Motion in a Straight Line MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Motion in a Straight Line - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన:

\(\vec{r} = 3t^2 \hat{i} + 4t^2 \hat{j} + 7\hat{k}\)

\(t=0\) వద్ద, \(\vec{r}_1 = 7\hat{k}\)

\(t=10\) సెకన్ల వద్ద, \(\vec{r}_2 = 300\hat{i} + 400\hat{j} + 7\hat{k}\)

\(\vec{\Delta r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = 300\hat{i} + 400\hat{j}\)

\(|\vec{\Delta r}| = |\vec{r}_2 - \vec{r}_1| = \sqrt{(300)^2 + (400)^2} = 500\ m\)

గణన:

చలన సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి,

v= u+ at

ఇక్కడ,

u = తొలి వేగం = -100 m/s

a = త్వరణం = 10

t = 10s వద్ద వేగం-సమయం

|v₁₀ |= (100 + 10 x 10) m/s

v10 = -200 m/s మరియు

u = -100 m/s

10 సెకన్ల నుండి 20 సెకన్ల వరకు వేగం సున్నాగా ఉంటుంది

⇒ t = 0 s నుండి 10 s వరకు వేగం పరిమాణంలో రేఖీయంగా పెరుగుతుంది.

⇒ ఎంపిక A లో ఇచ్చిన గ్రాఫ్ సరిగ్గా సరిపోతుంది.

∴ సరైన ఎంపిక 1

సిద్ధాంతం:

స్థాన ప్రమేయం x(t)):

కాలం యొక్క ప్రమేయంగా కణం యొక్క స్థానాన్ని x(t) గా ఇవ్వబడుతుంది.

వేగం v(t):

కణం యొక్క వేగం అనేది కాలానికి సంబంధించి స్థానంలో మార్పు రేటు, ఇది కాలానికి సంబంధించి స్థాన ప్రమేయం x(t) యొక్క మొదటి ఉత్పన్నం
x(t) కాలానికి సంబంధించి v(t)= dx(t)/dt​

త్వరణం a(t):

త్వరణం అనేది కాలానికి సంబంధించి వేగంలో మార్పు రేటు, ఇది కాలానికి సంబంధించి వేగ ప్రమేయం
v(t) యొక్క మొదటి ఉత్పన్నం
a(t)= dv(t)/dt​

గణన:

x = t³ - 6t² + 20t + 15

\(\frac{d x}{d t}=v=3 t^2-12 t+20\)

\(\frac{d v}{d t}=a=6 t-12\)

a = 0 అయినప్పుడు

6t - 12 = 0; t = 2 సెకన్లు

t = 2 సెకన్ల వద్ద

v = 3(2)² - 12(2) + 20

v = 8 m/s

∴ సరైన ఎంపిక 2)

వివరణ:

ప్రారంభంలో, వస్తువుకు శూన్య వేగం మరియు శూన్య వాలు ఉంటుంది.

కాబట్టి, ప్రారంభంలో త్వరణం శూన్యం అవుతుంది.

అనంతరం, v-t వక్రరేఖ యొక్క వాలు స్థిరంగా మరియు ధనాత్మకంగా ఉంటుంది.

కొంత సమయం తరువాత, వేగం స్థిరంగా మరియు త్వరణం శూన్యం అవుతుంది.

అనంతరం, v-t వక్రరేఖ యొక్క వాలు స్థిరంగా మరియు ఋణాత్మకంగా ఉంటుంది.

కాబట్టి సరైన ఎంపిక 3)

• చలన సమీకరణం: కదిలే వస్తువు యొక్క అంతిమ వేగం, స్థానభ్రంశం, సమయం మొదలైనవాటిని కనుగొనడానికి ఉపయోగించే గణిత సమీకరణాలను దానిపై పనిచేసే బలాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోకుండా చలన సమీకరణాలు అని అంటారు.
• ఈ సమీకరణాలు వస్తువు యొక్క త్వరణం స్థిరంగా ఉన్నప్పుడు మరియు అవి సరళరేఖపై కదులుతున్నప్పుడు మాత్రమే చెల్లుబాటు అవుతాయి.
• చలనం యొక్క మూడు సమీకరణాలు ఉన్నాయి:

  V = u + at

  V2 = u2 + 2 a S

  \({\text{S}} = {\text{ut}} + \frac{1}{2}{\text{a}}{{\text{t}}^2}\)

  ఇక్కడ, V = తుది వేగం, u = తొలి వేగం, s =

  కదలికలో వస్తువు ప్రయాణించే దూరం, a =

  కదలికలో వస్తువు యొక్క త్వరణం

  , మరియు t =

  కదలికలో వస్తువు తీసుకున్న సమయం

  .

  వివరణ:

  ఇచ్చినది:

  తొలి వేగం (u) = 0

  దూరం (S) = 20 మీ.

  కాలం (t) = 4 sec

  \({\text{S}} = {\text{ut}} + \frac{1}{2}{\text{a}}{{\text{t}}^2}\) ఉపయోగించగా,

  20 = 0 + \(\frac{1}{2} \times a \times 4^2\)

  త్వరణం = a = 20/8 = 2.5 మీ/సె2

సరైన సమాధానం (v-u) / t

భావం : 

• త్వరణం : వేగంలో మార్పు రేటును త్వరణం అంటారు. దీనిని aతో సూచించబడుతుంది. 
• త్వరణం యొక్క SI యూనిట్ m/s2.
• చలన సమీకరణం: కదిలే వస్తువు యొక్క తుది వేగం, స్థానభ్రంశాలు, సమయం మొదలైనవాటిని కనుగొనటానికి ఉపయోగించే గణిత సమీకరణాలను దానిపై శక్తి చర్యను పరిగణనలోకి తీసుకోకుండా చేసేవాటిని చలన సమీకరణాలు అంటారు.
• V = u + at
• ఇక్కడ, V = తుది వేగం, u = ప్రారంభ వేగం, a = చలనంలో వస్తువు యొక్క త్వరణం మరియు t = చలనంలో వస్తువు తీసుకున్న సమయం.

వివరణ : 

కదలిక యొక్క సమీకరణం నుండి:

V = u + a t

కనుక a = (V - u)/t

• త్వరణం యొక్క సూత్రాన్ని కనుగొనడానికి (v-u) / t. కనుక ఎంపిక 4 సరైన సమాధానం

• వేగం మరియు సమయం యొక్క లబ్దం (v x t) వస్తువు యొక్క స్థానభ్రంశాన్ని సూచిస్తుంది, ఇది రెండు పాయింట్ల మధ్య అతి తక్కువ దూరాన్ని సూచిస్తుంది.
• సమయం యొక్క పరస్పరం(1 / t) డోలనాల యొక్క తరచుదనాన్ని సూచిస్తుంది, ఇది ఇచ్చిన సమయంలో మొత్తం డోలనాల విలువను ఇస్తుంది.
• ఒక యూనిట్ పనికి సమయం (W / t) శక్తిని సూచిస్తుంది, ఇది పని చేయటానికి రేటు యొక్క కొలత. 

పద్ధతి:

• స్ధానభ్రంశం: స్థానం మారడాన్ని స్థానభ్రంశం అంటారు. ఇది రెండు బిందువుల మధ్య ప్రయాణించగలిగే అతి తక్కువ దూరం.
• వెలాసిటి: స్థానభ్రంశం రేటును వేగం అంటారు. ఇది వెక్టార్ పరిమాణం. స్థానభ్రంశం వంటిది.

\(\overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{ds}}{dt}\)

s స్ధానభ్రంశం, t సమయం.

• త్వరణం: వేగం యొక్క మార్పు రేటును త్వరణం అంటారు.

\(\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{dv}}{dt}\)

వివరణ:

వేగం-సమయం గ్రాఫ్ క్రింద ఇవ్వబడింది.

వక్రరేఖ కింద ఉన్న ప్రాంతం (ట్రెపీజియం ఏరియా)

\(A = \frac{1}{2} (v_2 + v_1)(t_2-t_1)\)

వేగాన్ని సమయంతో గుణించడం వల్ల స్థానభ్రంశం తెలుస్తుంది.

కాబట్టి, వేగం-సమయం గ్రాఫ్ కింద ఉన్న ప్రాంతం స్థానభ్రంశాన్ని సూచిస్తుంది.

Important Points

• త్వరణం సమయ గ్రాఫ్ కింద ఉన్న ప్రాంతం వేగాన్ని ఇస్తుంది.
• వేగం-సమయం గ్రాఫ్ యొక్క వాలు త్వరణాన్ని ఇస్తుంది.
• దూర-సమయం గ్రాఫ్ యొక్క వాలు వేగాన్ని ఇస్తుంది.

భావన: 

• చలన సమీకరణాలు వస్తువు యొక్క కదలికను వర్గీకరించడానికి ఉపయోగించబడ్డాయి మరియు వాటి ద్వారా ఇవ్వబడినవి

\(S = ut+ \frac{1}{2}a t^{2}\)

V = u + at

V² = U² + 2as

ఇక్కడ S = స్థానభ్రంశం, t = సమయం a = త్వరణం, V = చివరి వేగం, U = ప్రారంభ వేగం 

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడినది  S = 70 మీ, t = 7 సె, u = 0 మీ/సె

• స్థానభ్రంశం, ప్రారంభ వేగం మరియు సమయాన్ని అనుసంధానించే చలన సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడింది

\(⇒ S = ut+ \frac{1}{2}a t^{2}\)

ఇచ్చిన విలువలకు ప్రత్యామ్నాయంగా పై సమీకరణం అవుతుంది 

\(\Rightarrow 70 = 0\times 7+ \frac{1}{2}a \times 7^{2}\)

\(\Rightarrow a = \frac{70\times 2}{7\times 7} = \frac{20}{7} = 2.85m/s^{2}\)

• కావున, ఎంపిక 3 సరైన సమాధానం

సరైన సమాధానం వేగం .

ప్రధానాంశాలు

• త్వరణం అనేది సమయానికి సంబంధించి వేగం మారే రేటు.
• న్యూటన్ రెండవ నియమం ప్రకారం శరీరానికి వర్తించే అన్ని శక్తుల అంతిమ ఫలితం దాని త్వరణం. త్వరణం, వెక్టార్ పరిమాణం, శరీరం యొక్క వేగం మారుతున్న ఫ్రీక్వెన్సీని నిర్ణయిస్తుంది. త్వరణాన్ని వ్యక్తీకరించడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
• దిశతో సంబంధం లేకుండా ఒక వస్తువు యొక్క మొత్తం కదలికను దూరం అంటారు.
• "స్థానభ్రంశం" అనే పదం ఒక వస్తువు యొక్క స్థితిలో మార్పును సూచిస్తుంది. ఇది పరిమాణం మరియు దిశతో వెక్టార్ పరిమాణం.
• కణం యొక్క ద్రవ్యరాశి మరియు వేగం యొక్క ఉత్పత్తిని మొమెంటం అంటారు. మొమెంటం అనేది వెక్టార్ పరిమాణం, అది పరిమాణం మరియు దిశ రెండింటినీ కలిగి ఉంటుంది.

భావన :

• గతి శాస్త్రం యొక్క సమీకరణం : ఇవి u, v, a, t మరియు s ల మధ్య ఉండే వివిధ సంబంధాలు ఏకరీతి త్వరణంతో కదులుతున్న కణానికి సంజ్ఞామానాలు ఇలా ఉపయోగించబడతాయి:
• చలన సమీకరణాలను ఇలా వ్రాయవచ్చు

V = U + at

\(s =ut+\frac{1}{2}{at^{2}}\)

V 2 =U 2 + 2as

ఇక్కడ, U = ప్రారంభ వేగం, V = తుది వేగం, g= గురుత్వాకర్షణ కారణంగా త్వరణం, t = సమయం మరియు h= ఎత్తు/దూరం కవర్ చేయబడింది

ఇక్కడ u = t = 0 సెకను సమయంలో కణం యొక్క ప్రారంభ వేగం

v = సమయం t సెకనులో చివరి వేగం

a = కణం యొక్క త్వరణం

s = సమయం t సెకనులో ప్రయాణించిన దూరం

అర్థము:

ఇవ్వబడింది - ప్రారంభ వేగం (u) = 0 కి.మీ/గంట, చివరి వేగం (v) = 72 కి.మీ/గంట= 20 మీ/సె మరియు సమయం (t) = 5 నిమిషాలు.

• చలన మొదటి నియమం ప్రకారం

⇒ v = u + at

⇒ 20 = 0 + (a ₁ × 5 × 60)

\(⇒ a = \frac{{20}}{{5 \times 60}} = \frac{1}{{15}}\, ms^2\)

• రైలులో ప్రయాణించిన దూరం

\(⇒ S = u t + \left( {\frac{1}{2} \times a \times {t^2}} \right)\)

\(⇒ S = 0 \times 300 + \left( {\frac{1}{2} \times \frac{1}{{15}} \times {{300}^2}} \right)\)

⇒ S = 3000 మీ = 3 కి.మీ

• పై వేగాన్ని చేరుకోవడానికి రైలు ప్రయాణించే దూరం 3 కి.మీ.

కాన్సెప్ట్:

• సగటు వేగం: ప్రయాణించిన మొత్తం దూరాన్ని చలనం జరిగిన మొత్తం సమయ విరామంతో భాగించడాన్ని వస్తువు యొక్క సగటు వేగం అంటారు.

వస్తువు ప్రయాణించిన మొత్తం దూరం = 16 మీ. + 16 మీ. = 32 మీ.

తీసుకున్న మొత్తం సమయం = 4 సె. + 2 సె. = .

\(Average\;speed\;\left( {\bar v} \right) = \frac{{total\;path\;length\;\left( S \right)}}{{total\;time\;taken\;\left( t \right)}}=\frac{32}{6}=5.33\, m/s\)

• కాబట్టి, వస్తువు యొక్క సగటు వేగం 5.33 మీ./సె. 

భావం : 

వేగం: వస్తువు యొక్క స్థానభ్రంశం యొక్క మార్పు రేటును ఆ వస్తువు యొక్క వేగం అంటారు.

• వేగం అనేది వెక్టార్ పరిమాణం, ఇది పరిమాణం మరియు దిశ రెండింటినీ కలిగి ఉంటుంది.

త్వరణం: వేగం యొక్క మార్పు రేటును వస్తువు యొక్క త్వరణం అంటారు.

• త్వరణం కూడా వెక్టర్ పరిమాణం.
• ఏదైనా వేగం-సమయం గ్రాఫ్ యొక్క వాలు వస్తువు యొక్క త్వరణాన్ని ఇస్తుంది.

స్థానభ్రంశం: రెండు పాయింట్ల మధ్య కనీస మార్గం పొడవును స్థానభ్రంశం అంటారు.

దూరం: రెండు పాయింట్ల మధ్య మొత్తం మార్గం పొడవును దూరం అంటారు.

వివరణ : 

• ఏదైనా గ్రాఫ్ యొక్క వాలు ఒకే బిందువుల మధ్య సమాంతర మార్పుకు రెండు పాయింట్ల మధ్య నిలువు మార్పు యొక్క నిష్పత్తి.
• వేగం-సమయ గ్రాఫ్‌లో, వేగం (వి) నిలువు అక్షం మీద ఉంటుంది, అయితే క్షితిజ సమాంతర అక్షంపై సమయం (టి) ఉంటుంది, కాబట్టి గ్రాఫ్ యొక్క వాలు దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

• వేగం యొక్క మార్పు రేటును త్వరణం అని పిలుస్తారు కాబట్టి, వేగం-సమయ గ్రాఫ్ యొక్క వాలు త్వరణాన్ని ఇస్తుంది.
• అందువల్ల నెమ్మదిగా కదలిక కోసం వేగం-సమయం గ్రాఫ్ యొక్క వాలు రుణాత్మకంగా ఉంటుంది. అందువల్ల ఎంపిక 3 సరైనది.

• అదే విధంగా, స్థానభ్రంశం యొక్క వాలు - సమయం గ్రాఫ్ వేగాన్ని ఇస్తుంది.
• వేగం-సమయం గ్రాఫ్ కింద ఉన్న ప్రాంతం స్థానభ్రంశం ఇస్తుంది మరియు త్వరణం కింద ఉన్న ప్రాంతం - సమయం గ్రాఫ్ వేగం యొక్క మార్పును ఇస్తుంది.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

దూరం = వేగం × సమయం

గణనలు:

రైలు వేగం 'x' మీ/సెకండ్ మరియు రైలు పొడవు 'y' మీ గా అనుకుందాం

120 మీటర్ల పొడవైన ప్లాట్‌ఫారమ్‌ను రైలు 12 సెకన్లలో దాటింది.

⇒ 12 × (x) = 120 + y ----(1)

రైలు 165 మీటర్ల పొడవైన ప్లాట్‌ఫారమ్‌ను 15 సెకన్లలో దాటింది.

⇒ 15 × (x) = 165 + y ----(2)

సమీకరణం (2) - సమీకరణం (1) మనకు లభిస్తుంది,

⇒ 3x = 45

⇒ x = 15 మీ/సెకండ్ = 15 × (18/5) కి.మీ/గంట = 54 కి.మీ/గంట 

కాన్సెప్ట్ :

• కదలిక యొక్క సమీకరణం: కదిలే వస్తువుపై తుది వేగం, స్థానభ్రంశాలు, సమయం మొదలైనవాటిని కనుగొనటానికి ఉపయోగించే గణిత సమీకరణాలను దానిపై శక్తి చర్యను పరిగణించకుండా చలన సమీకరణాలు అంటారు.
• వస్తువు  యొక్క త్వరణం స్థిరంగా ఉన్నప్పుడు మరియు అవి సరళ రేఖపై కదులుతున్నప్పుడు మాత్రమే ఈ సమీకరణాలు చెల్లుతాయి.

కదలిక యొక్క మూడు సమీకరణాలు ఉన్నాయి:

V = u + at

V2 = u2 + 2 a S

\({\text{S}} = {\text{ut}} + \frac{1}{2}{\text{a}}{{\text{t}}^2}\)

ఎక్కడ, V = తుది వేగం, u = ప్రారంభ వేగం, కదలికలో వస్తువు ప్రయాణించే దూరం= s , కదలికలో వస్తువు యొక్క త్వరణం మరియు కదలిక కింద వస్తువు తీసుకునే సమయం = t.

గణన :

ఇచ్చినది:

త్వరణం (a) = 20 మీ / సె ²

ప్రయాణించిన దూరం (S) = 90 మీ

ప్రారంభ వేగం (U) = 0

90 మీ. కవర్ చేయడానికి తీసుకున్న సమయం (T) ను కనుగొనడం.

చలన సమీకరణం ఇలా పేర్కొంది:

\(S=ut+\frac{1}{2}at^2 \)

\(90=0\times t+\frac{1}{2}\times 20 \times t^2\)

\(t^2=9\)

తీసుకున్న సమయం (T) = 3 సె

అందువల్ల ఎంపిక 2 సరైనది.