின் சாத்தியக்கூறு B உண்மையாக இருக்கும்.

P(B|A) என்பது ஒரு நிபந்தனை நிகழ்தகவு: A உண்மையாக இருக்கும் போது B நிகழ்வின் சாத்தியக்கூறு.

P(A) மற்றும் P(B) முறையே A மற்றும் B ஐ கவனிக்கும் நிகழ்தகவுகள்.

கணக்கீடு:

பின்வருமாறு

A: A என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.

B: B என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.

C: C என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.

D: குறைபாடுள்ள பொம்மை.

கொடுக்கப்பட்டவை:

P(A) = 0.30; P(B) = 0.40; P(C) = 0.30

A = P(D|A) = 0.02 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு

B = P(D|B) = 0.03 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு

C = P(D|C) = 0.01 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு

ஒரு பொம்மை தேர்வு செய்யப்பட்டு, குறைபாடுள்ளதாகக் கண்டறியப்பட்டு, B = P(B|D) ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட நிகழ்தகவை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

பேய்ஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி,

\({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\)

P(D) = குறைபாடுள்ள பொம்மை நிகழ்தகவு

= P(B)P(D|B) + P(A)P(D|A) + P(C)P(D|C)

= 0.40 × 0.03 + 0.30 × 0.02 + 0.30 × 0.01

= (12 + 6 + 3) × 10-3

= 21 × 10-3

இப்போது, \({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\) 

\(= \frac{{0.03\; \times \;0.40}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)

\(= \frac{{12\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)

= 4/7

கருத்து :

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில், ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு அளவீடு, மற்றொரு நிகழ்வு ஏற்கனவே நிகழ்ந்திருந்தால், அது நிபந்தனை நிகழ்தகவு என குறிப்பிடப்படுகிறது.

நிபந்தனை நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவதற்கு, முந்தைய நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மற்றும் அடுத்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பெருக்கப்படுகிறது.

நிபந்தனை நிகழ்தகவு மூலம் வழங்கப்படுகிறது

\(P\left( {{E_1}/{E_2}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_2}} \right)}}\)

\(P\left( {{E_2}/{E_1}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_1}} \right)}}\)

E1 மற்றும் E2 ஆகியவை நிகழ்வுகளாகும்.

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டது:

கலசத்தில் 5 சிவப்பு பந்துகள், 5 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன.

ஒரு பந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்படுகிறது.

நிலை (i): முதல் பந்து சிவப்பு பந்து

இரண்டாவது டிராவில் சிவப்பு பந்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு

\({P_1} = \frac{5}{{10}} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{9}\)

நிலை (ii): முதல் பந்து கருப்பு பந்து

இரண்டாவது டிராவில் சிவப்பு பந்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு

\({P_2} = \frac{5}{{10}} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{{18}}\)

தேவையான நிகழ்தகவு (P) \(= {P_1} + {P_2} = \frac{2}{9} + \frac{5}{{18}} = \frac{1}{2}\)

கருத்து :

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில், ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு அளவீடு, மற்றொரு நிகழ்வு ஏற்கனவே நிகழ்ந்திருந்தால், அது நிபந்தனை நிகழ்தகவு என குறிப்பிடப்படுகிறது.

நிபந்தனை நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவதற்கு, முந்தைய நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மற்றும் அடுத்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பெருக்கப்படுகிறது.

நிபந்தனை நிகழ்தகவு மூலம் வழங்கப்படுகிறது

\(P\left( {{E_1}/{E_2}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_2}} \right)}}\)

\(P\left( {{E_2}/{E_1}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_1}} \right)}}\)

E1 மற்றும் E2 ஆகியவை நிகழ்வுகளாகும்.

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டது:

கலசத்தில் 5 சிவப்பு பந்துகள், 5 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன.

ஒரு பந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்படுகிறது.

நிலை (i): முதல் பந்து சிவப்பு பந்து

இரண்டாவது டிராவில் சிவப்பு பந்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு

\({P_1} = \frac{5}{{10}} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{9}\)

நிலை (ii): முதல் பந்து கருப்பு பந்து

இரண்டாவது டிராவில் சிவப்பு பந்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு

\({P_2} = \frac{5}{{10}} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{{18}}\)

தேவையான நிகழ்தகவு (P) \(= {P_1} + {P_2} = \frac{2}{9} + \frac{5}{{18}} = \frac{1}{2}\)

கருத்து:

பேய்ஸ் தேற்றம்:

\({\rm{P}}\left( {{\rm{A|B}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{B}}|{\rm{A}}){\rm{\;\;P}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}\)

A மற்றும் B ஆகியவை நிகழ்வுகள் மற்றும் P(B) ஆகும்.

P(A|B) என்பது ஒரு நிபந்தனை நிகழ்தகவு: A நிகழ்வின் சாத்தியக்கூறு B உண்மையாக இருக்கும்.

P(B|A) என்பது ஒரு நிபந்தனை நிகழ்தகவு: A உண்மையாக இருக்கும் போது B நிகழ்வின் சாத்தியக்கூறு.

P(A) மற்றும் P(B) முறையே A மற்றும் B ஐ கவனிக்கும் நிகழ்தகவுகள்.

கணக்கீடு:

பின்வருமாறு

A: A என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.

B: B என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.

C: C என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.

D: குறைபாடுள்ள பொம்மை.

கொடுக்கப்பட்டவை:

P(A) = 0.30; P(B) = 0.40; P(C) = 0.30

A = P(D|A) = 0.02 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு

B = P(D|B) = 0.03 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு

C = P(D|C) = 0.01 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு

ஒரு பொம்மை தேர்வு செய்யப்பட்டு, குறைபாடுள்ளதாகக் கண்டறியப்பட்டு, B = P(B|D) ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட நிகழ்தகவை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

பேய்ஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி,

\({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\)

P(D) = குறைபாடுள்ள பொம்மை நிகழ்தகவு

= P(B)P(D|B) + P(A)P(D|A) + P(C)P(D|C)

= 0.40 × 0.03 + 0.30 × 0.02 + 0.30 × 0.01

= (12 + 6 + 3) × 10-3

= 21 × 10-3

இப்போது, \({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\) 

\(= \frac{{0.03\; \times \;0.40}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)

\(= \frac{{12\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)

= 4/7

கருத்து :

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில், ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு அளவீடு, மற்றொரு நிகழ்வு ஏற்கனவே நிகழ்ந்திருந்தால், அது நிபந்தனை நிகழ்தகவு என குறிப்பிடப்படுகிறது.

நிபந்தனை நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவதற்கு, முந்தைய நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மற்றும் அடுத்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பெருக்கப்படுகிறது.

நிபந்தனை நிகழ்தகவு மூலம் வழங்கப்படுகிறது

\(P\left( {{E_1}/{E_2}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_2}} \right)}}\)

\(P\left( {{E_2}/{E_1}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_1}} \right)}}\)

E1 மற்றும் E2 ஆகியவை நிகழ்வுகளாகும்.

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டது:

கலசத்தில் 5 சிவப்பு பந்துகள், 5 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன.

ஒரு பந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்படுகிறது.

நிலை (i): முதல் பந்து சிவப்பு பந்து

இரண்டாவது டிராவில் சிவப்பு பந்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு

\({P_1} = \frac{5}{{10}} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{9}\)

நிலை (ii): முதல் பந்து கருப்பு பந்து

இரண்டாவது டிராவில் சிவப்பு பந்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு

\({P_2} = \frac{5}{{10}} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{{18}}\)

தேவையான நிகழ்தகவு (P) \(= {P_1} + {P_2} = \frac{2}{9} + \frac{5}{{18}} = \frac{1}{2}\)

கருத்து:

பேய்ஸ் தேற்றம்:

\({\rm{P}}\left( {{\rm{A|B}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{B}}|{\rm{A}}){\rm{\;\;P}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}\)

A மற்றும் B ஆகியவை நிகழ்வுகள் மற்றும் P(B) ஆகும்.

P(A|B) என்பது ஒரு நிபந்தனை நிகழ்தகவு: A நிகழ்வின் சாத்தியக்கூறு B உண்மையாக இருக்கும்.

P(B|A) என்பது ஒரு நிபந்தனை நிகழ்தகவு: A உண்மையாக இருக்கும் போது B நிகழ்வின் சாத்தியக்கூறு.

P(A) மற்றும் P(B) முறையே A மற்றும் B ஐ கவனிக்கும் நிகழ்தகவுகள்.

கணக்கீடு:

பின்வருமாறு

A: A என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.

B: B என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.

C: C என்ற இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்பட்ட பொம்மை.

D: குறைபாடுள்ள பொம்மை.

கொடுக்கப்பட்டவை:

P(A) = 0.30; P(B) = 0.40; P(C) = 0.30

A = P(D|A) = 0.02 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு

B = P(D|B) = 0.03 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு

C = P(D|C) = 0.01 ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட குறைபாடுள்ள பொம்மைகளின் நிகழ்தகவு

ஒரு பொம்மை தேர்வு செய்யப்பட்டு, குறைபாடுள்ளதாகக் கண்டறியப்பட்டு, B = P(B|D) ஆல் தயாரிக்கப்பட்ட நிகழ்தகவை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

பேய்ஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி,

\({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\)

P(D) = குறைபாடுள்ள பொம்மை நிகழ்தகவு

= P(B)P(D|B) + P(A)P(D|A) + P(C)P(D|C)

= 0.40 × 0.03 + 0.30 × 0.02 + 0.30 × 0.01

= (12 + 6 + 3) × 10-3

= 21 × 10-3

இப்போது, \({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\) 

\(= \frac{{0.03\; \times \;0.40}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)

\(= \frac{{12\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)

= 4/7

இங்கு பயன்படுத்தப்படும் தர்க்கம்:

இரண்டு பகடைகளின் கூட்டுத்தொகை 10 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. குறைந்தது ஒரு முறையாவது 5 என்ற எண் தோன்றியதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிக்க, பின்வரும் படிகளைப் பின்பற்றவும்:

1. கூட்டுத்தொகை 10 ஆக இருக்கும் மொத்த விளைவுகளைக் கண்டறியவும்: $(x, y)$ (x, y) என்பது
   x + y = 10x + y = 10 எனில்:

   சாத்தியமான விளைவுகள்:

   எனவே, கூட்டுத்தொகை 10 ஆக இருக்கும் மொத்த விளைவுகள் 3.

   • (4, 6)
   • (5, 5)
   • (6, 4)

2. குறைந்தது ஒரு பகடையில் 5 என்ற எண் தோன்றும் சாதகமான விளைவுகளைக் கண்டறியவும்: குறைந்தது ஒரு பகடையில் 5 என்ற எண் தோன்றும் ஜோடிகள்:

   எனவே, சாதகமான விளைவுகள் 1.

   • (5, 5)

3. நிகழ்தகவைக் கணக்கிடவும்: கூட்டுத்தொகை 10 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. குறைந்தது ஒரு பகடையில் 5 என்ற எண் தோன்றியதற்கான நிகழ்தகவு $P$ கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

• P = சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை / மொத்த விளைவுகள் = 1 / 3

• எனவே, கூட்டுத்தொகை 10 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. குறைந்தது ஒரு முறையாவது 5 என்ற எண் தோன்றியதற்கான நிகழ்தகவு 1/3.