(2y + x) \(\rm dy\over dx\) = 1 हल कीजिए। 

संकल्पना:

प्रथम-कोटि वाले रैखिक अवकल समीकरण में;

\(\rm {dy\over dx}+Py=Q\), जहाँ P और Q, x के फलन है। 

समाकलन कारक (IF) = e∫ P dx

सामान्य हल: y × (IF) = ∫ Q(IF) dx

गणना:

दिया गया समीकरण निम्न है

(2y + x) \(\rm dy\over dx\) = 1

⇒ (2y + x) = \(\rm dx\over dy\)

⇒ \(\rm dx\over dy\) - x = 2y

∴ यह प्रथम कोटि वाला रैखिक अवकल समीकरण है। 

IF = e∫ -1 dy

⇒ IF = e-y

अब, x × (IF) = ∫ Q (IF) dy

⇒ x × e-y = ∫ 2y × e-y dy

⇒ xe^-y = 2\(\rm \left[y\int e^{-y}dy - \int\left\{ {dy\over dy}\times\int e^{-y}dy\right\}dy\right]\)

⇒ xe-y = 2\(\rm \left[-ye^{-y} + \int e^{-y}dy\right]\) + c

⇒ xe-y = 2\(\rm \left[-ye^{-y} - e^{-y}\right]\) + c

⇒ x + 2y + 2 = ce^y