Acceleration due to gravity of the earth MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Acceleration due to gravity of the earth - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

हल:

गुरुत्वीय त्वरण वह बल है जो किसी पिंड को पृथ्वी के केंद्र की ओर आकर्षित करता है। पृथ्वी के भीतर, यह निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

g = G × (M r³/ R⁵)

जहाँ:

G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है। 

M पृथ्वी का द्रव्यमान है। 

R पृथ्वी की त्रिज्या है। 

r केंद्र से दूरी है (पृथ्वी के भीतर)।

पृथ्वी के केंद्र पर, r = 0. चूँकि त्रिज्या (R) हर में है, गुरुत्वीय त्वरण, g, हो जाता है:

g = G × (M × 0)

∴ पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण शून्य है।

गणना:

मान लीजिये प्रारंभिक वेग u है और वायु प्रतिरोध के बिना पहुँची गई अधिकतम ऊँचाई H है।

गति के समीकरण का उपयोग करते हुए, \(v^2 = u^2 - 2gH\), जहाँ v अंतिम वेग है (जो अधिकतम ऊँचाई पर 0 है),

\(0 = u^2 - 2gH\)

\(\Rightarrow H = \frac{u^2}{2g}\)

वायु प्रतिरोध के साथ, गुरुत्वीय त्वरण \(0.9g\) हो जाता है (क्योंकि यह 10% कम हो गया है)।

मान लीजिये नई अधिकतम ऊँचाई H' है।

संशोधित गति के समीकरण का उपयोग करते हुए, \(v^2 = u^2 - 2(0.9g)H'\),

\(0 = u^2 - 2(0.9g)H'\)

\(\Rightarrow H' = \frac{u^2}{2 \times 0.9g}\)

\(\Rightarrow H' = \frac{u^2}{1.8g}\)

ऊँचाई में प्रतिशत कमी:

\(\frac{H - H'}{H} \times 100 = \frac{\frac{u^2}{2g} - \frac{u^2}{1.8g}}{\frac{u^2}{2g}} \times 100\)

\(\Rightarrow \frac{\frac{u^2}{2g} - \frac{5u^2}{9g}}{\frac{u^2}{2g}} \times 100\)

\(\Rightarrow \frac{9u^2 - 10u^2}{18u^2} \times 100\)

\(\Rightarrow \frac{-u^2}{18u^2} \times 100 = \frac{-1}{18} \times 100 = -\frac{100}{18}\)

\(\Rightarrow -5.56\%\)

सही उत्तर लगभग 9% है। इसलिए,

∴ सही उत्तर विकल्प 3 है

अवधारणा:​

ऊँचाई h<
\( g_h = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2 \)

गहराई h<

g_h = g( 1 - h/R)

स्पष्टीकरण:

जब हम दो व्यंजकों को समान करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

H ∝ R

इसलिए, विकल्प 3) सही है। 

सही उत्तर: 2 m/s2 है। 

हल: पृथ्वी के सापेक्ष किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण ज्ञात करने के लिए, हम गुरुत्वाकर्षण त्वरण के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

\([ g = \frac{G M}{R^2} ]\)

कहाँ:

• ( G ) गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है,
• ( M ) ग्रह का द्रव्यमान है,
• ( R ) ग्रह की त्रिज्या है।

दिया गया:

• ग्रह की त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या की (1/4) वाँ भाग है (माना (Re ) पृथ्वी की त्रिज्या है),
• ग्रह का द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान का (1/80)वाँ भाग है (माना ( Me ) पृथ्वी का द्रव्यमान है),
• पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण ( ge = 10m/s2 ) है।

हमें ग्रह की सतह पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण ( g_p ) ज्ञात करना है।

सबसे पहले, पृथ्वी की सतह पर ज्ञात गुरुत्वाकर्षण त्वरण लिखें: \([ g_e = \frac{G M_e}{R_e^2} ]\)

अब ग्रह के लिए:

नई त्रिज्या, \(( R_p = \frac{R_e}{4} )\) ,
नया द्रव्यमान, \( ( M_p = \frac{M_e}{80} ).\)
ग्रहों का गुरुत्वाकर्षण त्वरण ( g_p ) इस प्रकार दिया जाता है: \([ g_p = \frac{G M_p}{R_p^2} ]\)

( M_p ) और ( R_p ) को प्रतिस्थापित करने पर:

\([ g_p = \frac{G \left(\frac{M_e}{80}\right)}{\left(\frac{R_e}{4}\right)^2} ]\)

समीकरण को सरल करने पर: \([ g_p = \frac{G \left(\frac{M_e}{80}\right)}{\frac{R_e^2}{16}} ] [ g_p = \frac{G M_e}{80} \cdot \frac{16}{R_e^2} ] [ g_p = G M_e \cdot \frac{16}{80 R_e^2} ] [ g_p = G M_e \cdot \frac{1}{5 R_e^2} ]\)

इस प्रकार: \([ g_p = \frac{1}{5} \cdot \frac{G M_e}{R_e^2} ] [ g_p = \frac{1}{5} g_e ]\)

( ( g e = 10 m/s 2 ) प्रतिस्थापित करने पर : \([ g_p = \frac{10}{5} ] [ g_p = 2 , \text{m/s}^2 ]\)

इसलिए, ग्रह की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (2m/s2 ) है।

संकल्पना:

• गुरुत्वीय त्वरण, पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के कारण त्वरण है।
•  \(g = G\frac M{R^2}\) --- (1)
• जहाँ, M = पृथ्वी का द्रव्यमान, R = पृथ्वी की त्रिज्या, G = सार्वत्रिक सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक,
• द्रव्यमान प्रति इकाई आयतन को घनत्व कहते हैं।
• \(ρ = \frac MV\) --- (2)

गणना:

दिया गया है, ग्रह का द्रव्यमान m' = 8 M, 

माना पृथ्वी का घनत्व ρ है, तो ग्रह का घनत्व, ρ' = 8 ρ 

साथ ही, पृथ्वी की त्रिज्या R है और ग्रह की त्रिज्या r है। 

समीकरण 2 से, पृथ्वी की त्रिज्या R,

\(V = \frac Mρ \)

\(\Rightarrow \frac 43 \pi R^3 = \frac M\rho \)

\(\Rightarrow R = (\frac 3{4\pi} \frac M\rho )^{\frac 13}\) --- (3)

और ग्रह की त्रिज्या r है। 

\(V = \frac {8M}{8ρ }\)

\(\Rightarrow \frac 43 \pi r^3 = \frac M\rho \)

\(\Rightarrow r = (\frac 3{4\pi} \frac M\rho )^{\frac 13}\) --- (4)

समीकरणों (3) और (4) से, R = r

अब, पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण निम्न द्वारा दिया जाता है,

\(g = G\frac M{R^2}\) --- (5)

साथ ही, ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण निम्न द्वारा दिया जाता है,

\(g' = G\frac m{r^2} = G\frac {8M}{R^2}\) --- (6)

समीकरण 6 को 5 से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है,

g' = 8g

अवधारणा:

• न्यूटन का दूसरा नियम: निकाय के रैखिक संवेग के परिवर्तन की दर निकाय पर लागू बाहरी बल के अनुक्रमानुपाती होती है और यह परिवर्तन हमेशा लागू बल की दिशा में होता है।

जो निम्न रूप में प्राप्त होता है,

बल = द्रव्यमान × त्वरण

गणना:

दिया हुआ है कि,

त्वरण (a) = 9.8 m/s2

निकाय का वजन = 9.8 N

चूंकि, निकाय का वजन = mg

⇒ द्रव्यमान = वजन/g = 9.8/9.8 = 1 kg

हम जानते हैं कि,

F = m × a

⇒ F = 1 kg × 9.8 m/s2

⇒ F = 9.8 न्यूटन

इसलिए आवश्यक बल की मात्रा 9.8 न्यूटन है।

महत्वपूर्ण बिंदु: हमें चंद्रमा पर 12 Kg के द्रव्यमान वाली वस्तु का वजन प्राप्त करने के लिए कहा जाता है। यह समान नहीं होगा, क्योंकि वजन गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण पर निर्भर है।

संकल्पना:

• निकाय का द्रव्यमान: निकाय का द्रव्यमान निकाय में मौजूद पदार्थ की मात्रा का माप है।
  • निकाय का द्रव्यमान पूरे ब्रम्हांड में समान होता है।
• निकाय का भार: निकाय पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल निकाय का भार कहलाता है।
  • निकाय का भार गुरुत्वाकर्षण के कारण लगने वाले त्वरण द्वारा द्रव्यमान को गुणा करने पर प्राप्त होता है।
  • इसे न्यूटन या Kg Wt में मापा जाता है।

W = mg

• गुरुत्वाकर्षण के कारण लगने वाले त्वरण (g): उस त्वरण को गुरुत्वाकर्षण के कारण लगने वाले त्वरण कहा जाता है जिसके द्वारा एक वस्तु पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के तहत पृथ्वी पर गिरता है।
• g का मान ग्रह के द्रव्यमान और उसकी त्रिज्या पर निर्भर करता है।

\(g = \frac{GM}{R^2}\)

पृथ्वी पर g का मान g = 9.8 ms^-2 है।

गणना:

चंद्रमा पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण पृथ्वी के त्वरण का 1/6 है।

अत: चंद्रमा पर निकाय का भार पृथ्वी के भार का 1/6 है। लेकिन, द्रव्यमान वही रहता है।

अत: निकाय का द्रव्यमान = 12 kg

g = 9.8 m s-2

चंद्रमा का g 

\(g' = \frac{ 9.8}{6}\)

चंद्रमा पर निकाय का भार = mg'

W' = \(mg' = 12\times \frac{ 9.8}{6} = 19.6 \ Newton\)

अतः सही विकल्प 19.6 है।

अवधारणा:

• न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम: न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम में कहा गया है कि इस ब्रह्मांड में प्रत्येक निकाय हर दूसरे निकाय को एक बल के साथ आकर्षित करता है, जो उनके द्रव्यमान के गुणनफल के समान आनुपातिक है और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है।
  • बल की दिशा कणों को मिलाने वाली रेखा के अनुरूप होती है।
• गुरुत्वाकर्षण बल F का परिमाण है

 \(F = \frac{{G{M_1}{M_2}}}{{{r^2}}}\)

जहां G = सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, M1 = पहले निकाय का द्रव्यमान M2 = दूसरे निकाय का द्रव्यमान, और R = निकायों के बीच की दूरी

• गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण: किसी निकाय पर पृथ्वी द्वारा खींचे गए आकर्षण बल को गुरुत्वाकर्षण खिंचाव या गुरुत्वाकर्षण कहते हैं।
  • हम जानते हैं कि जब कोई बल किसी निकाय पर कार्य करता है, तो वह त्वरण पैदा करता है। इसलिए, गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में एक निकाय त्वरित होगा।
  • गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में किसी निकाय की गति में उत्पन्न त्वरण को गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण कहते हैं, इसे g द्वारा निरूपित किया जाता है।
• यदि g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है तो

\(g=\frac{GM}{r^2}=9.8 m/s^2\)

जहां G = गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, M = पृथ्वी का द्रव्यमान R = पृथ्वी की त्रिज्या

गणना: 

दिया गया है:

ग्रह का द्रव्यमान, MP = 1/7 x पृथ्वी का द्रव्यमान 

ग्रह की त्रिज्या (RP) = 1/2 पृथ्वी की त्रिज्या

• गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण होगा-

 \(\Rightarrow {{g}_{P}}=\frac{G{{M}_{P}}}{R_{P}^{2}}=\frac{G\times (\frac{M}{7})}{{{(\frac{R}{2})}^{2}}}=\frac{4GM}{7R^2}\)

\(i.e.,{{g}_{P}}=\frac{4}{7}g=5.6m/{{s}^{2}}....(g=\frac{GM}{{{R}^{2}}})\)

इसलिए विकल्प 1 सभी के बीच सही है

अवधारणा :

• गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण: किसी भी ग्रह द्वारा आकर्षण के गुरुत्वाकर्षण बल के कारण किसी भी वस्तु द्वारा प्राप्त त्वरण को पृथ्वी द्वारा गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण कहा जाता है।
  • चूंकि प्रत्येक ग्रह का एक अलग द्रव्यमान और त्रिज्या है, इसलिए गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण एक अलग ग्रह के लिए अलग होगा।

द्रव्यमान M होनेवाली पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण होता है:

\(g = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\)

जहां G सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है और r ग्रह की त्रिज्या है

वजन (W) = m g

जहाँ m द्रव्यमान है और g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।

गणना :

दिया हुआ है कि:

अन्तरिक्षीय निकाय का द्रव्यमान (M’) = 2 M

अन्तरिक्षीय निकाय की त्रिज्या (R') = 3 R

\(Acceleration\;due\;to\;on\;the\;heavenly\ body\;\left( g \right) = \frac{{GM'}}{{{{R'}^2}}} = \frac{{G × 2\;M}}{{{{\left( {3R} \right)}^2}}} = \frac{{2GM}}{{9\;{R^2}}} = \frac{2g}{9}\)

पृथ्वी पर वजन (W) = mg = 900 N

अन्तरिक्षीय निकाय पर वजन (W') = m g' = 2mg/9 = (2 × 900)/9 = 200 N

तो विकल्प 4 सही है।

अवधारणा :

• गुरुत्वाकर्षण त्वरण: त्वरण जो किसी निकाय को उस पर कार्य करने वाले गुरुत्वीय बल के कारण प्राप्त होता है।

• गुरुत्वाकर्षण त्वरण: इसकी गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

\(g = {GM\over R^2}\)

जहाँ g गुरुत्वीय त्वरण है, G गुरुत्वाकर्षण नियतांक है, M पृथ्वी का द्रव्यमान है और R पृथ्वी की त्रिज्या है।

व्याख्या:

• जब कोई वस्तु निर्वात में स्वतंत्र रूप से पृथ्वी की सतह पर गिरती है तो यह गुरुत्वीय त्वरण g के साथ गिरती है।

किसी भी वस्तु का गुरुत्वीय त्वरण \(g = {GM\over R^2}\) पृथ्वी के द्रव्यमान M, पृथ्वी के त्रिज्या R पर निर्भर करता है।

• यह वस्तु के द्रव्यमान या वस्तु के आकार पर निर्भर नहीं करता है।
• तो सभी वस्तुओं में समान त्वरण होगा।
• इसलिए सही उत्तर विकल्प 4 है।

अवधारणा:

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण:

• किसी भी ग्रह द्वारा आकर्षण के गुरुत्वाकर्षण बल के कारण किसी भी वस्तु द्वारा प्राप्त त्वरण को पृथ्वी द्वारा गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण कहा जाता है।
• चूंकि प्रत्येक ग्रह का एक अलग द्रव्यमान और त्रिज्या है, इसलिए गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण एक अलग ग्रह के लिए अलग होगा।
• पृथ्वी की सतह पर किसी भी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण निम्न द्वारा दिया जाता है:

g' = g - r ω ² Cos ϕ 

जहां जी पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है, आर कुछ यादृच्छिक बिंदु पर r त्रिज्या है, ω कोणीय गति है और φ कोण है।

स्पष्टीकरण:

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का मान है

ध्रुव पर: φ = 90°

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g’Pole) = g – r ω2 Cos 90° = g

भूमध्य रेखा पर: φ = 0°

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g’equator) = g – r ω2 Cos 0° = g – r ω2

स्पष्ट रूप से, हम देख सकते हैं कि g का मान ध्रुव से भूमध्य रेखा में बदलता रहता है। यह ध्रुव पर अधिकतम और भूमध्य रेखा पर न्यूनतम है।

इसलिए, यह ध्रुव से भूमध्य रेखा पर जाने पर कम हो रहा है।

संकल्पना:

• गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण: किसी भी ग्रह द्वारा आकर्षण के गुरुत्वाकर्षण बल के कारण किसी भी वस्तु द्वारा प्राप्त त्वरण को पृथ्वी द्वारा गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण कहा जाता है।
  • चूंकि प्रत्येक ग्रह का एक अलग द्रव्यमान और त्रिज्या होती है इसलिए गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण एक अलग ग्रह के लिए अलग होगा।
• वजन: किसी वस्तु का वजन (w) वस्तु पर गुरुत्वाकर्षण बल है और इसे गुरुत्वाकर्षण के त्वरण (g) के द्रव्यमान (m) गुणा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
  • भार एक बल है, भार का SI मात्रक न्यूटन है।

वजन (W) = m g

जहाँ m द्रव्यमान है और g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।

g का मान इस प्रकार दिया गया है

\(g = \frac{GM}{R^2}\)

G सार्वत्रिक नियतांक है, M ग्रह का द्रव्यमान है, R ग्रह की त्रिज्या है।

g ग्रह के द्रव्यमान और त्रिज्या पर निर्भर करता है।

व्याख्या:

• चन्द्रमा का द्रव्यमान 1/100 गुना है और चन्द्रमा की त्रिज्या पृथ्वी की 1/4 गुना है।
• चूँकि चन्द्रमा के गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण पृथ्वी के त्वरण का छठा भाग है।
• अतः चंद्रमा पर किसी वस्तु का भार = 1/6 × पृथ्वी की सतह पर किसी वस्तु का भार।
• यदि पृथ्वी पर भार 10 N है, तो यह निम्न होगा

चंद्रमा पर 10 N / 6 

10 / 6 = 1.67

अतः सही विकल्प 1.67 N है।

अवधारणा :

• गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण: किसी भी ग्रह द्वारा आकर्षण के गुरुत्वाकर्षण बल के कारण किसी भी वस्तु द्वारा प्राप्त त्वरण को पृथ्वी द्वारा गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण कहा जाता है।
  • चूंकि प्रत्येक ग्रह का एक अलग द्रव्यमान और त्रिज्या है, इसलिए गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण एक अलग ग्रह के लिए अलग होगा।
• वजन: किसी वस्तु का वजन (W) वस्तु पर गुरुत्वाकर्षण का बल है और इसे द्रव्यमान (m) गुना गुरुत्वाकर्षण के त्वरण (g) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
  • वजन एक बल है, वजन की SI इकाई न्यूटन है।

वजन (W) = m g

जहाँ m द्रव्यमान है और g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।

• चंद्रमा का द्रव्यमान 1/100 गुना है और चंद्रमा की त्रिज्या पृथ्वी के 1/4 गुना है।
• चूंकि चंद्रमा के गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण पृथ्वी का एक-छठा हिस्सा है।
• इसलिए चंद्रमा पर किसी भी वस्तु का वजन = 1/6 × पृथ्वी की सतह पर किसी भी वस्तु का वजन।

गणना:

दिया हुआ है कि:

वस्तु का द्रव्यमान (m) = 12 kg

पृथ्वी पर g = 9.8 m/s²

चंद्रमा पर गुरुत्वाकर्षण = g' = g/6

चंद्रमा पर वस्तु का वजन = mg'= mg/6 = (12 × 9.8)/6 = 19.6 N

तो विकल्प 2 सही है।

धारणा:

• गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण: किसी ग्रह द्वारा गुरुत्वाकर्षण बल के कारण किसी वस्तु द्वारा प्राप्त त्वरण को उस ग्रह द्वारा गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण कहा जाता है।
  • चूँकि प्रत्येक ग्रह का अलग-अलग द्रव्यमान और त्रिज्या होती हैं इसलिए गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण अलग-अलग ग्रह के लिए अलग होगा।

• भार: किसी वस्तु का भार (w) वस्तु पर गुरुत्वाकर्षण का बल है और इसे गुरुत्वाकर्षण के त्वरण (g) और द्रव्यमान (m) के गुणन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
  • भार एक बल है, भार की SI इकाई न्यूटन है।

भार (W) = m g

जहाँ m द्रव्यमान है और g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।

• चंद्रमा का द्रव्यमान पृथ्वी के 1/100 गुना है और चंद्रमा की त्रिज्या पृथ्वी के 1/4 गुना है।
• चूँकि चंद्रमा पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का छठा भाग है।
• चंद्रमा पर किसी वस्तु का भार = 1/6 × पृथ्वी की सतह पर किसी वस्तु का भार

व्याख्या:

किसी भी वस्तु का भार पृथ्वी की सतह पर 30 N होता है

चंद्रमा पर किसी वस्तु का भार = 1/6 × पृथ्वी की सतह पर किसी वस्तु का भार = 30 × 1/6 = 5 N

संकल्पना:

•  पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण,
   \(g=\frac{GM}{R^2}\), जहाँ G = सार्वभौमिक गुरुत्वीय स्थिरांक, M = द्रव्यमान, R = त्रिज्या
• गोले का आयतन, \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)

घनत्व:

• इसे द्रव्यमान प्रति इकाई आयतन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• सूत्र, \(d=\frac{M}{V}\), जहाँ M = द्रव्यमान, V = आयतन, d = घनत्व
• घनत्व की SI इकाई यदि kg/m3 है।

गणना:

पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण, \(g=\frac{GM}{R^2}\)

\(\Rightarrow M=\frac{gR^2}{G}\)

घनत्व, \(f=\frac{M}{V}\)

\(d=\frac{gR^2/G}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3g}{4\pi GR}\)