Question
Download Solution PDFयदि व्यंजकों \((x+3)(2x^2 - 3x + a) \text{ और } (x-2)(3x^2 + 10x - b) \text{ का महत्तम समापवर्तक (HCF) } x^2 + x - 6\) है, तो (2a - 3b) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
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व्यंजक 1: (x+3)(2x2 - 3x + a)
व्यंजक 2: (x-2)(3x2 + 10x - b)
व्यंजक 1 और व्यंजक 2 का महत्तम समापवर्तक (HCF) x2 + x - 6 है
प्रयुक्त सूत्र:
यदि कोई व्यंजक दो बहुपदों का महत्तम समापवर्तक (HCF) है, तो यह दोनों बहुपदों का एक गुणनखंड होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि HCF बहुपद के मूल भी दिए गए दो व्यंजकों के मूल होने चाहिए।
गणना:
सबसे पहले, HCF का गुणनखंड कीजिए: x2 + x - 6
⇒ x2 + 3x - 2x - 6
⇒ x(x + 3) - 2(x + 3)
⇒ (x + 3)(x - 2)
चूँकि (x + 3)(x - 2), HCF है, इसलिए यह दिए गए दोनों व्यंजकों का एक गुणनखंड होना चाहिए।
व्यंजक 1 पर विचार करें: (x + 3)(2x2 - 3x + a)
हमारे पास पहले से ही गुणनखंड (x + 3) है। HCF के (x + 3)(x - 2) होने के लिए, इसका अर्थ है कि (x - 2), (2x2 - 3x + a) का एक गुणनखंड होना चाहिए।
यदि (x - 2), (2x2 - 3x + a) का एक गुणनखंड है, तो (2x2 - 3x + a) में x = 2 रखने पर परिणाम 0 होना चाहिए।
⇒ 2(2)2 - 3(2) + a = 0
⇒ 2(4) - 6 + a = 0
⇒ 8 - 6 + a = 0
⇒ 2 + a = 0
⇒ a = -2
व्यंजक 2 पर विचार करें: (x - 2)(3x2 + 10x - b)
हमारे पास पहले से ही गुणनखंड (x - 2) है। HCF के (x + 3)(x - 2) होने के लिए, इसका अर्थ है कि (x + 3), (3x2 + 10x - b) का एक गुणनखंड होना चाहिए।
यदि (x + 3), (3x2 + 10x - b) का एक गुणनखंड है, तो (3x2 + 10x - b) में x = -3 रखने पर परिणाम 0 होना चाहिए।
⇒ 3(-3)2 + 10(-3) - b = 0
⇒ 3(9) - 30 - b = 0
⇒ 27 - 30 - b = 0
⇒ -3 - b = 0
⇒ b = -3
अब, हमें (2a - 3b) का मान ज्ञात करना है:
⇒ 2a - 3b = 2(-2) - 3(-3)
⇒ 2a - 3b = -4 - (-9)
⇒ 2a - 3b = -4 + 9
⇒ 2a - 3b = 5
∴ सही उत्तर विकल्प 3 है।
Last updated on Jun 10, 2025
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