Linear Inequations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Linear Inequations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

असमिका का हल क्षेत्र:

• किसी असमिका का हल क्षेत्र उन सभी बिंदुओं का समुच्चय होता है जो असमिका को संतुष्ट करते हैं।
• रैखिक असमिकाओं के लिए, हल क्षेत्र आमतौर पर एक अर्धतल या रेखाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र होता है।
• दी गई असमिका है: 2x + 4y ≤ 9।
• हम असमिका को एक रेखा समीकरण के रूप में लिख सकते हैं: 2x + 4y = 9 और इसे निर्देशांक तल पर आलेखित कर सकते हैं।
• हल क्षेत्र में वे सभी बिंदु शामिल होते हैं जो असमिका को संतुष्ट करते हैं, जो आमतौर पर रेखा का एक भाग होता है।

गणना:

दी गई असमिका है: 2x + 4y ≤ 9

सबसे पहले, असमिका को एक रेखा के समीकरण के रूप में लिखें:

2x + 4y = 9

अब, y के लिए हल करें:

4y = 9 - 2x

y = (9 - 2x) / 4

y = 9/4 - x/2

रेखा की ढलान -1/2 है और y-अंतःखंड 9/4 है।

निर्देशांक तल पर रेखा y = (9 - 2x)/4 को आलेखित करें।

हल क्षेत्र इस रेखा के नीचे का क्षेत्र होगा क्योंकि असमिका ≤ है (अर्थात, असमिका को संतुष्ट करने वाले बिंदु रेखा के नीचे या पर स्थित हैं)।

इस प्रकार, हल क्षेत्र रेखा 2x + 4y = 9 के नीचे और उस पर स्थित अर्धतल है।

∴ हल क्षेत्र रेखा 2x + 4y = 9 के नीचे और उस पर स्थित क्षेत्र है।

गणना:

सुसंगत क्षेत्र x - 2y = 2, 4x + 5y = 20 के मूलबिंदु की ओर और 5x + 2y = 10 के मूलबिंदु से विपरीत दिशा में, प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।

इसलिए, सही आलेखीय हल समुच्चय चित्र 2 है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

संप्रत्यय:

असमिकाएँ और ऋणात्मक संख्याओं से भाग:

• जब हम किसी असमिका को किसी ऋणात्मक संख्या से विभाजित या गुणा करते हैं, तो असमिका चिह्न उलट जाता है।
• दिया गया है: a, b, x ∈ ℝ और a < b, और x < 0
• यह एक क्लासिक मामला है जहाँ हम किसी असमिका के दोनों पक्षों को एक ऋणात्मक राशि से विभाजित करते हैं।
• यदि a < b और x < 0, तो दोनों पक्षों को x से विभाजित करने पर असमिका उलट जाएगी।

गणना:

दिया गया है,

a < b और x < 0

असमिका a < b के दोनों पक्षों को x से विभाजित करें

⇒ a / x > b / x (चूँकि x ऋणात्मक है)

∴ a / x > b / x

[सही विकल्प (2) है]

गणना

दिया गया है

\(\frac{(2-x)}{5}-\frac{(2-3 x)}{4} ≤ \frac{(2 x-1)}{3}\)

असमिका के दोनों पक्षों को 60 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:

12(2-x) - 15(2-3x) ≤ 20(2x-1)

कोष्ठकों का विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है:

24 - 12x - 30 + 45x ≤ 40x - 20

समान पदों को एक साथ रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

33x - 6 ≤ 40x - 20

33x - 40x - 6 + 20 ≤ 0

-7x + 14 ≤ 0

7x - 14 ≥ 0

x ≥ \(\frac{14}{7}\)

x ≥ 2

इसलिए, असमिका का हल [2, ∞) है।

∴ विकल्प 4 सही है। 

अवधारणा:

असमिकाओं पर संक्रियाओं के नियम:

• असमिका के दोनों ओर समान संख्या जोड़ने पर असमिका चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के दोनों ओर समान संख्या घटाने पर असमिका चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के दोनों ओर एक धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमिका चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के दोनों ओर एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमिका चिह्न की दिशा विपरीत हो जाती है।
• असमिका के दोनों ओर एक धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के दोनों ओर एक ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका चिह्न की दिशा विपरीत हो जाती है।

गणना

दिया गया है, 6x + 7 ≤ x - 28

⇒ 6x + 7 - x ≤ x - 28 - x

⇒ 5x + 7 ≤ -28

⇒ 5x + 7 - 7 ≤ -28 - 7

⇒ 5x ≤ -35

⇒ x ≤ -7

चूँकि x एक प्राकृत संख्या है (जिसका अर्थ है कि x एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए), इसलिए कोई भी प्राकृत संख्या (x ≤ -7) को संतुष्ट नहीं करती है।

∴ कोई हल नहीं है। 

∴ विकल्प 1 सही है। 

संकल्पना:

दिया गया है \(\frac{1}{5}\left( {\frac{{3x}}{5} + 4} \right) \ge \frac{1}{3}(x - 6)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3\left( {\frac{{3x}}{5} + 4} \right) \ge 5(x - 6)\\ \Rightarrow \left( {\frac{{9x}}{5} + 12} \right) \ge 5x - 30\\ \Rightarrow \left( {30 + 12} \right) \ge - \frac{{9x}}{5} + 5x\\ \Rightarrow 42 \ge \frac{{ - 9x + 25x}}{5}\\ \Rightarrow 42 \ge \frac{{16x}}{5}\\ \Rightarrow \frac{{42 \times 5}}{{16}} \ge x\\ \Rightarrow x \le \frac{{105}}{8} \end{array}\)

अतः विकल्प (1) सही उत्तर है। 

संकल्पना:

असमानता का प्रयोग करके तुलना करने पर:

किसी दो वास्तविक संख्या \(a\) और \(b\) के लिए यदि \(\rm |a| < |b|\)  है, तो\(\rm a^2 < b^2\) है। 

गणना:

दिए गए असमानता का प्रयोग करने और निम्न रूप में आगे बढ़ने पर:

\(\rm|2x-3| < |x+5|\\ (2x-3)^2 < (x+5)^2\\ 4x^2+9-12x < x^2+25+10x\\ 3x^2-22x-16 < 0\\ 3x^2-24x+2x-16 < 0\\ 3x(x-8)+2(x-8) < 0\\ (3x+2)(x-8) < 0 \)

अतः हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि\(\left(-\dfrac{2}{3}, 8\right)\) है।

संकल्पना:

असमिकाओं पर संचालन के नियम:

• असमिका के प्रत्येक पक्ष में समान संख्या जोड़ने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के प्रत्येक पक्ष से समान संख्या को घटाना असमिका के चिह्न की दिशा को नहीं बदलता है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को धनात्मक संख्या से गुणा करने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करने से असमिका के चिह्न की दिशा विपरित हो जाती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को धनात्मक संख्या से विभाजित करने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने से असमिका के चिह्न की दिशा विपरित हो जाती है।

गणना

दिया हुआ: 0 < − x/2 < 3

उपरोक्त असमिका में 2 से गुणा करें (यहाँ 2 एक धनात्मक संख्या है इसलिए असमिका की दिशा नहीं बदलती है)

⇒ 0 < −x < 6

⇒ −6 < x < 0

संकल्पना:

असमिकाओं पर संचालन के नियम:

• असमिका के प्रत्येक पक्ष में समान संख्या जोड़ने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के प्रत्येक पक्ष से समान संख्या को घटाना असमिका के चिह्न की दिशा को नहीं बदलता है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को धनात्मक संख्या से गुणा करने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करने से असमिका के चिह्न की दिशा विपरित हो जाती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को धनात्मक संख्या से विभाजित करने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने से असमिका के चिह्न की दिशा विपरित हो जाती है।

गणना:

दिया हुआ:

\(\frac{2x+~4}{x-1}\ge 5\)

\(\Rightarrow \frac{2x+~4}{x-1}-5\ge 0\)

\(\Rightarrow ~\frac{2x+4-5\left( x-1 \right)}{x-1}\ge 0\)

\(\Rightarrow ~\frac{2x+4-5x+5}{x-1}\ge 0\)

\(\Rightarrow \frac{9-3x}{x-1}\ge 0\)

\(\Rightarrow ~\frac{-3~\left( x-3 \right)}{x-1}\ge 0\)

एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को एक ऋणात्मक संख्या (-1/3) से गुणा करने से असमिका के चिह्न की दिशा विपरित हो जाती है।

\(\Rightarrow ~\frac{~\left( x-3 \right)}{x-1}\le 0\), यहाँ x – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

अवधारणा:

हल समुच्चय: x के सभी संभावित मानों का समुच्चय।

जब (a > 0 और b < 0) या (a < 0 और b > 0) तो \(\rm \frac a b <0\)

जब (a > 0 और b > 0) या (a < 0 और b < 0) तो \(\rm \frac a b >0\)

गणना:

यहां, \( {1 \over x - 2} < 0\)

इसलिए, x - 2 < 0

⇒ x < 2

∴ x ∈ (-∞ , 2)

संकल्पना:

दिया गया है \(\frac{x}{4} > \frac{x}{2} + 1\)

\( \Rightarrow \frac{x}{4} - \frac{x}{2} > 1\)

\(\Rightarrow \frac{{x - 2x}}{4} > 1\)

\( \Rightarrow \frac{{ - x}}{4} > 1\)

\( \Rightarrow \frac{{ - x}}{4} > 1\)

\( \Rightarrow - x > 4\)

\( \Rightarrow x < - 4\)

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है। 

गणना:

यहाँ, प्रतिबन्ध: x ≤ 40, y ≤ 20 और x, y ≥ 0 

हमें P का न्यूनतम मान मिलता है केवल जब x = 0 और y = 0

तो P = 6(0) + 16(0) = 0

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

अवधारणा

यदि f (x) = |x|, तब 

गणना:

दिया गया है: |x² - 3x + 2| > x² - 3x + 2

स्थिति-1: यदि x ≥ 0

⇒ x² - 3x + 2 > x² - 3x + 2

∴ x का कोई भी वास्तविक मान उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट नही करता है।

स्थिति -2:- यदि x < 0

⇒ - (x² - 3x + 2) > x² - 3x + 2

⇒ x² - 3x + 2 < 0

⇒ (x - 1) (x - 2) < 0

संकल्पना:

सबसे पहले, "बराबर" रेखा को आरेखित करें, फिर सही क्षेत्र में छायांकित करें।

तीन चरण हैं:

• समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि "y" बाईं ओर और दाईं ओर बाकी सब कुछ हो।
• "y =" रेखा को प्लॉट करें (इसे y ≤ या y ≥ के लिए एक ठोस रेखा और y < या y > के लिए एक डैश रेखा बनाएं)
• "से अधिक" (y > या y ≥) के लिए रेखा के ऊपर या "से कम" (y < या y≤) के लिए रेखा के नीचे छायांकित करें।

गणना:

दिया हुआ: अवरोध –x + y ≤ 1, −x + 3y ≤ 9 और x, y ≥ 0

–x + y ≤ 1

⇒ y ≤ 1 + x

इसलिए रेखा के नीचे छायांकित करें।

−x + 3y ≤ 9

3y ≤ 9 + x

⇒ y ≤ 3 + x/3

इसलिए रेखा के नीचे छायांकित करें।

हम ऊपरवाले आरेख क्षेत्र के माध्यम से अपरिबद्ध संभव स्थान है यह देख सकते हैं 

संकल्पना:

असमिकाओं पर संचालन के नियम:

• असमिका के प्रत्येक पक्ष में समान संख्या जोड़ने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• असमिका के प्रत्येक पक्ष से समान संख्या को घटाना असमिका के चिह्न की दिशा को नहीं बदलता है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को धनात्मक संख्या से गुणा करने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करने से असमिका के चिह्न की दिशा विपरित हो जाती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को धनात्मक संख्या से विभाजित करने से असमिका के चिह्न की दिशा नहीं बदलती है।
• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने से असमिका के चिह्न की दिशा विपरित हो जाती है।

गणना:

दिया हुआ:

\(\frac{4}{x}<\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow \frac{4}{x}-~\frac{1}{3}<0\)

\(\Rightarrow \frac{12-x}{3x}<0\)

\(\Rightarrow \frac{-~\left( x-12 \right)}{3x}<0\)

• एक असमिका के प्रत्येक पक्ष को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करने से असमिका के चिह्न की दिशा विपरित हो जाती है।

\(\Rightarrow \frac{\left( x-12 \right)}{3x}>0\), यहाँ x ≠ 0

∴ x < 0 या x > 12