Circles MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Circles - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

बिंदु A को वृत्त की परिधि पर किसी भी बिंदु पर लिया जा सकता है।

इसलिए, अपर्याप्त आँकड़ों के कारण A के निर्देशांक निर्धारित नहीं किए जा सकते।

∴ विकल्प (d) सही है

व्याख्या:

⇒ BC = \(√{(6+8)^2+ (8-6)^2} =√200 = 10√2\)

मान लीजिये O वृत्त का केंद्र है

x² +y² = 100,

त्रिज्या = OB = OC = 10 इकाई

OB² + OC² = \(√{100+100} = 10√2\)

∆BOC में, OB² + OC² = BC² = (10√2 )²

= 200

इसलिए ∠ BOC = 90° (पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से)

तब, ∠ BAC = 45° या 180° - 45° = \(\frac{\pi}{4} या \frac{3\pi}{4}\) .. ((वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण केंद्र पर अंतरित कोण का आधा होता है।)

∴ विकल्प (c) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है

वृत्त का समीकरण है

(x2 - 4x + 3) + (y2 - 6y + 8) = 0

⇒ (x - 3) (x - 1) + (y - 4) (y - 2)= 0

इसलिए व्यास के संभावित सिरे (3, 4), (3, 2), (1, 4) और (1, 2) हैं।

इसके अलावा, त्रिज्या = √2

केंद्र = (2,3)

इसलिए व्यास के आवश्यक जोड़े के सिरे हैं (I) (1, 2) और (3, 4) और (II) (1, 4) और (3, 2).

∴ विकल्प (a) सही है।

1. केंद्रों \( (g_1, f_1) \) और \( (g_2, f_2) \) तथा त्रिज्याओं \( r_1 \) और \( r_2 \) वाले दो वृत्तों के लांबिक होने की शर्त है: \( 2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2 \)

2. यदि त्रिज्याओं \( r_1 \) और \( r_2 \) और केंद्रों के बीच की दूरी d वाले दो वृत्तों के बीच का कोण \( \theta \) है, तो \( d^2 = r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2\cos\theta \)

गणनाएँ:

दिया गया है:

वृत्त S: \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \)

वृत्त 1: \( x^2 + y^2 - 6x - 6y - 6 = 0 \)

वृत्त 2: \( x^2 + y^2 + 6x + 6y + 2 = 0 \)

S, वृत्त 1 को लांबिक रूप से प्रतिच्छेद करता है।

S और वृत्त 2 के बीच का कोण \( 60^\circ \) है।

⇒ वृत्त 1 के लिए: \( g_1 = -3, f_1 = -3, c_1 = -6 \)

⇒ वृत्त 2 के लिए: \( g_2 = 3, f_2 = 3, c_2 = 2 \)

⇒ S, वृत्त 1 को लांबिक रूप से प्रतिच्छेद करता है: \( 2g(-3) + 2f(-3) = c - 6 \) अर्थात् \( -6g - 6f = c - 6 \) ...(1)

⇒ S का केंद्र \( (-g, -f) \), त्रिज्या \( r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} \)

⇒ S और वृत्त 2 के केंद्रों के बीच की दूरी: \( d^2 = (-g - 3)^2 + (-f - 3)^2 \)

⇒ वृत्त 2 की त्रिज्या: \( r_2 = \sqrt{3^2 + 3^2 - 2} = \sqrt{16} = 4 \)

⇒ \( d^2 = r^2 + r_2^2 + 2rr_2\cos 60^\circ \)

⇒ \( g^2 + 9 + 6g + f^2 + 9 + 6f = g^2 + f^2 - c + 16 +\frac{1}{2} 2(4)\sqrt{g^2 + f^2 - c}\)

⇒ \( 6g + 6f + 2 + c = 4\sqrt{g^2 + f^2 - c} \)

⇒ (1) से, \( c = -6g - 6f + 6 \)

⇒ \( 6g + 6f + 2 - 6g - 6f + 6 = 4\sqrt{g^2 + f^2 + 6g + 6f - 6} \)

⇒ \( 8 = 4\sqrt{g^2 + f^2 + 6g + 6f - 6} \)

⇒ \( 4 = g^2 + f^2 + 6g + 6f - 6 \)

⇒ \( g^2 + f^2 + 6g + 6f = 10 \)

\( r^2 = g^2 + f^2 - c = g^2 + f^2 + 6g + 6f - 6 = 10 - 6 = 4 \)

⇒ \( r = 2 \)

∴ वृत्त S की त्रिज्या 2 है।

गणना:

दिया गया है, x2 + y2 = 9 और x2 + y2 + 6y + c = 0

प्रथम वृत्त का केन्द्र, C1 = (0, 0) तथा त्रिज्या r1 = 3

दूसरे वृत्त का केन्द्र, C₂ = (0,− 3) तथा त्रिज्या r2 = \(\sqrt{9-c}\)

स्थिति 1: वृत्त एक दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।

⇒ C1C2 = r1 + r2 

⇒ 3 = 3 + \(\sqrt{9-c}\)

⇒ \(\sqrt{9-c}\) = 0

⇒ c = 9

स्थिति 2: वृत्त एक दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।

⇒ C1C2 = |r1 - r2|

⇒ 3 = |3 - \(\sqrt{9-c}\) |

⇒ ± 3 = 3 - |

⇒ \(\sqrt{9-c}\) = - 6

⇒ 9 - c = 36

⇒ c = - 27

∴ c का मान - 27 है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

दिया गया है:

∠ACB = 116°

प्रयुक्त अवधारणा:

जब एक चतुर्भुज को एक वृत्त में अंतर्निहित किया जाता है, तो उसके सम्मुख कोण संपूरक कोण होते हैं।

केंद्र पर अंतरित कोण, हमेशा शेष चाप पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।

वृत्त के केंद्र से स्पर्शरेखा के बिंदु तक की त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत होती है।

गणना:

बिंदु P को वृत्त के दीर्घ चाप पर लिया जाता है।

तब, A & P, B & P, C & B, और A & C को मिलाया जाता है।

∠ACB = 116°

अब, ∠APB = (180 – 116)° = 64°

अब, ∠AOB = (64 × 2)°

⇒ 128°

चूँकि OA = OB = वृत्त की त्रिज्या

इसलिए,

∠ADB = 360° - (∠OBD + ∠OAD + ∠AOB)

⇒ ∠ADB = 360° - (90° + 90° + 128°)

⇒ ∠ADB = 360° - 308°

⇒ ⇒ ∠ADB = 52° 

∴ ∠ADB का अभीष्ट माप ​52° है।

संकल्पना:

x और y में एक वृत्त के सामान्य द्वितीय डिग्री वाले समीकरण को: x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 द्वारा ज्ञात किया गया है, जिसका केंद्र (-g, -f) और त्रिज्या \(\rm r = \sqrt {{g^2} + {f^2} - c} \) है। 

गणना:

दिया गया है: 2x2 + 2y2 + 8x + 8y + 4 = 0 

⇒ 2 × (x2 + y2 + 4x + 4y + 2) = 0

⇒ x2 + y2 + 4x + 4y + 2 = 0 केंद्र C और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण है। 

वृत्त के समीकरण की तुलना समीकरण x 2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 के साथ करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

g = 2, f =  2 और c = 2

चूँकि हम जानते हैं, त्रिज्या = \(\rm r = \sqrt {{g^2} + {f^2} - c} \)

\(\rm r = \sqrt {{4} + {4} - 2} \)

r = √6 इकाई

अवधारणा: 

केंद्र से कोई भी रेखा जो जीवा को समद्विभाजित करती है, जीवा के लंबवत होती है।

पाइथागोरस प्रमेय: 

h2 = b2 + p2

गणना:

r2 = 42 + 32

⇒ r = 5

∴ वृत्त का व्यास = 2r = 2 × 5

⇒ 10 सेमी 

Shortcut Trickट्रिपlलेट से:

3, 4 और 5 

व्यास की लंबाई = 2 × 5 = 10

संकल्पना:

X- अक्ष पर y- अंतर्खंड शून्य होगा, इसी प्रकार Y- अक्ष पर x- अंतर्खंड शून्य होगा।

गणना:

Y- अक्ष पर x- अंतर्खंड = 0

इसलिए,

\(\rm x^2+y^2 +4x-7y+12=0\\ ⇒ y^2-7y+12=0\\ ⇒ y^2-4y-3y+12=0\\ ⇒ y(y-4)-3(y-4) =0 \\ ⇒ (y-3)(y-4)=0\)

y = 3 और 4

बिंदु (0, 3) और (0, 4)

अब लंबाई =

\(=\sqrt{0^2+(3-4)^2}\\ =1\)

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

दिया गया है:

∠CAB = 52° और ∠ABD = 47°

प्रयुक्त अवधारणा:

परिधि पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा बनाया गया कोण 90°के बराबर होता है

गणना:

अवधारणा के अनुसार,

∠ACB = ∠ADB = 90°

इसलिए, ∠CBA = 180° - (90° + 52°)

⇒ 180° - 142°

⇒ 38°

इसी प्रकार,

∠BAD = 180° - (90° + 47°)

⇒ 180° - 137°

⇒ 43°

इसलिए, ∠CAD = 52° + 43°

⇒ 95°

∠CBD = 38° + 47°

⇒ 85°

अब,

∠CAD - ∠CBD = 95° - 85°

⇒ 10°

∴ ∠CAD और ∠CBD के मापों के बीच का अंतर (डिग्री में) 10 है।

दिया गया:

त्रिज्या + व्यास = 84 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

व्यास = 2 x त्रिज्या

परिधि = 2πr

गणना:

माना त्रिज्या R है, तो व्यास 2R है।

अब, प्रश्न के अनुसार,

R + 2R = 84

⇒ 3R = 84

⇒ R = 28 

इसलिए, परिधि = 2πr = 2 × \(\frac{22}{7}\)× 28 = 176 सेमी

अब, परिधि और त्रिज्या के बीच का अंतर है

= 176 - 28

= 148 सेमी

अत: अभीष्ट अंतर 148 सेमी है।

अवधारणा:

बाह्य बिंदु (x₁, y₁) से वृत x² + y² = a² के स्पर्शक की लम्बाई \(\sqrt {x_1^2 + y_1^2 - {a^2}}\) होगी

गणना:

दिया गया है: वृत की समीकरण x² + y² = 9 और बिंदु (4, 0).

जैसा की हम जानते है बाह्य बिंदु (x1, y1) से वृत x2 + y2 = a2 के स्पर्शक की लम्बाई \(\sqrt {x_1^2 + y_1^2 - {a^2}}\) होगी

यहाँ , x₁ = 4 , y₁ = 0 और a² = 9.

अवधारणा :

(h, k) पर केंद्र और त्रिज्या r इकाइयों के साथ वृत्त का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है: (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

गणना :

यहां, हमें उस वृत्त का समीकरण ज्ञात करना है जिसका केंद्र (2, - 3) पर है और जो रेखाओं 3x + 2y = 11 और 2x + 3y = 4 के प्रतिच्छेदन से होकर गुजरता है।।

पहले रेखाओं 3x + 2y = 11 और 2x + 3y = 4 के प्रतिच्छेदन के बिंदु को खोजें

समीकरण 3x + 2y = 11 और 2x + 3y = 4 को हल करने से हमें x = 5 और y = - 2 मिलता है

तो, आवश्यक वृत्त बिंदु (5, - 2) से गुजरता है

माना कि आवश्यक वृत्त की त्रिज्या r है

जैसा कि हम जानते हैं कि, (h, k) पर केंद्र और त्रिज्या r इकाइयों के साथ वृत्त का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है: (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

यहाँ, हमारे पास h = 2 और k = - 3 है

⇒ (x - 2)2 + (y + 3)2 = r2 ------------(1)

∵ आवश्यक वृत्त बिंदु (5, - 2) से गुजरता है

तो, x = 5 और y = - 2 समीकरण (1) को संतुष्ट करेगा

⇒ (5 - 2)2 + (- 2 + 3)2 = r2

⇒ r2 = 10

तो, आवश्यक वृत्त का समीकरण है (x - 2)2 + (y + 3)2 = 10

⇒ x2 + y2 - 4x + 6y + 3 = 0

तो, आवश्यक वृत्त का समीकरण x2 + y2 - 4x + 6y + 3 = 0 है

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

दिया है 

केंद्र बिंदु (1, -2) हैं

त्रिज्या = 4सेमी

प्रयुक्त सूत्र 

(x -a)2 + (y - b)2 = r2

जहाँ, a और b केंद्र पर बिंदु हैं

r = त्रिज्या

x और y वृत्त पर कोई बिंदु हैं

गणना

सूत्र में a, b और r का मान रखने पर 

(x-1)2 + (y + 2)2  = 16

⇒ x2 + 1 - 2x + y2 + 4 + 4y = 16

⇒ x2 + y2 - 2x + 4y = 11

संकल्पना:

माना कि x2 + y2 = r² वृत्त का समीकरण है। तो वृत्त का (0, 0) मूल बिंदु है और r त्रिज्या है। 

गणना:

हम जानते हैं कि, x2 + y2 = r2 वृत्त का समीकरण है। तो वृत्त का (0, 0) मूल बिंदु है और r त्रिज्या है। 

दिया गया वृत्त का समीकरण x² + y² + x + c = 0 है, जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है। 

अर्थात् c = 0

⇒x² + y² + x = 0

⇒ x² + x + \(\frac{1}{4}\)- \(\frac{1}{4}\) + y² = 0

⇒x² + x + \(\frac{1}{4}\)+ y² = \(\frac{1}{4}\)

⇒\(\left ( x+\frac{1}{2} \right )^2 +y^2 = \left (\frac{1}{2} \right )^2\)

जो त्रिज्या \(\frac{1}{2}\) वाले वृत्त का समीकरण है। 

अतः मूल बिंदु से होकर गुजरने वाले वृत्त x2 + y2 + x + c = 0 की त्रिज्या \(\frac{1}{2}\) है।