Energy of an orbiting satellite MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Energy of an orbiting satellite - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

एक वृत्ताकार कक्षा में, गुरुत्वाकर्षण बल उपग्रह को आवश्यक अभिकेंद्र त्वरण प्रदान करता है, अर्थात्,

mv² / R = GMm / R² ⇒ v = √(GM / R)

इसलिए, कक्षीय चालों का अनुपात:

v₁ / v₂ = √(R₂ / R₁) = √(4) = 2

अनुपात P → 2

कोणीय संवेग: L = m v R

L₁ / L₂ = (m₁ v₁ R₁) / (m₂ v₂ R₂) = (2 x 2 x 1) / (1 x 1 x 4) = 1

अनुपात Q → 2

गतिज ऊर्जा: K = (1/2) m v²

K₁ / K₂ = (1/2) m₁ v₁² / (1/2) m₂ v₂² = m₁ / m₂ x (v₁ / v₂)² = 2 x (2)² = 8

अनुपात R → 4

आवर्तकाल: T = 2πR / v

T₁ / T₂ = (2πR₁ / v₁) / (2πR₂ / v₂) = (R₁ / R₂) x (v₂ / v₁) = (1 / 4) x (1 / 2) = 1 / 8

अनुपात S → 1

अवधारणा:

वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा निम्न द्वारा दी जाती है:

\(U=-\frac{G M_e m}{2 r} \)

गणना:

⇒ \(\frac{U_A}{U_B}=\frac{m_A}{m_B} \times \frac{r_B}{r_A}\)

⇒ \(\frac{U_A}{U_B}=\frac{4}{3} \times \frac{4}{3}=\frac{16}{9}\)

∴ उपग्रह A की कुल यांत्रिक ऊर्जा का उपग्रह B की कुल यांत्रिक ऊर्जा से अनुपात 16:9 है। 

\(v_{1}^{2} = \dfrac{GM}{R_1}, v_{2}^{2} = \dfrac{GM}{R_2}\)

\(\dfrac{ v_{1}^{2}}{ v_{2}^{2}} = \dfrac{R_2}{R_1} = 4\)

(P) \(\dfrac{v_1}{v_2} = 2\)

(Q) L = mvR

\(\dfrac{L_1}{L_2} = \dfrac{m_1v_1R_1}{m_2v_2R_2} = 2 \times 2 \times \dfrac{1}{4} = 1\)

(R) K = \(\dfrac{1}{2} mv^2\)

\(\dfrac{K_1}{K_2} = \dfrac{m_1v^{2}_{1}}{m_2v^{2}_{2}} = 2 \times (2)^2 = 8\)

(S) T = \( 2 \pi R / v\)

\(\dfrac{T_1}{T_2} = \dfrac{R_1}{v_1} \times \dfrac{v_2}{R_2} = \dfrac{R_1}{R_2} \times \dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}\)

स्पष्टीकरण:

प्रणाली की कुल ऊर्जा निम्न द्वारा दी गयी है:

\(E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GmM}{r}\) . (1)

कक्षा वृत्ताकार है, वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक बल निम्न प्रकार से दिया जाता है:

\(F_G=F_{\text{centripetal force}} \\ \frac{GmM}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \\ \frac{GmM}{r}=mv^2 \quad (2)\)

(2) का मान (1) में रखने पर

\(E=-\frac{1}{2}mv^2 \\ \quad =-\frac{1}{2}\times 10\times200^2 \\ \quad =-200 \text{ kJ}\)

इस प्रकार, सही उत्तर 200 है।

अवधारणा:

वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा निम्न द्वारा दी जाती है:

\(U=-\frac{G M_e m}{2 r} \)

गणना:

⇒ \(\frac{U_A}{U_B}=\frac{m_A}{m_B} \times \frac{r_B}{r_A}\)

⇒ \(\frac{U_A}{U_B}=\frac{4}{3} \times \frac{4}{3}=\frac{16}{9}\)

∴ उपग्रह A की कुल यांत्रिक ऊर्जा का उपग्रह B की कुल यांत्रिक ऊर्जा से अनुपात 16:9 है। 

अवधारणा:
उपग्रह का कक्षीय वेग -

• उपग्रह प्राकृतिक या कृत्रिम पिंड हैं जो अपने गुरुत्वाकर्षण के अधीन किसी ग्रह के चारों ओर एक कक्षा बनाते हैं।
• उपग्रह का कक्षीय वेग पृथ्वी के चारों ओर की कक्षा में उपग्रह को भेजने के लिए आवश्यक वेग है।
• पृथ्वी के चारों ओर एक उपग्रह के परिक्रमण के लिए गुरुत्वीय खिंचाव आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।​
• पृथ्वी के चारों ओर एक उपग्रह के परिक्रमण के लिए गुरुत्वीय खिंचाव आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।

\(\Rightarrow v = \sqrt {\frac{{GM}}{r}}\)              .......2)

जहाँ G = सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, M = पृथ्वी का द्रव्यमान, r = पृथ्वी और उपग्रह के बीच की दूरी और v = उपग्रह का वेग

व्याख्या:

• उपग्रह का कक्षीय वेग निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\Rightarrow v = \sqrt {\frac{{GM}}{r}}\)

• उपरोक्त समीकरण से, यह स्पष्ट है कि उपग्रह का कक्षीय वेग उपग्रह के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।
• गेंद की गति उपग्रह की तरह ही होगी, इसलिए जब गेंद को 120 Km की ऊंचाई पर पृथ्वी के चारों ओर घूमने वाले उपग्रह से गिराया जाता है, तो यह उपग्रह की मूल कक्षा के साथ उसी गति से आगे बढ़ना जारी रखेगा। इसलिए विकल्प 2 सही है।

अवधारणा:

उपग्रह:

• उपग्रह प्राकृतिक या कृत्रिम निकाय हैं जो अपने गुरुत्वीय आकर्षण के अधीन किसी ग्रह के चारों ओर एक कक्षा का वर्णन करते हैं।
• चंद्रमा एक प्राकृतिक उपग्रह है।

गतिज ऊर्जा

• अपनी गति के गुण के कारण निकाय में निहित ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहा जाता है।

\(\Rightarrow KE=\frac{1}{2}mv^{2}\)

गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा:

• किसी को भी अनंत से गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक बिंदु पर लाने में किए गए कार्य को उस बिंदु पर उस निकाय की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा कहा जाता है।
• पृथ्वी की सतह से ऊंचाई h पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार है

\(\Rightarrow U=-\frac{GMm}{R+h}\)

जहां U = गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा, KE = गतिज ऊर्जा, M = पृथ्वी का द्रव्यमान, m = निकाय का द्रव्यमान, R = पृथ्वी की त्रिज्या, v = वेग, और h= पृथ्वी की सतह से ऊंचाई

गणना:

• हम जानते हैं कि उपग्रह की गतिज ऊर्जा इस प्रकार होगी-

\(\Rightarrow E_{K}=\frac{GMm}{2r}\)     -----(1)

• हम जानते हैं कि उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार होगी-

\(\Rightarrow E_{P}=\frac{GMm}{r}\)     -----(2)

जहां r= ग्रह के केंद्र से उपग्रह की दूरी

समीकरण 1 और समीकरण 2 से,

\(\Rightarrow \frac{E_{K}}{E_{P}}=\frac{1}{2}\)

• इसलिए, विकल्प 1 सही है।

सही उत्तर विकल्प 4 ) है अर्थात ऋणात्मक

अवधारणा :

• एक उपग्रह की समयावधि: यह उपग्रह द्वारा पृथ्वी के चारों ओर एक पूर्ण चक्कर लगाने में लगने वाले समय को समयावधि कहा जाता है।
  • त्रिज्या R की पृथ्वी की सतह से ऊँचाई h पर पृथ्वी के परिक्रमा उपग्रह पर विचार करें।

  • उपग्रह की कक्षा की परिधि = 2π(R + h)

• ऊँचाई पर उपग्रह का कक्षीय वेग निम्न द्वारा दिया जाता है,

\(\Rightarrow v_0 =\sqrt{\frac{GM}{R+h}}\)

जहाँ M पृथ्वी का द्रव्यमान है।

• एक वृत्ताकार कक्षा में द्रव्यमान m के उपग्रह की गतिज ऊर्जा इस प्रकार है

\(KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{R+h})\)

• पृथ्वी के केंद्र से दूरी (R + h) पर स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार है

\(PE = -\frac{GmM}{R+h}\)

• वृत्ताकार रूप से परिक्रमा करने वाले उपग्रह की कुल ऊर्जा इस प्रकार है

\(TE = KE +PE =\frac{1}{2}(\frac{GmM}{R+h}) + (-\frac{GmM}{R+h})=-\frac{GmM}{2(R+h)}\)

व्याख्या :

हम जानते हैं कि, \(TE = -\frac{GmM}{2(R+h)}\)

• ऊर्जा के मान में एक ऋणात्मक चिन्ह दर्शाता है कि उपग्रह और पृथ्वी के बीच बल की प्रकृति आकर्षक है ।
• इस प्रकार, एक वृत्ताकार परिक्रमा करने वाले उपग्रह की कुल ऊर्जा ऋणात्मक होती है।

सही उत्तर विकल्प 4) है अर्थात उपरोक्त सभी

अवधारणा :

• एक उपग्रह की समयावधि: यह उपग्रह द्वारा पृथ्वी के चारों ओर एक पूर्ण चक्कर लगाने में लगने वाले समय को समयावधि कहा जाता है।
  • त्रिज्या R की पृथ्वी की सतह से ऊँचाई h पर पृथ्वी के परिक्रमा उपग्रह पर विचार करें।

  • उपग्रह की कक्षा की परिधि = 2π(R + h)

• ऊँचाई पर उपग्रह का कक्षीय वेग निम्न द्वारा दिया जाता है,

\(\Rightarrow v_0 =\sqrt{\frac{GM}{R+h}}\)

जहाँ M पृथ्वी का द्रव्यमान है।

• एक वृत्ताकार कक्षा में द्रव्यमान m के उपग्रह की गतिज ऊर्जा इस प्रकार है

\(KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{R+h})\)

• पृथ्वी के केंद्र से दूरी (R + h) पर स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार है

\(PE = -\frac{GmM}{R+h}\)

• वृत्ताकार रूप से परिक्रमा करने वाले उपग्रह की कुल ऊर्जा इस प्रकार है

\(TE = KE +PE =\frac{1}{2}(\frac{GmM}{R+h}) + (-\frac{GmM}{R+h})=-\frac{GmM}{2(R+h)}\)

व्याख्या:

• कक्षीय वेग पृथ्वी से दूरी के विपरीत आनुपातिक है। इसलिए, जैसे ही उपग्रह पृथ्वी के करीब आता है, गति अधिकतम हो जाती है।
• उपग्रह की कुल ऊर्जा का पृथ्वी से दूरी के साथ विपरीत संबंध है।

\(TE \propto \frac{-1}{r}\)

• इसलिए, जैसे-जैसे उपग्रह की कक्षाएँ पृथ्वी के समीप होती हैं, पृथ्वी और उपग्रह की कुल ऊर्जा न्यूनतम (ऋणात्मक मान) होती है।
• जैसे-जैसे उपग्रह कक्षाएँ पृथ्वी के करीब होंगी, यह कम समय में एक क्रांति को पूरा करने में सक्षम होंगी। इसलिए, इसकी समयावधि न्यूनतम हो जाती है।
• इसलिए, उपरोक्त सभी कथन सही हैं।

अवधारणा :

• पृथ्वी के चारों ओर घूमने वाले उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा (E) स्थितिज ऊर्जा (U) और गतिज ऊर्जा (K) का योग है ।

⇒ E = U + K

\(\Rightarrow E = -\frac{GMm}{r}+\frac{1}{2}\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{2r}\)

जहाँ M = पृथ्वी का द्रव्यमान, m = उपग्रह का द्रव्यमान और r = कक्षा की त्रिज्या

गणना :

दिया गया - वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या = a और निकायों का द्रव्यमान M और m हैं

• प्रणाली की कुल ऊर्जा  द्वारा दी गई है

\(\Rightarrow E=-\frac{GMm}{2a}\)

सही उत्तर विकल्प 2 ) है अर्थात E = -KE

अवधारणा :

• एक उपग्रह की समयावधि: यह उपग्रह द्वारा पृथ्वी के चारों ओर एक पूर्ण चक्कर लगाने में लगने वाले समय को समयावधि कहा जाता है।
  • त्रिज्या R की पृथ्वी की सतह से ऊँचाई h पर पृथ्वी के परिक्रमा उपग्रह पर विचार करें।

  • उपग्रह की कक्षा की परिधि = 2π(R + h)

• ऊँचाई पर उपग्रह का कक्षीय वेग निम्न द्वारा दिया जाता है,

\(⇒ v_0 =\sqrt{\frac{GM}{R+h}}\)

जहाँ M पृथ्वी का द्रव्यमान है।

• वृत्ताकार कक्षा में द्रव्यमान m के उपग्रह की गतिज ऊर्जा इस प्रकार है

\(KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{R+h})\)

• पृथ्वी के केंद्र से दूरी (R + h) पर स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार है

\(PE = -\frac{GmM}{R+h}\)

• वृत्ताकार रूप से परिक्रमा करने वाले उपग्रह की कुल ऊर्जा इस प्रकार है

\(TE = KE +PE =\frac{1}{2}(\frac{GmM}{R+h}) + (-\frac{GmM}{R+h})=-\frac{GmM}{2(R+h)}\)

व्याख्या:

परिक्रमा करने वाले उपग्रह की कुल ऊर्जा (E) और उसकी गतिज ऊर्जा (KE) के बीच का संबंध निम्नानुसार है:

E = -KE।

संकल्पना:

• त्रिज्या 'r' की वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे 'm' द्रव्यमान के उपग्रह के लिए,
• गतिज ऊर्जा निम्न द्वारा दी जाती है,

\(\Rightarrow K.E = \frac{{GMm}}{{2r}}\)

• स्थितिज उर्जा निम्न द्वारा दी जाती है,

\(\Rightarrow P.E = - \frac{{GMm}}{r}\)

• कक्षीय गति निम्न द्वारा दी जाती है,

\(\Rightarrow v = \sqrt {\frac{{GM}}{r}} \)

गणना:

दिया गया है: उपग्रह द्रव्यमान = m, कक्षीय गति = v;

• उपरोक्त संबंधों से, कुल ऊर्जा निम्न द्वारा दी गई है,

\(\Rightarrow E = \frac{{GMm}}{{2r}} + \left( { - \frac{{GMm}}{r}} \right) \)

\( \Rightarrow E = - \frac{{GMm}}{{2r}}\)

• कक्षीय गति के संदर्भ में,

\(\Rightarrow E = \; - \frac{1}{2}m\left( {\frac{{GM}}{r}} \right) = - \frac{1}{2}m{v^2} \)

सही उत्तर विकल्प 1) है अर्थात ऊर्जा के शून्य होने पर वस्तु अनंत तक पलायन कर जाती है

अवधारणा :

• एक उपग्रह की समयावधि: यह उपग्रह द्वारा पृथ्वी के चारों ओर एक पूर्ण चक्कर लगाने में लगने वाले समय को समयावधि कहा जाता है।
  • त्रिज्या R की पृथ्वी की सतह से ऊँचाई h पर पृथ्वी के परिक्रमा उपग्रह पर विचार करें।

  • उपग्रह की कक्षा की परिधि = 2π(R + h)

• ऊँचाई पर उपग्रह का कक्षीय वेग निम्न द्वारा दिया जाता है,

\(⇒ v_0 =\sqrt{\frac{GM}{R+h}}\)

जहाँ M पृथ्वी का द्रव्यमान है।

• एक वृत्ताकार कक्षा में द्रव्यमान m के उपग्रह की गतिज ऊर्जा इस प्रकार है

\(KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{R+h})\)

• पृथ्वी के केंद्र से दूरी (R + h) पर स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार है

\(PE = -\frac{GmM}{R+h}\)

• एक वृत्ताकार रूप से परिक्रमा करने वाले उपग्रह की कुल ऊर्जा इस प्रकार है

\(TE = KE +PE =\frac{1}{2}(\frac{GmM}{R+h}) + (-\frac{GmM}{R+h})=-\frac{GmM}{2(R+h)}\)

व्याख्या:

• एक परिक्रमा करने वाले उपग्रह की कुल ऊर्जा कक्षा की त्रिज्या के विपरीत आनुपातिक है।
• उपग्रह हमेशा पृथ्वी से एक सीमित दूरी पर होते हैं और इसलिए उनकी ऊर्जा धनात्मक या शून्य नहीं हो सकती है ।
• उपग्रह की ऊर्जा शून्य हो सकती है जब कक्षीय त्रिज्या अनंत होती है अर्थात वस्तु अनंत तक पलायन कर जाती है।

सही उत्तर विकल्प 2) है अर्थात इसकी गतिज ऊर्जा कम हो जाती है

अवधारणा :

• एक उपग्रह की समयावधि: यह उपग्रह द्वारा पृथ्वी के चारों ओर एक पूर्ण चक्कर लगाने में लगने वाले समय को समयावधि कहा जाता है।
• त्रिज्या R की पृथ्वी की सतह से ऊँचाई h पर पृथ्वी के परिक्रमा उपग्रह पर विचार करें।
• उपग्रह की कक्षा की परिधि = 2π(R + h)
• ऊँचाई पर उपग्रह का कक्षीय वेग निम्न द्वारा दिया जाता है,

\(⇒ v_0 =\sqrt{\frac{GM}{R+h}}\)

जहाँ M पृथ्वी का द्रव्यमान है।

• एक वृत्ताकार कक्षा में द्रव्यमान m के उपग्रह की गतिज ऊर्जा इस प्रकार है

\(KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{R+h})\)

• पृथ्वी के केंद्र से दूरी (R + h) पर स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार है

\(PE = -\frac{GmM}{R+h}\)

• वृत्ताकार रूप से परिक्रमा करने वाले उपग्रह की कुल ऊर्जा इस प्रकार है

\(TE = KE +PE =\frac{1}{2}(\frac{GmM}{R+h}) + (-\frac{GmM}{R+h})=-\frac{GmM}{2(R+h)}\)

व्याख्या:

• गतिज ऊर्जा एक परिक्रमा करने वाले  उपग्रह के लिए पृथ्वी के केंद्र से रेडियल दूरी के विपरीत आनुपातिक है।
• इसलिए, जब किसी उपग्रह की परिक्रमा की त्रिज्या बढ़ जाती है तो उसकी गतिज ऊर्जा कम हो जाती है।

अवधारणा:

• कक्षीय वेग: कक्षीय वेग वह वेग है जिसके साथ एक निकाय या उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर एक वृतीय कक्षा में घूमता है । कक्षीय वेग के लिए अभिव्यंजना इस प्रकार है,

\(\Rightarrow {\rm{v}} = \sqrt {\frac{{{\rm{GM}}}}{{\rm{r}}}} \)

अभिव्यंजना से, चूंकि G गुरुत्वाकर्षण नियतांक है, और M पृथ्वी का द्रव्यमान है, स्थिर हैं,

गणना:

दिया गया है: ग्रहों के द्रव्यमान m और 3m के लिए कक्षीय त्रिज्या क्रमश: 3r और r है

\(\Rightarrow {\rm{v}} \propto \sqrt {\frac{1}{{\rm{r}}}} \)

• इसका अर्थ यह है कि कक्षीय वेग उपग्रह के कक्षीय त्रिज्या पर निर्भर करता है लेकिन उपग्रह के द्रव्यमान पर नहीं । संबंध से, हम इस प्रकार एक समीकरण बनाते हैं,

\(\Rightarrow \frac{{{{\rm{v}}_1}}}{{{{\rm{v}}_2}}} = \sqrt {\frac{{{{\rm{r}}_2}}}{{{{\rm{r}}_1}}}} \)

प्रश्न में

\(\Rightarrow \frac{{{{\rm{r}}_1}}}{{{{\rm{r}}_2}}} = \frac{1}{3}\)

तब,

\(\Rightarrow \frac{{{{\bf{v}}_1}}}{{{{\bf{v}}_2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{1}\)