यदि y = sin (log x) है तो \(\frac{d^2y}{dx^2}\) ज्ञात करें।

अवधारणा :

• \(\frac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{dx}} = \; \cos x\)
• \(\frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{dx}} = \; - \sin x\)
• \(\frac{{d\left( {\ln x} \right)}}{{dx}} = \frac{1}{x},\;for\;x > 0\)
• भागफल नियम: \(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left[ {\frac{{{\rm{f}}\left( x \right)}}{{{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)}}} \right] = \frac{{{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;f'}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( x \right){\rm{\;g'}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{{\left[ {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right]}^2}}}\)

गणना :

दिया हुआ: y = sin (log x)

पहले dy/dx का पता लगाएं

जैसा कि हम जानते हैं कि, \(\frac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{dx}} = \; \cos x\) और \(\frac{{d\left( {\ln x} \right)}}{{dx}} = \frac{1}{x},\;for\;x > 0\)

⇒ \(\frac{dy}{dx} = \frac{cos\ (log x)}{x}\)

अब, फिर से उपरोक्त समीकरण को भागफल नियम द्वारा अवकलित करके हम प्राप्त करते हैं,

जैसा कि हम जानते हैं कि, \(\frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{dx}} = \; - \sin x\)

⇒ \(\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{\frac{x\cdot sin \ (log x)} {x}\ - \ cos \ (log \ x)}{x^2}\)

⇒ \(\frac{d^2y}{dx^2} = -(\frac{sin \ (log \ x) \ + \ cos \ (log \ x)}{x^2})\)

इसलिए, सही विकल्प 2 है।