मूल बिंदु से गुजरने वाले तल \(\vec{r} \cdot(2 \hat{\imath}-6 \hat{\jmath}-3 \hat{k})+1=0\) के लंबवत इकाई सदिश की दिशा कोसाइन ज्ञात कीजिए?

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AAI ATC Junior Executive 25 March 2021 Official Paper (Shift 2)

Answer 1

दिया है:

तल की समीकरण है: \({\vec r} \cdot(2 \hat{\imath}-6 \hat {\jmath}-3 {\hat k})+1=0\)

संकल्पना:

मूल बिंदु से 'd' दूरी पर स्थित एक तल का सदिश समीकरण और रूप मूल \(̂ n\) तक इकाई सदिश समीकरण \(\vec r. \hat n = d\) है।

प्रयुक्त सूत्र:

\(\vec n = \hat n = \frac{1}{|\vec n|}(\vec n)\)

गणना:

हमारे पास है,

⇒ \(⃗{r} \cdot(2 \hat{\imath}-6 \hat{\jmath}-3 \hat{k})+1=0\)

⇒ \(⃗{r} \cdot(2 \hat{\imath}-6 \hat{\jmath}-3 \hat{k}) = -1\)

दोनों पक्षों में -1 से गुणा करने पर,

⇒ \(-\vec {r} \cdot(2 \hat{\imath}-6 \hat{\jmath}-3 \hat{k}) = -1 \times -1 \)

⇒ \({\vec r} \cdot(-2 \hat{\imath}+6 \hat{\jmath}+3 \hat{k}) = 1\) ----- समीकरण (1)

इसलिए, \(\vec n = - 2 \hat i + 6 \hat j + 3 \hat k\)

\(\vec n\) का परिमाण = \(\sqrt{ (-2)^2 + 6^2 + 3^2}\)

⇒ \(|\vec n|\) = \(\sqrt{4 + 36 + 9}\) = \(\sqrt{49}\) = 7

अब, \(\hat n = \frac{1}{|\vec n|}(\vec n)\)

⇒ \(\hat n = \frac{1}{7}(- 2 \hat i + 6 \hat j + 3 \hat k)\)

⇒ \(\vec n = \frac{-2}{7} \hat i + \frac{6}{7} \hat j + \frac{3}{7} \hat k\)

∴ दिए गए तल के लंबवत इकाई सदिश की दिशा कोसाइन \(\frac{-2}{7}, \frac{6}{7}, \frac{3}{7}\) हैं