विफलता के सिद्धांतों से संबंधित निम्नलिखित का मिलान करें।

A. अधिकतम सामान्य प्रतिबल सिद्धांत	1. वॉनमिसस सिद्धांत
B. अधिकतम अपरूपण प्रतिबल सिद्धांत	2. हैग का सिद्धांत
C. अधिकतम विकृति ऊर्जा सिद्धांत	3. गेस्ट और ट्रेस्का सिद्धांत
D. अधिकतम विरूपण ऊर्जा सिद्धांत	4. रैन्की सिद्धांत

व्याख्या:

अधिकतम अपरुपण प्रतिबल सिद्धांंत (गेस्ट और ट्रेस्का का सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार,भार के किसी भी संयोजन को नमूने की विफलता के अधीन जब किसी भी बिंदु पर अधिकतम अपरुपण प्रतिबल के विफलता का मान पर पहुँचता है तो वह समान सामग्री के एक अक्षीय तनन या संपीड़क परीक्षण में विकसित पराभव के बराबर होता है।

ग्राफिकल निरुपण

\({{\rm{\tau }}_{{\rm{max}}}} \le \frac{{{{\rm{\sigma }}_{\rm{y}}}}}{2}\) शून्य विफलता के लिए

\({{\rm{\sigma }}_1} - {{\rm{\sigma }}_2} \le \left( {\frac{{{{\rm{\sigma }}_{\rm{y}}}}}{{{\rm{FOS}}}}} \right)\)डिजाइन के लिए

σ1 और σ2 क्रमशः अधिकतम और न्यूनतम मुख्य प्रतिबल हैं.

यहाँ, τmax = अधिकतम अपरूपण प्रतिबल 

σy = अनुमत प्रतिबल

यह सिद्धांत मृदु सामग्रियों के लिए अच्छी तरह से उचित है लेकिन सुरक्षित परिणाम देता है और इसलिए इसे अनौपचारिक सिद्धांत कहा जाता है।

अधिकतम विकृति ऊर्जा सिद्धांत (हैग्स सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार, एक निकाय जटिल प्रतिबल तब विफल हो जाता है जब साधारण तनन में प्रत्यास्थ सीमा पर कुल विकृति ऊर्जा होती है।

ग्राफिकल निरुपण

\(\left\{ {{\rm{\sigma }}_1^2 + {\rm{\sigma }}_2^2 + {\rm{\sigma }}_3^2 - 2{\rm{\mu }}\left( {{{\rm{\sigma }}_1}{{\rm{\sigma }}_2} + {{\rm{\sigma }}_2}{{\rm{\sigma }}_3} + {{\rm{\sigma }}_3}{{\rm{\sigma }}_1}} \right)} \right\} \le {\rm{\sigma }}_{\rm{y}}^2\) शून्य विफलता के लिए

\(\left\{ {{\rm{\sigma }}_1^2 + {\rm{\sigma }}_2^2 + {\rm{\sigma }}_3^2 - 2{\rm{\mu }}\left( {{{\rm{\sigma }}_1}{{\rm{\sigma }}_2} + {{\rm{\sigma }}_2}{{\rm{\sigma }}_3} + {{\rm{\sigma }}_3}{{\rm{\sigma }}_1}} \right)} \right\} \le {\left( {\frac{{{{\rm{\sigma }}_{\rm{y}}}}}{{{\rm{FOS}}}}} \right)^2}\) डिजाइन के लिए

यह सिद्धांत भंगुर सामग्री पर लागू नहीं होता है जिसके लिए तनन और संपीड़न में प्रत्यास्थ सीमा प्रतिबल काफी भिन्न होता है।

अधिकतम सामान्य प्रतिबल सिद्धांत (रैंकिन का सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार, स्थायी सेट जटिल तनाव की स्थिति में होता है, जब अधिकतम प्रमुख प्रतिबल का मान उपज बिंदु प्रतिबल के बराबर होता है जैसा कि एक साधारण तन्यता परीक्षण में पाया जाता है।

डिजाइन की मापदंड के लिए, अधिकतम प्रमुख प्रतिबल (σ1) सामग्री के लिए कार्यरत प्रतिबल ‘σy’ से अधिक नहीं होना चाहिए।

\({{\rm{\sigma }}_{1,2}} \le {{\rm{\sigma }}_{\rm{y}}}\) शून्य विफलता के लिए

\({{\rm{\sigma }}_{1,2}} \le \frac{{\rm{\sigma }}}{{{\rm{FOS}}}}\)डिजाइन के लिए

नोट: किसी अपरूपण विफलता τ ≤ 0.57 σy के लिए 

ग्राफिकल निरुपण

भंगुर सामग्री के लिए,जो सुनम्यता द्वारा विफल नहीं होती लेकिन भंगुर विभंग द्वारा विफल होता है,यह सिद्धांत संतोषजनक परिणाम देता है।

इसका ग्राफ हमेशा σ1 और σ2 के विभिन्न मान के लिए भी वर्गाकार होता है।

अधिकतम अपरुपण तनन ऊर्जा (विरुपण ऊर्जा सिद्धांत) वोन-मिसेस –हैन्की सिद्धांत

यह बताता है कि निकाय में किसी भी बिंदु पर अतन्यक क्रिया, प्रतिबल बेगिंग के किसी भी संयोजन के तहत, जब बिंदु पर अवशोषित प्रति इकाई मात्रा में विरूपण की तनन ऊर्जा एक सरल तनन / संपीड़न परीक्षण में एकअक्षीय प्रतिबल की स्थिति के अंतर्गत एक बार जिसे प्रत्यास्थ सीमा तक प्रतिबलित किया गया है उसके किसी भी बिंदु पर प्रति इकाई मात्रा में अवशोषित विरूपण की तनन ऊर्जा के बराबर होती है।

\(\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {{{\rm{\sigma }}_1} - {{\rm{\sigma }}_2}} \right)}^2} + {{\left( {{{\rm{\sigma }}_2} - {{\rm{\sigma }}_3}} \right)}^2} + {{\left( {{{\rm{\sigma }}_3} - {{\rm{\sigma }}_1}} \right)}^2}} \right] \le {\rm{\sigma }}_{\rm{y}}^2\) शून्य विफलता के लिए

\(\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {{{\rm{\sigma }}_1} - {{\rm{\sigma }}_2}} \right)}^2} + {{\left( {{{\rm{\sigma }}_2} - {{\rm{\sigma }}_3}} \right)}^2} + {{\left( {{{\rm{\sigma }}_3} - {{\rm{\sigma }}_1}} \right)}^2}} \right] \le {\left( {\frac{{{{\rm{\sigma }}_{\rm{y}}}}}{{{\rm{FOS}}}}} \right)^2}\) डिजाइन के लिए

यह मृदु सामग्री के लिए सबसे उपयुक्त सिद्धांत है