m₁ तथा m₂ द्रव्यमान के दो पिण्डों की गतिज ऊर्जाओं का अनुपात 4 ∶ 1 है। उनके रैखिक संवेगों का अनुपात क्या होगा?

अवधारणा:

संवेग

• संवेग को पिंड के द्रव्यमान और वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• यह वेग की ओर निर्देशित एक सदिश राशि है।
• यह निम्न रूप में दिया जाता है

p = mv      ----(1)

m द्रव्यमान है, v वेग है, p संवेग है

गतिज ऊर्जा

• किसी पिंड की गति की स्थिति के कारण गति में ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहा जाता है।
• यह निम्न रूप में दिया जाता है

\(K = \frac{1}{2}mv^2\) ---- (2)

K गतिज ऊर्जा है, m द्रव्यमान है, v गति है।

संवेग और गतिज ऊर्जा के बीच संबंध

यदि हम समीकरण (1) और (2) को मिला दें तो हमें संवेग और गतिज ऊर्जा के बीच संबंध इस प्रकार प्राप्त होगा

\(K = \frac{p^2}{2m}\) ---- (3)

गणना:

अत: पिंडों की गतिज ऊर्जा 1 : 4 के अनुपात में है

\(\frac{K_1}{K_2} = \frac{P_1}{P_2}\)

प्रथम पिंड की गतिज ऊर्जा निम्न है

\(K _1= \frac{p_1^2}{2m_1}\) --- (5)

दूसरे पिंड की गतिज ऊर्जा निम्न है

\(K _2= \frac{p_2^2}{2m_2}\) --- (6)

(5) को (6) से विभाजित करने पर

\(\frac{K_1}{K_2} = \frac{\frac{p_{1}^{2}}{m_1}}{\frac{p_{2}^{2}}{m_2}}\)

\(\implies \frac{K_1}{K_2} =( \frac{p_1}{p_2} )^2\ \frac{m_2}{m_1}\) -- (7)

(7) में (4) का मान रखने पर

\(\implies \frac{1}{4} = (\frac{p_1}{p_2})^2 \ \frac{m_2}{m_1}\)

\(\implies \ \frac{m_1}{m_2} \frac{1}{4} = (\frac{p_1}{p_2})^2\)

\(\implies \ \frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1}{2 m_2}\)