बहुपद MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Polynomials - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

p(x) = 2x³ – 3x² – 2x + 3 और q(x) = 3x² + 8x + 5

सिद्धांत:

दो या अधिक समीकरणों का महत्तम समापवर्त्य उच्चतम गुणनखंड होता है जो उनमें से प्रत्येक को पूर्णतः विभाजित करता है। 

गणना:

p(x) = 2x³ – 3x² – 2x + 3 के गुणनखंड

⇒ x² × (2x – 3) – 1 × (2x – 3)

⇒ (x² – 1) × (2x – 3)

⇒ (x – 1) × (x + 1) × (2x – 3)

और, q(x) = 3x² + 8x + 5 के गुणनखंड

⇒ 3x² + 5x + 3x + 5

⇒ x × (3x + 5) + 1 × (3x + 5)

⇒ (3x + 5) × (x + 1)

दिया गया है:

p(x) = x3 – 2x2 – 4x – 1, g(x) = x + 1

प्रयुक्त​ सूत्र:

शेषफल प्रमेय के अनुसार, p(x) को g(x') से विभाजित करने पर शेषफल p(x') प्राप्त होता है

गणना​:

p(x) = x3 – 2x2 – 4x – 1

g(x) = x + 1

x + 1 = 0 ⇒ x = -1

∴ शेषफल प्रमेय के अनुसार,

p(-1) = (-1)³ - 2(-1)² - 4(-1) - 1 = -1 - 2 + 4 - 1 = 0

∴ जब p(x) को g(x) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 0 प्राप्त होता है।

दिया गया है:

व्यंजक 1: (x+3)(2x² - 3x + a)

व्यंजक 2: (x-2)(3x² + 10x - b)

व्यंजक 1 और व्यंजक 2 का महत्तम समापवर्तक (HCF) x² + x - 6 है

प्रयुक्त सूत्र:

यदि कोई व्यंजक दो बहुपदों का महत्तम समापवर्तक (HCF) है, तो यह दोनों बहुपदों का एक गुणनखंड होना चाहिए।

इसका अर्थ है कि HCF बहुपद के मूल भी दिए गए दो व्यंजकों के मूल होने चाहिए।

गणना:

सबसे पहले, HCF का गुणनखंड कीजिए: x² + x - 6

⇒ x² + 3x - 2x - 6

⇒ x(x + 3) - 2(x + 3)

⇒ (x + 3)(x - 2)

चूँकि (x + 3)(x - 2), HCF है, इसलिए यह दिए गए दोनों व्यंजकों का एक गुणनखंड होना चाहिए।

व्यंजक 1 पर विचार करें: (x + 3)(2x² - 3x + a)

हमारे पास पहले से ही गुणनखंड (x + 3) है। HCF के (x + 3)(x - 2) होने के लिए, इसका अर्थ है कि (x - 2), (2x² - 3x + a) का एक गुणनखंड होना चाहिए।

यदि (x - 2), (2x² - 3x + a) का एक गुणनखंड है, तो (2x² - 3x + a) में x = 2 रखने पर परिणाम 0 होना चाहिए।

⇒ 2(2)² - 3(2) + a = 0

⇒ 2(4) - 6 + a = 0

⇒ 8 - 6 + a = 0

⇒ 2 + a = 0

⇒ a = -2

व्यंजक 2 पर विचार करें: (x - 2)(3x² + 10x - b)

हमारे पास पहले से ही गुणनखंड (x - 2) है। HCF के (x + 3)(x - 2) होने के लिए, इसका अर्थ है कि (x + 3), (3x² + 10x - b) का एक गुणनखंड होना चाहिए।

यदि (x + 3), (3x² + 10x - b) का एक गुणनखंड है, तो (3x² + 10x - b) में x = -3 रखने पर परिणाम 0 होना चाहिए।

⇒ 3(-3)² + 10(-3) - b = 0

⇒ 3(9) - 30 - b = 0

⇒ 27 - 30 - b = 0

⇒ -3 - b = 0

⇒ b = -3

अब, हमें (2a - 3b) का मान ज्ञात करना है:

⇒ 2a - 3b = 2(-2) - 3(-3)

⇒ 2a - 3b = -4 - (-9)

⇒ 2a - 3b = -4 + 9

⇒ 2a - 3b = 5

∴ सही उत्तर विकल्प 3 है।

दिया गया है:

गुणनखंड करने के लिए व्यंजक है 6x² - 24xy + 17x + 24y² - 34y + 5

गणना:

पदों को समूहबद्ध करने या एक व्यवस्थित दृष्टिकोण का उपयोग करने का प्रयास करें।

द्विघात पदों पर विचार करें: 6x² - 24xy + 24y²

हम 6 को गुणनखंड कर सकते हैं: 6(x² - 4xy + 4y²)

पूर्ण वर्ग त्रिपद को पहचानें: 6(x - 2y)²

इसलिए व्यंजक बन जाता है: 6(x - 2y)² + 17x - 34y + 5

ध्यान दें कि 17x - 34y को 17(x - 2y) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

मान लीजिए P = (x - 2y).

व्यंजक अब बन जाता है: 6P² + 17P + 5

यह P में एक द्विघात व्यंजक है। हम इस द्विघात को गुणनखंडित कर सकते हैं।

हमें दो संख्याओं की आवश्यकता है जो 6 × 5 = 30 से गुणा करें और 17 तक जोड़ें। ये संख्याएँ 15 और 2 हैं।

6P² + 15P + 2P + 5

(6P² + 15P) + (2P + 5)

3P(2P + 5) + 1(2P + 5)

(3P + 1)(2P + 5)

अब गुणनखंडित व्यंजक में P = (x - 2y) को वापस प्रतिस्थापित करें:

[3(x - 2y) + 1][2(x - 2y) + 5]

[3x - 6y + 1][2x - 4y + 5]

इसलिए, गुणनखंड (3x - 6y + 1) और (2x - 4y + 5) हैं।

∴ सही उत्तर विकल्प 4 है।

दिया गया है:

बहुपद: kx² - 3x - 6k

शून्यकों का योग = शून्यकों का गुणनफल

प्रयुक्त सूत्र:

शून्यकों का योग = -b/a

शून्यकों का गुणनफल = c/a

गणना:

बहुपद kx² - 3x - 6k के लिए:

a = k, b = -3, c = -6k

शून्यकों का योग = -b/a = -(-3)/k = 3/k

शून्यकों का गुणनफल = c/a = -6k/k = -6

दिया गया है कि शून्यकों का योग = शून्यकों का गुणनफल:

⇒ 3/k = -6

⇒ k = 3/(-6)

⇒ k = -1/2

k का मान -1/2 है।

दिया गया है

2x⁵ + 2x³y³ + 4y⁴ + 5

अवधारणा

एक बहुपद की डिग्री गैर-शून्य गुणांकों के लिए इसके प्रत्येक पदों की उच्चतम डिग्री है।

गणना 

2x⁵ में बहुपद की डिग्री = 5 

2x³y³ में बहुपद की डिग्री = 6 

4y⁴ में बहुपद की डिग्री = 4

5 में बहुपद की डिग्री = 0

इसलिए, उच्चतम डिग्री 6 है।

∴ बहुपद की डिग्री = 6

कोई x5 होने की वजह से 5 को सही विकल्प के रूप में चुन सकता है लेकिन यहाँ सही उत्तर 6 होगा क्योंकि 2x3y3 की उच्चतम घात 6 है।

Important Points

एक बहुपद की डिग्री गैर-शून्य गुणांकों के लिए इसके प्रत्येक पदों की उच्चतम डिग्री है। यहाँ एक विशिष्ट मान के लिए जब x y के बराबर होगा तब समीकरण होगा:

2x5 + 2x3y3 + 4y4 + 5

= 2x5 + 2x6 + 4x4 + 5

∴ बहुपद की डिग्री 6 होगी

संकल्पना:

यदि α और β बहुपद p(x) के शून्यक हैं तो

p(α) = 0 और p(β) = 0  

गणना:

माना p(x) =  (k - 1)x2 + kx +1

प्रश्न के अनुसार, x = -3 इसका एक शून्यक है,

x = -3 पर p(x) का मान शून्यक हो जाता है।

इसलिए,

(k - 1)(-3)2 + k(-3) +1 = 0

⇒ 9k - 9 - 3k + 1 = 0

⇒ 6k = 8

⇒ k = 4/3

अत: विकल्प 2 सही है।

Shortcut Trick

सूत्र a2 - b2 = (a + b) (a - b) का उपयोग करके

हम (x2 + y2 - z2)2 - (x2 - y2 + z2)2 को निम्न के रूप में लिख सकते हैं

(x2 + y2 - z2 + x2 - y2 + z2) (x2 + y2 - z2 - x2 + y2 - z2)

⇒ 2x2 (2y2 - 2z2)

⇒ 4x2y2 - 4x2z2

Alternate Method 

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

गणना:

माना a = x2, b = -y2, c = z2 रखने पर

⇒ (x2 + y2 - z2)2 = x4 + y4 + z4 + 2x2y2 – 2y2z2 – 2z2x2      ----(1)

अब a = x2, b = y2, c = -z2 रखने पर

⇒ (x2 - y2 + z2)2 = x4 + y4 + z4 – 2x2y2 – 2y2z2 + 2z2x2      ----(2)

(1) – (2)

⇒ 4x2y2 – 4z2x2

∴ आवश्यक उत्तर 4x2y2 – 4x2z2 है।

Alternate Method

माना x = 1, y = 2 और z = -3

अब यह मान रखने पर (x2 + y2 - z2)2 - (x2 - y2 + z2)2 

(1 + 4 - 9)2 - (1 - 4 + 9)2

16 - 36 = - 20

अब विकल्प में x = 1, y = 2 और z = -3 रखने पर

1)  4x2y2 - 4x2z2 = 4(1)(2)2 - 4(1)(3)2 = 16 - 36 = -20

अतः विकल्प 1 सही विकल्प है।

दिया हुआ:

4x⁴ + 3x³ + 2x² + x + 1

संकल्पना

एक बहुपद की डिग्री गैर शून्य गुणांक के साथ पद की सबसे अधिक कोटि होती है।

गणना:

4x⁴ में बहुपद की कोटि = 4

3x³ में बहुपद की कोटि = 3

2x² में बहुपद की कोटि = 2

x में बहुपद की कोटि = 1

इसलिए, उच्चतम कोटि 4 है।

∴ बहुपद की कोटि = 4

दिया गया है:

5x + 3y = 15 और 2xy = 6

प्रयुक्त अवधारणा:

(a - b)² = (a + b)² - 4ab

गणना:

(5x - 3y)2 =  (5x + 3y)2 - 4 × 5x.3y

⇒ 15² - 30 × 2xy

⇒ 225 - 180 = 45

(5x - 3y) = √45

⇒ \(3\sqrt5\)

∴ सही विकल्प 2 है।

दिया गया है:

दिया गया समीकरण हैः x⁴ + 2x³ - 16x² - 22x + 7 = 0

एक मूल (2 + \(√3\)) है।

अवधारणा: यदि समीकरण के सभी गुणांक वास्तविक हैं, तब अपरिमेय मूल, संयुग्म में उत्पन्न होंगे।

गणना:

एक मूल (2 +\(√3\) ) और संयुग्म (2 - \(√3\) ) है।

इसलिए, दूसरा मूल (2 - \(√3\)) है।

⇒ α = 2 + \(√3\)  और β = 2 - \(√3\)

इन मूलों के गुणनफल,

⇒ \((x - 2 - √3) (x - 2 + √3)\)

⇒ (x - 2)² - 3 

⇒ x² - 4x + 1

x4 + 2x3 - 16x2 - 22x + 7 को  x2 - 4x + 1 से विभाजित करने पर,

तब दूसरा द्विघात गुणनखंड x² + 6x + 7 है।

तब दिया गया समीकरण निम्न रूप में आ जाता है,

⇒ (x² - 4x + 1)(x² + 6x + 7) = 0

समीकरण x² + 6x + 7 = 0 के मूल,

⇒ x = \(\frac{- 6 \ ±\ √{36\ -\ 28}}{2}\)

⇒ x = - 3 ± \(\sqrt2\)

दूसरा मूल - 3 ± \(\sqrt2\) हैं।

∴ x4 + 2x3 - 16x2 - 22x + 7 = 0 का अन्य मूल - 3 - \(\sqrt2\) है।

दिया गया है:

a = 3 + 2√2

प्रयुक्त अवधारणा:

a2 – b2 = (a – b)(a + b)

a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

गणना:

a = 3 + 2√2

1/a = 1/(3 + 2√2)

⇒ 1/a = (3 – 2√2)/{(3 + 2√2) × (3 – 2√2)}

⇒ 1/a = (3 – 2√2)/{3² – (2√2)²}

⇒ 1/a = (3 – 2√2)/(9 – 8)

⇒ 1/a = (3 – 2√2)

अब,

a + 1/a = 3 + 2√2 + 3 – 2√2

⇒ a + 1/a = 6

(a⁶ – a⁴ – a² + 1)/a³

⇒ a³ – a – 1/a + 1/a³

⇒ (a³ + 1/a³) – (a + 1/a)

⇒ {(a + 1/a)³ – 3(a + 1/a)} – (a + 1/a)

⇒ (6³ – 3 × 6) – 6

⇒ 216 – 18 – 6

⇒ 192

∴ (a⁶ – a⁴ – a² + 1)/a³ का अभीष्ट मान 192 है 

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

(a + b)(a - b) = a² - b²

गणना:

x⁴ + x² + 25

व्यंजन को इस प्रकार लिखा जा सकता है: (x²)² + 2 × x² × 5 + (5)² - (3x)²

⇒ x4 + 10x2 + 25 - 9x2

⇒ (x² + 5)² - (3x)²

⇒ (x² + 5 + 3x)(x² + 5 - 3x)

∴ x⁴ + x² + 25 के गुणनखंड (x2 + 3x + 5) (x2 - 3x + 5) हैं।

हम जानते हैं कि

x³ + y³ = (x + y)(x² + y² – xy)

अब हमारे पास x³ + y³ = 22 और x + y = 5 है

⇒ 22 = 5(x² + y² – xy)

⇒ 22 = 5[(x + y)² − 3xy)]

⇒ 22 = 5[(5)² − 3xy)]

⇒ xy = 103/15

अब x³ + y³ = 22 का x + y = 5 के साथ गुणा कीजिए

⇒ x⁴ + y⁴ + xy(x² + y²) = 110

⇒ x⁴ + y⁴ = 110 – xy{(x² + y² − 2xy + 2xy)}

⇒ x⁴ + y⁴ = 110 – xy{(x + y)² − 2xy}

 xy = 103/15 और x + y = 5

⇒ x⁴ + y⁴ = 110 – 103/15{(5)² − 2 × 103/15}

⇒ x4 + y4 = 110 – 6.87{(25 –  13.73}

⇒ x4 + y4 = 110 – 6.87 {(11.27)}

⇒ x4 + y4 = 110 – 77.42

⇒ x4 + y4 = 32.58

∴ x⁴ + y⁴ का मान 33 है।

x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2 – xy)

⇒ 22 = 5(x2 + y2 – xy)

⇒ 22 = 5[(x + y)2 − 3xy)]

⇒ 22 = 5[(5)2 − 3xy)]

⇒ xy = 103/15

(x3 + y3) (x + y) = x4 + y4 + xy(x2 + y2)

(x3 + y3) (x + y)= (x4 + y4) + {xy[(x + y)2 – 2xy)]

⇒ 22 × 5 = x4  + y4 + 103/15[25 - 206/15]

⇒ x4 + y4 = 32.63 ≈ 33

प्रयुक्त अवधारणा:

शेषफल प्रमेय:

यदि एक बहुपद p(x) को (x−a) से विभाजित किया जाता है, तब शेषफल एक नियतांक p(a) होता है।

गणना:

मान लीजिए p(x) = 5x3 + 5x2 – 6x + 9 

चूँकि, (x + 3) p(x) को विभाजित करता है, तब शेषफल p(-3) होगा।

⇒ p(-3) = 5 × (-3)3 + 5 × (-3)2 – 6 × (-3) + 9

⇒ p(-3) = -63