Formation of a Differential Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Formation of a Differential Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

यह (0,3) से गुजरता है, इसलिए यह बन जाएगा \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{9} = 1\).........(1)

x के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ \(\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{9} \frac{dy}{dx} = 0\)

⇒ \(\frac{1}{a^2} = -\frac{y}{9x} \frac{dy}{dx}\)

समीकरण (1) में उपरोक्त व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ \(x^2 \cdot -\frac{y}{9x} y' + \frac{y^2}{9} = 1\)

⇒ \(-xyy' + y^2 = 9\)

⇒ \(xyy' - y^2 + 9 = 0\)

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

गणना

मान लीजिए \(\mathfrak{D}\) सभी वृत्तों का अवकल समीकरण है जिनका केंद्र \(A(-1, 2)\) पर है।

तब, \(\mathfrak{D}\) की परिभाषा से, \(\mathfrak{D}\) का कोई भी हल केंद्र \(A(-1, 2)\) वाला वृत्त होगा।

इसलिए, \(\mathfrak{D}\) का कोई भी हल निम्न रूप का होगा:

⇒ \((x+1)^2 +(y-2)^2 = k\).

अर्थात, \(\mathfrak{D}\) का कोई भी हल निम्न रूप का होगा:

⇒ \(x^2 + y^2 + 2x - 4y + c = 0\), जहाँ, \(c = 5 - k\).

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

गणना

\(xy=1+\log y\)

दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,

⇒ \(x \frac{dy}{dx} + y = \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}\)

पूरे समीकरण में y से गुणा करने पर,

⇒\(xy \frac{dy}{dx} + y^2 = \frac{dy}{dx}\)

\(\Rightarrow \frac{dy}{dx} (xy - 1) + y^2 = 0\)

\(\Rightarrow k = xy - 1\)

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

गणना:

दिया गया है, वृत्त मूल बिंदु से होकर गुजरते है।

इनका केंद्र (0, a) पर है तथा वृत्तों की त्रिज्या a है।

∴ वृत्तों के परिवार का समीकरण x2 + (y - a)2 = a2 द्वारा दिया गया है

⇒ x2 + y2 + a2 - 2ya = a2 

⇒ x2 + y2 = 2ay ⋯ (i)

x के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

2x + 2y \(\frac{dy}{dx}\) = 2a \(\frac{dy}{dx}\)

⇒ a = \(\frac{x+y\frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}}\) ⋯ (ii)

(i) में (ii) का प्रयोग करने पर, हम प्राप्त करते है:

x2 + y2 = 2y \(\left(\frac{x+y\frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}}\right)\)

⇒ x2\(\frac{dy}{dx}\) + y2\(\frac{dy}{dx}\) = 2xy + 2y2\(\frac{dy}{dx}\)

⇒ (x2 - y2)​\(\frac{dy}{dx}\) - 2xy = 0

∴ वह सभी वृत्त जो मूल बिंदु से होकर गुजरते है तथा जिनके केंद्र y-अक्ष पर स्थित है, उनका अवकल समीकरण (x2 - y2)​\(\frac{dy}{dx}\) - 2xy = 0 है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

एक अवकल समीकरण को उस समीकरण के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें एक या अधिक स्वतंत्र चरों के संबंध में एक या अधिक निर्भर चरों के अवकलज होते हैं।

गणना:

\(\rm \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}(mx)=m\) ।

\(\rm m=\dfrac{y}{x}\) प्रतिस्थापित करना हमें देगा:

\(\rm \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}\)

⇒ x dy = y dx

⇒ y dx - x dy = 0, जो आवश्यक अवकल समीकरण है।

संकल्पना:

कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं:

\(\rm{ d(e^{ax})\over dx } = ae^{ax}\)

गणना:

दिया गया फलन निम्न है, 

y = e-4x, इसका अवकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है, 

\(\rm{ dy\over dx } = -4e^{-4x}\)

आगे इसका अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है,

\(\rm{ d^2y\over dx^2 } = 16e^{-4x}\)

अब, \(\rm{ d^2y\over dx^2 }+3 { dy\over dx }-4y=0\)

=\(\rm 16e^{-4x}+3(-4e^{-4x})-4e^{-4x}\)

= 0

अतः \(\rm{ d^2y\over dx^2 }+3 { dy\over dx }-4y=0\)

संकल्पना:

दिए गए समीकरण का अवकल समीकरण बनाने के लिए

• समीकरण का अवकलन उतने बार कीजिए जितने स्थिरांकों की संख्या है। 
• चरों के संदर्भ में स्थिरांक ज्ञात कीजिए। 
• वास्तविक समीकरण में चरों को प्रतिस्थापित कीजिए। 

वृत्त का मानक समीकरण निम्न है 

\(\rm (x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)

जहाँ केंद्र (h, k) है और त्रिज्या r है। 

गणना:

केंद्र (0, 0) और त्रिज्या r वाले वृत्त की श्रेणी निम्न है 

x² + y² = r²

∵ केवल एक स्थिरांक r है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर

⇒ 2x + 2y \(\rm dy\over dx\) = 0

⇒ \(\boldsymbol{\rm {dy\over dx} = -{x\over y}}\)

संकल्पना:

एक अवकल समीकरण को उस समीकरण के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें एक या अधिक स्वतंत्र चरों के संबंध में एक या अधिक निर्भर चरों के अवकलज होते हैं।

गणना:

दिया हुआ है कि y = mx।

दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें मिलेगा:

\(\rm \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}(mx)=m\) ।

\(\rm m=\dfrac{y}{x}\) प्रतिस्थापित करना हमें देगा:

\(\rm \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}\)

⇒ x dy = y dx

⇒ y dx - x dy = 0, जो आवश्यक अवकल समीकरण है।

संकल्पना:

दिए गए समीकरण का अवकल समीकरण बनाने के लिए

• समीकरण का अवकलन उतने बार कीजिए जितने स्थिरांकों की संख्या है।
• चरों के संदर्भ में स्थिरांक ज्ञात कीजिए। 
• वास्तविक समीकरण में चरों को प्रतिस्थापित कीजिए। 

गणना:

दिया गया समीकरण y = e4x(a + bx) है।

2 स्थिरांक a और b हैं इसलिए 2 बार इसका अवकलन कीजिए।

⇒ y' = 4ae^4x + be^4x + 4bxe^4x

⇒ y' = 4e^4x(a + bx) + be^4x

⇒ y' = 4y + be4x 

⇒ be^4x = y' - 4y

एक बार और अवकलन कीजिए

⇒ 4be4x = y'' - 4y'

⇒ 4(y' - 4y) = y'' - 4y'

⇒ y'' - 8y' + 16y = 0

गणना:

जैसा कि हम जानते हैं कि मूल पर y- अक्ष को स्पर्श करनेवाले वृत्त का केंद्र x - अक्ष पर होता है।

तो मूल पर y - अक्ष को स्पर्श करनेवाले वृत्त का समीकरण है: (x - a)² + y² = a²

⇒ x² + y² – 2ax = 0       ---(1)

इसलिए उपरोक्त समीकरण को x के संबंध में अवकलित करके, हम प्राप्त करते हैं

\(\Rightarrow 2x + 2y\frac{{dy}}{{dx}} - 2a = 0\)

\(\Rightarrow 2a = 2\;\left( {x + y\frac{{dy}}{{dx}}} \right)\)

तो, समीकरण (1) में 2a के मूल्य को प्रतिस्थापित करके, हम प्राप्त करते हैं

⇒ x2 + y2 - \(2x\;\left( {x + y\frac{{dy}}{{dx}}} \right) =0\)

⇒ \( {2x^2 +2x y\frac{{dy}}{{dx}}} -x^2 -y^2 =0\)

\(\therefore {x^2} - {y^2} + 2xy\frac{{dy}}{dx} = 0\)

संकल्पना:

\(\rm \frac{d\sin x}{dx} = \cos x\\ \rm \frac{d\cos x}{dx} = -\sin x\)

गणना:

दिया गया है:

y = a sin (λx + α)               .... (1)

अब दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

\(⇒ \rm \frac{dy}{dx} = \frac{a d\sin{(\lambda x + \alpha)}}{d(\lambda x + \alpha)}\times\frac{{d(\lambda x + \alpha)}}{dx} \)

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx} = a\lambda\cos\;(\lambda x+\alpha)\)

फिर से दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\Rightarrow \frac{{{{\rm{d}}^2}{\rm{y}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{x}}^2}}} = \rm -a\lambda^2\) sin (λx + α)

समीकरण 1 से,

\(\Rightarrow \frac{{{{\rm{d}}^2}{\rm{y}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{x}}^2}}} = \rm -\lambda^2 y\)

∴ \(\rm \frac {d^2y}{dx^2} + \lambda^2y = 0\)

संकल्पना:

कुछ उपयोगी सूत्र निम्न हैं:

\(\rm {d(sinax)\over dx} =a\ cosax\)

\(\rm {d(cosax)\over dx} =-a\ sinax\)

गणना:

y = p sin3x + q cos 3x

उपरोक्त समीकरण का अवकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है, 

\(\rm {dy\over dx} =3p\cos3x-3q\sin3x\)

आगे अवकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है, 

\(\rm {d^2y\over dx^2} =-9p\sin3x-9q\cos3x\) = -9y

∴ \(\rm {d^2y\over dx^2} +9y=0\)

अवधारणा:

• अवकल समीकरण: एक अवकल समीकरण वह समीकरण है जो एक या एक से अधिक फलन और उनके अवकलजों को जोड़ता है।

  जैसे \(\rm \frac{dy}{dx}\) + x = 2y + 3, आदि।

• \(\rm \dfrac{d}{dx}e^{f(x)}=\dfrac{d}{dx}f(x)e^{f(x)}\)

गणना:

y = aex + be-x

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}ae^x +\frac{d}{dx}be^{-x}\)

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx}\) = ae x - be -x

⇒ \(\rm \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}(ae^x -be^{-x})\)

⇒ \(\rm \frac{d^2y}{dx^2}\) = ae x + be -x = y

⇒ \(\rm \frac{d^2y}{dx^2}\) - y = 0

∴ y = aex + be-x का सामान्य हल  \(\rm \frac{d^2y}{dx^2}\) - y = 0 है

संकल्पना:

दिया गया है:

y = sin x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx} = \cos x \)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm \frac{d^2y}{dx^2} = -\sin x \)

\(\Rightarrow \rm \frac{d^2y}{dx^2} = -y\)

\(\Rightarrow \rm \frac{d^2y}{dx^2} + y = 0\)