यदि x³ + y³ = (100010111)₂ और x + y = (11111)₂ है तो (x - y)² + xy किसके बराबर है?

अवधारणा:

सूत्र

• x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)
• (x - y)2 = x2 - 2xy + y2

द्विआधारी से दशमलव रूपांतरण सूत्र

N = b_n-1 × 2^n-1 + ......... + b4 × 24 + b3 × 23 + b2 × 22 + b₁ × 21 + b₀ × 20 

जहाँ N दशमलव समतुल्य है, b द्विआधारी अंक है, 2 आधार मान है

दशमलव से द्विआधारी रूपांतरण

चरण 1: दशमलव संख्या n को 2 से विभाजित करें। इस चरण में प्राप्त पूर्णांक भागफल को अगले चरण के लिए लाभांश के रूप में उपयोग करें।

चरण 2: शेष को नीचे से ऊपर तक यानि उल्टे कालानुक्रमिक क्रम में लिखें।

गणना

दिया गया है:

x3 + y3 = (100010111)2 और x + y = (11111)2

(100010111)₂ को दशमलव रूप में बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं,

x3 + y3 = (100010111)2 = 1 × 2⁸ + 0 × 2⁷ + 0 × 2⁶ + 0 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 0 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ 

⇒ x3 + y3 = 256 + 16 + 4 + 2 + 1 

⇒ x3 + y3 = 279      ------(i)

(11111)₂ को दशमलव रूप में बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं,

x + y = (11111)2 = 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰

⇒ x + y =  16 + 8 + 4 + 2 + 1

⇒ x + y =  31      ------(ii)

साथ ही, हम जानते हैं कि,

x3 + y3 = (x + y) (x² - xy + y²)

⇒ x3 + y3 = (x + y) (x2 - 2xy + y2 + xy)

⇒ x3 + y3 = (x + y) [(x - y)² + xy]

⇒ (x - y)2 + xy = \(\displaystyle \frac{x^3+y^3}{x+y}\)

समीकरण (i) और (ii) का मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

⇒ (x - y)2 + xy = \(\displaystyle \frac{279}{31}=9\)

अब इस दशमलव संख्या 9 को द्विआधारी रूप में बदलें, 9 = (1001)₂

(x - y)2 + xy का मान = (1001)2