2 × 10¹⁰ N/m² के यंग मापांक वाले स्टील के तार पर 0.5 इकाई तनन लगाया जाता है, तो इस मामले में तार में संग्रहीत तनन ऊर्जा प्रति इकाई आयतन की ऊर्जा _________ Jm-3 होगी।

संकल्पना:

जब हम एक तार पर तनन प्रतिबल लगाते हैं तो यह खींचा है और तार खींचने में किया गया कार्य अणु के बीच पुनःस्थापन बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर और विपरीत होगा। यह कार्य  तार में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संग्रहीत होता है।

जबकि किए गए कार्य को निम्न रूप में व्युत्पन्न किया जा सकता है

\(W = \smallint F.dl\) यहाँ F तार पर लागू किया गया बल है और dl लंबाई में परिवर्तन है।

अब यंग मापांक के संबंध का उपयोग करके हम कह सकते हैं कि , \(Y = \frac{F}{A} \times \frac{L}{{\rm{l}}} \Rightarrow F = \frac{{YAl}}{L}\)

कार्य के समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करने पर हमें मिलता है

\(W = \smallint \frac{{YAl}}{L}dl = \frac{{YA{l^2}}}{{2L}} = \frac{1}{2} \times Y \times {\left( {\frac{l}{L}} \right)^2} \times LA\)

\(\therefore W = Young's\;modulus \times strai{n^2} \times Volume\;of\;wire\;\)

इसलिए प्रति इकाई आयतन किया गया कार्य इसके द्वारा दिया जाता है 

\(U = \frac{W}{V} = \frac{1}{2} \times Young's\;modulus \times strai{n^2}\)

\(also,\;U = \frac{1}{2} \times stress \times strain = \frac{1}{2} \times \sigma\epsilon \)

जबकि यंग मापांक, \(Y = \frac{{stress}}{{strain}}\)

इसका उपयोग करके समीकरण को संशोधित किया जा सकता है

\(U = \frac{{strain\;energy}}{{volume}} = \frac{1}{2} \times Y \times strai{n^2}\)

या

\(U = \frac{{strain\;energy}}{{volume}} = \frac{1}{2} \times \frac{{stres{s^2}}}{Y}\)

गणना:

दिया गया है कि,

स्टील तार पर कार्यरत तनन = 0.5

यंग मापांक, Y = 2 × 10¹⁰ N/m²

उपरोक्त स्पष्टीकरण से हम देख सकते हैं कि तनन ऊर्जा प्रति इकाई आयतन को निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है

\(U = \frac{{strain\;energy}}{{volume}} = \frac{1}{2} \times Y \times strai{n^2}\)

\(U = \frac{1}{2} \times 2{\rm{\;}} \times {\rm{\;}}{10^{10}} \times {0.5^2} = 0.25 \times {10^{10}} = 2.5 \times {10^9}{\rm{\;J}}/{{\rm{m}}^3}{\rm{\;}}\)