Distance from a Plane MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Distance from a Plane - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

स्पष्टीकरण -

बिंदु \(A(2, 1, 0), B(4, 1, 1), C(5, 0, 1)\) है

\(\overrightarrow{A B}=(2,0,1) \)

\(\overrightarrow{A C}=(3,-1,1) \)

\(\vec{n}=\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}\)

समतल का समीकरण \(x + y - 2z = 3\)….(1) है

मान लीजिए बिंदु \((2, 1, 6)\) का प्रतिबिंब \((l, m, n)\) है

\(\frac{l - 2}{1} =\frac{m -1}{1} = \frac{n - 6}{-2} = -2 \frac{-12}{6} = 4\)

\(⇒ l = 6, m = 5, n = −2\)

इसलिए समतल P में R का प्रतिबिंब \((6, 5, −2)\) है। 

इसलिए विकल्प (2) सही है।

गणना

दिया गया है: समतलों के समीकरण \(2x+y+2z=8\) और \(4x+2y+4z+5=0\),

\(\Rightarrow 4x+2y+4z=16\) और \(4x+2y+4z=-5\)

\(d_{\min}=\dfrac{16-(-5)}{\sqrt{4^2 + 2^2 +4^2}}=\dfrac{21}{\sqrt{36}}=\dfrac{21}{6}=\dfrac{7}{2}\)

अतः विकल्प 2 सही है। 

गणना:

माना समतल का समीकरण \( ax+by+cz=d \) है।

तब बिंदु \( (1,2,2) \) समतल पर स्थित है।

इसलिए, \( a+2b+2c=d \) .......(1)

चूँकि समतल दिए गए दो समतलों के लंबवत है, इसलिए समतल के लंब के दिक् अनुपात और दिए गए दो समतलों के लंब के दिक् अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए।

इसलिए,

⇒ \( a-b+2c=0 \) ....... (2)

और \( 2a-2b+c=0 \) ........(3)

समीकरण (1) और समीकरण (2) से, हमें प्राप्त होता है,

⇒ \( 3b=d \),

इसी प्रकार,

ऊपर के 3 समीकरणों को हल करने पर हमें प्राप्त होता है,

⇒ \( c=0 \) और \( a=b \) और \( d=3a \)

\( a \) के पदों में \( b,c \) और \( d \) के मान रखने पर समतल का समीकरण प्राप्त होता है

⇒ \( x+y=3 \)

इसलिए \( d= \dfrac {|1-2-3|}{\sqrt2}=2\sqrt2 \)

अतः विकल्प 2 सही है।

गणना:

\( \overline{n} = \begin{bmatrix} i & j & k \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \end{bmatrix} \)

\(\Rightarrow 5i + 7j + 3k \)

समतल का समीकरण \( \overline{r} \cdot \overline{n} = \overline{n} \cdot \overline{a} \)

⇒ \( \overline{r} \cdot (5i + 7j + 3k) = (5i + 7j + 3k) \cdot (i - j - k) \)

⇒ \( \overline{r} \cdot (5i + 7j + 3k) = -5 \)

दूरी = \( \dfrac{5 + 21 - 21 + 5}{\sqrt{5^2 + 7^2 + 3^2}} = \dfrac{10}{\sqrt{83}} \)

इसलिए विकल्प 2 सही है। 

गणना

समतलों के कुल की अवधारणा का उपयोग करते हुए, \(P_3\) का समीकरण \((x+z-1) +\lambda y = 0\)द्वारा लिखा जा सकता है।

\((0,1,0)\) से \(P_3\) की दूरी \(1\) है।

इसलिए,

\(\dfrac{-1 +\lambda} {\sqrt{\lambda^2 +2 }} = 1 \)

वर्ग करने पर,

\(\lambda^2 -2 \lambda +1 = \lambda^2 +2 \)

\(\lambda = -\dfrac{1}{2}\)

इसलिए, \(P_3 : 2x-y+ 2z -2 =0 \)

\((\alpha, \beta, \gamma) \) से \(P_3\) की दूरी \(2\) है।

इसलिए,

\(\left | \dfrac{ 2\alpha - \beta +2\gamma -2 }{3} \right| = 2 \)

\(\Rightarrow 2\alpha - \beta +2\gamma -8 = 0 \)

या

\( 2\alpha - \beta +2\gamma +4 =0\)

अतः विकल्प 2 और 4 सही हैं।

संकल्पना:

दो लंबवत रेखाओं का बिंदु गुणनफल शून्य है।

दो बिंदुओं (x₁, y_1, z₁) और (x₂, y₂, z₂) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है, \(\rm \dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-0}{0}=\dfrac{z-0}{0} =k\)

गणना:

माना कि M बिंदु P (2, 3, 4) से खींचे हुए लंब का पाद है

माना कि \(\rm \dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-0}{0}=\dfrac{z-0}{0} =k\)

x = k, y = 0, z = 0

तो M = (k, 0, 0)

अब PM के दिशा अनुपात = (2 - k, 3 - 0, 4 - 0) = (2- k, 3, 4) और दी गई रेखा के दिशा अनुपात 1, 0, 0 हैं।

PM दी गई रेखा के लंबवत है,

(2 - k) (1) + 3(0) + 4 (0) = 0

∴ k = 2

M = (2, 0, 0)

लम्बवत दूरी PM =

\(\rm \sqrt {(2-2)^2+(0-3)^2+(0-4)^2}\\ =\sqrt{9+16}\\ =5\)

इसलिए, विकल्प (2) सही है।

अवधारणा:

दो समानांतर समतलों ax + by + cz +d1 = 0 और ax + by + cz +d2 = 0 के बीच की दूरी \(D= \left | \frac{d_{1}-d_{2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right |\) द्वारा दी गई है

गणना:

दिया गया है कि: 2x + y - 2z + 6 = 0 और 4x + 2y - 4z - 6 = 0 दो समतल हैं।

यहां, हम समतल 2x + y - 2z + 6 = 0 के समीकरण को 2 के साथ 2x + y - 2z + 6 = 0 के दोनों पक्षों से गुणा द्वारा 4x + 2y - 4z + 12 = 0 के रूप में लिख सकते हैं।

जैसा कि हम देख सकते हैं कि, समतल 4x + 2y - 4z + 12 = 0 और 4x + 2y - 4z - 6 = 0 समांतर समतल हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि, दो समानांतर समतलों ax + by + cz + d1 = 0 और ax + by + cz + d2 = 0 के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी गई है: \(D= \left | \frac{d_{1}-d_{2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right |\)

यहां, a = 4, b = 2, c = - 4, d1 = 12 और d2 = - 6

⇒ \(D= \left | \frac{d_{1}-d_{2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right |\)

⇒ \(D= \left | \frac{12-(-6)}{\sqrt{4^2+2^2+(-4)^2}} \right |\)

⇒ \(D= \left | \frac{18}{\sqrt{16+4+16}} \right |\)

⇒ \(D= \left | \frac{18}{6} \right |=3\)

इसलिए, विकल्प 4 सही है।

धारणा:

दो समानांतर समतलों ax + by + cz + d1 = 0 और ax + by + cz + d2 = 0 के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है: \(\left| {\frac{{{d_1} - {d_2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}} \right|\)

गणना :

यहां, हमें समतलों 2x - 3y + 6z - 5 = 0 और 6x - 9y + 18z + 20 = 0 के बीच के दूरी को ढूंढना है।

समतल 6x - 9y + 18z + 20 = 0 को 2x - 3y + 6z + 20/3 = 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

तो, समतल 2x - 3y + 6z - 5 = 0 और 2x - 3y + 6z + 20/3 = 0 समानांतर हैं

जैसा कि हम जानते हैं कि, दो समानांतर समतलों ax + by + cz + d1 = 0 और ax + by + cz + d2 = 0 के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है:\(\left| {\frac{{{d_1} - {d_2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}} \right|\)

यहाँ, d1 = - 5, d2 = 20/3, a = 2, b = - 3 और c = 6

तो, दिए गए समानांतर समतलों के बीच की दूरी \(\left| {\frac{{-5 - \frac{20}{3}}}{{\sqrt {{2^2} + {(-3)^2} + {6^2}} }}} \right| = \frac{5}{3} \ units\) है

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

संकल्पना:

किसी समतल से एक बिंदु की लंबवत दूरी

माना कि हम कार्तीय समीकरण Ax + By + Cz = d द्वारा दिए गए एक समतल और उस बिंदु को लेते हैं, जिसका निर्देशांक (x1, y1, z1) है। 

अब, बिंदु और समतल के बीच की दूरी = \(\left| {\frac{{A{x_1}\; + \;B{y_1}\; + \;C{z_1} - \;d}}{{\sqrt {{A^2}\; + \;\;{B^2}\; + \;{C^2}} }}} \right|\)

गणना:

हमें समतल x + 2y - 2z - 9 = 0 से बिंदु (2, 3, -5) की दूरी ज्ञात करनी होगी

जैसा कि हम जानते हैं कि, बिंदु और समतल के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\(\left| {\frac{{A{x_1}\; + \;B{y_1}\; + \;C{z_1} - \;d}}{{\sqrt {{A^2}\; + \;\;{B^2}\; + \;{C^2}} }}} \right|\)

यहाँ, A = 1, B = 2, C = -2, d = 9, x1 = 2, y1 = 3 और z1 = - 5

तो, दिए गए समतल से दिए गए बिंदु की दूरी \(= \left| {\frac{{2\; \times \;1\; + \ {2}\ \times \;3\; + \;2 \times 5\; - \;9}}{{\sqrt {{1^2}\; + \;\;{{\left( {-2} \right)}^2}\; + \;{{\left( 2\right)}^2}} }}} \right|\)

\(= \;\left| {\frac{9}{{\sqrt {9} }}} \right|=3\)

तो, समतल और बिंदु के बीच की दूरी 3 इकाइयां है

इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।

अवधारणा :

दो समानांतर समतलों ax + by + cz + d1 = 0 और ax + by + cz + d2 = 0 के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है: \(\left| {\frac{{{d_1} - {d_2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}} \right|\)

गणना :

यहाँ, हमें समांतर समतलों x + y - z + 4 = 0 और x + y - z + 5 = 0 के बीच दूरी का पता लगाना है

जैसा कि हम जानते हैं कि, दो समानांतर समतलों ax + by + cz + d1 = 0 और ax + by + cz + d2 = 0 के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है: \(\left| {\frac{{{d_1} - {d_2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}} \right|\)

यहाँ, d1 = 4, d2 = 5, a = 1, b = 1 और c = - 1

तो, दिए गए समानांतर समतलों के बीच की दूरी \(\left| {\frac{{4 - 5}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {(-1)^2}} }}} \right| = \frac{1}{\sqrt 3} \ units\)

इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।

संकल्पना:

तल ax + by + cz + d = 0 से बिंदु (p, q, r) की दूरी

D = \(\rm \left|ap+bq+cr + d\over \sqrt{a^2+b^2+c^2}\right|\) है।

गणना:

तल का दिया गया समीकरण निम्न है

2x - 3y + 6z - 42 = 0

केंद्र (0, 0, 0) से तल की दूरी

D = \(\rm \left|2\times0-3\times 0+6\times0 -42\over \sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}\right|\)

D = \(\rm \left|-42\over \sqrt{4+9+36}\right|\) = \(\left|-42\over7\right|\)

D = 6

संकल्पना:

अंतःखंड a, b और c वाले एक तल के लिए तल के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm {x\over a}+{y\over b}+{z\over c} = 1\)

तल ax + by + cz + d = 0 से बिंदु (p, q, r) की दूरी

D = \(\rm \left|ap+bq+cr + d\over \sqrt{a^2+b^2+c^2}\right|\)

गणना:

दिए गए अंतःखंड 3, 4 और -1 हैं। 

तल का समीकरण निम्न है

\(\rm {x\over 3}+{y\over 4}+{z\over -1} = 1\)

4x + 3y - 12z - 12 = 0

मूल (0, 0, 0) से तल की दूरी 

D = \(\rm \left|4\times0+3\times 0-12\times0 -12\over \sqrt{4^2+3^2+(-12)^2}\right|\)

D = \(\rm \left|-12\over \sqrt{9+16+144}\right|\) = \(\boldsymbol{12\over 13}\)

संकल्पना:

दो समानांतर तल ax + by + cz + d₁ = 0 और ax + by + cz + d₂ = 0 के बीच की दूरी \(\rm |\frac{d_1-d_2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}|\) है। 

गणना:

यहाँ, 3x + y + 3z = 8 और 9x + 3y + 9z = 15 

 9x + 3y + 9z = 15 को 3 से विभाजित करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

अब, 3x + y + 3z = 8 और 3x + y + 3z = 5 के बीच की दूरी 

\(\rm= |\frac{8-5}{\sqrt{3^2+1^2+3^2}}|\\ =\frac{3}{\sqrt{19}}\)

अतः विकल्प (3) सही है। 

अवधारणा:

समतल ax + by + cz + d = 0 से मूल (0, 0, 0) की दूरी इसके द्वारा दी जाती है: \(\rm \left|\frac {(a)(0) +(b)(0) +(c)(0) + d }{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}\right|\)

गणना:

हम जानते हैं कि समतल ax + by + cz + d = 0 से मूल (0, 0, 0) की दूरी इसके द्वारा दी जाती है: \(\rm \left|\frac {(a)(0) +(b)(0) +(c)(0) + d }{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}\right|\)

⇒ समतल 2x + 6y - 3z + 7 = 0 से मूल की दूरी

\(=\rm |\frac {(2)(0) +(6)(0) +(-3)(0) + 7 }{\sqrt {2^2+6^2+(-3)^2}}|\)

\(=\rm |\frac { 7 }{\sqrt {49}}|\)

= 1

इसलिए, समतल 2x + 6y - 3z + 7 = 0 से मूल की दूरी 1 है।

धारणा:

एक समतल से एक बिंदु की लंबवत दूरी

हम कार्टेशियन समीकरण Ax + By + Cz = d द्वारा दिए गए एक समतल और एक बिंदु जिसका निर्देशांक p (x1, y1, z1) है पर विचार करें

अब दूरी = \(\left| {\frac{{{\rm{A}}{{\rm{x}}_1}{\rm{\;}} + {\rm{\;B}}{{\rm{y}}_1}{\rm{\;}} + {\rm{\;C}}{{\rm{z}}_1} - {\rm{\;d}}}}{{\sqrt {{{\rm{A}}^2}{\rm{\;}} + {\rm{\;\;}}{{\rm{B}}^2}{\rm{\;}} + {\rm{\;}}{{\rm{C}}^2}} }}} \right|\)

गणना:

हम जानते हैं कि लंब हमेशा समतल के लंबवत होता है,

दिया हुआ: समतल का समीकरण x + 2y - 2z = 9 है

⇒ x + 2y – 2z - 9 = 0

अब हमें मूल (0, 0, 0) से दूरी का पता लगाना होगा

हम जानते हैं कि दूरी = \(\left| {\frac{{{\rm{A}}{{\rm{x}}_1}{\rm{\;}} + {\rm{\;B}}{{\rm{y}}_1}{\rm{\;}} + {\rm{\;C}}{{\rm{z}}_1} - {\rm{\;d}}}}{{\sqrt {{{\rm{A}}^2}{\rm{\;}} + {\rm{\;\;}}{{\rm{B}}^2}{\rm{\;}} + {\rm{\;}}{{\rm{C}}^2}} }}} \right|\)

∴ दूरी = \(\left| {\frac{0 + 0 - 0 - 9}{{\sqrt {{{\rm{1}}^2}{\rm{\;}} + {\rm{\;\;}}{{\rm{2}}^2}{\rm{\;}} + {\rm{\;}}{{\rm{(-2)}}^2}} }}} \right| = \frac{9}{3} = 3\)