বহুপদ রাশি MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Polynomials - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

এই সমস্যাটি বহুপদী বিভাজন এবং ভাজকের মূলের ধারণা ব্যবহার করে।

প্রদত্ত বহুপদীটি \( x^2 - 1 \) দ্বারা বিভাজ্য নিশ্চিত করে, আমরা a এবং b এর মান খুঁজে পেতে পারি যাতে f(1) = 0 এবং f(-1) = 0 হয়, এই শর্ত থেকে উদ্ভূত সমীকরণের সিস্টেম সমাধান করে।

গণনা:

\(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\)

\( x^2 - 1 \) দ্বারা বিভাজ্য।

প্রদত্ত ভাজক \(x^2 - 1\) কে এইভাবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়:

\(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\)

আমরা \(a\) এবং b এর এমন মান খুঁজছি যাতে বহুপদী

\(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\) \( x^2 - 1 \) দ্বারা বিভাজ্য হয়। এর অর্থ হল এই বহুপদীটি \( x^2 - 1 \) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 0 হবে।

আমরা এই সত্যটি ব্যবহার করতে পারি যে যদি কোন বহুপদী f(x) \( x^2 - 1 \) দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে বহুপদীটির f(1) = 0 এবং f(-1) = 0 থাকতে হবে।

f(1) এবং f(-1) গণনা করুন

ধরুন f(x) = \(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\) .

f(1) = 0 এর জন্য:

\(f(1) = 1^4 + 1^3 + 8(1^2) + a(1) + b = 1 + 1 + 8 + a + b = 10 + a + b\)

তাই \(10 + a + b = 0\)

⇒ \(a + b = -10 \quad \text{(সমীকরণ 1)}\)

f(-1) = 0 এর জন্য:

\(f(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 + 8(-1)^2 + a(-1) + b = 1 - 1 + 8 - a + b = 8 - a + b\)

তাই \(8 - a + b = 0\)

⇒ \(-a + b = -8 \quad \text{(সমীকরণ 2)}\)

সমাধান করার জন্য, উভয় সমীকরণ যোগ করুন:

\((a + b) + (-a + b) = -10 + (-8)\)

⇒ \(2b = -18\)

⇒ \(b = -9\)

সমীকরণ 1 এ b = -9 প্রতিস্থাপন করুন

\(a + (-9) = -10\)

⇒ \(a = -1\)

সুতরাং, সঠিক বিকল্পটি বিকল্প 4

প্রদত্ত:

বহুপদী রাশিমালা: x² - 9x + 18

ব্যবহৃত সূত্র:

একটি দ্বিঘাত বহুপদী রাশিমালার উৎপাদকে বিশ্লেষণ: ax² + bx + c = (x - p)(x - q)

গণনা:

আমাদের x² - 9x + 18 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।

⇒ (x - 3)(x - 6)

আমরা (x - 3)(x - 6) প্রসারিত করি, যাচাই করার জন্য:

⇒ x² - 6x - 3x + 18

⇒ x² - 9x + 18

উৎপাদকগুলি হল (x - 3) এবং (x - 6).

সঠিক বিকল্পটি হল বিকল্প 2.

অনুসৃত সূত্র:

বিভাজন অ্যালগরিদম বলে যে, যেকোনো পূর্ণসংখ্যা a এবং b (যেখানে b > 0) এর জন্য, এমন দুটি অনন্য পূর্ণসংখ্যা q এবং r থাকে যার জন্য:

\(a = b \times q + r\)

যেখানে 0 ≤ r < b.

গণনা:

প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করা হচ্ছে:

1. 24 = 2 x 11 + 2

⇒ 24 = 22 + 2

⇒ 24 = 24 (ঠিক, কারণ 0 ≤ 2 < 2)

2. 24 = 2 x 10 + 4

⇒ 24 = 20 + 4

⇒ 24 = 24 (ঠিক, কিন্তু 0 ≤ 4 < 2 সত্য নয়)

3. 24 = 2 x 12 + 0

⇒ 24 = 24 + 0

⇒ 24 = 24 (ঠিক, কারণ 0 ≤ 0 < 2)

4. 24 = 2 x 9 + 6

⇒ 24 = 18 + 6

⇒ 24 = 24 (ঠিক, কিন্তু 0 ≤ 6 < 2 সত্য নয়)

শুধুমাত্র বিকল্প 1 বিভাজন অ্যালগরিদমের উভয় শর্ত পূরণ করে।

সঠিক উত্তর হল বিকল্প 1

ধারণা:

এই সমস্যাটি বহুপদী বিভাজন এবং ভাজকের মূলের ধারণা ব্যবহার করে।

প্রদত্ত বহুপদীটি \( x^2 - 1 \) দ্বারা বিভাজ্য নিশ্চিত করে, আমরা a এবং b এর মান খুঁজে পেতে পারি যাতে f(1) = 0 এবং f(-1) = 0 হয়, এই শর্ত থেকে উদ্ভূত সমীকরণের সিস্টেম সমাধান করে।

গণনা:

\(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\)

\( x^2 - 1 \) দ্বারা বিভাজ্য।

প্রদত্ত ভাজক \(x^2 - 1\) কে এইভাবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়:

\(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\)

আমরা \(a\) এবং b এর এমন মান খুঁজছি যাতে বহুপদী

\(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\) \( x^2 - 1 \) দ্বারা বিভাজ্য হয়। এর অর্থ হল এই বহুপদীটি \( x^2 - 1 \) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 0 হবে।

আমরা এই সত্যটি ব্যবহার করতে পারি যে যদি কোন বহুপদী f(x) \( x^2 - 1 \) দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে বহুপদীটির f(1) = 0 এবং f(-1) = 0 থাকতে হবে।

f(1) এবং f(-1) গণনা করুন

ধরুন f(x) = \(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\) .

f(1) = 0 এর জন্য:

\(f(1) = 1^4 + 1^3 + 8(1^2) + a(1) + b = 1 + 1 + 8 + a + b = 10 + a + b\)

তাই \(10 + a + b = 0\)

⇒ \(a + b = -10 \quad \text{(সমীকরণ 1)}\)

f(-1) = 0 এর জন্য:

\(f(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 + 8(-1)^2 + a(-1) + b = 1 - 1 + 8 - a + b = 8 - a + b\)

তাই \(8 - a + b = 0\)

⇒ \(-a + b = -8 \quad \text{(সমীকরণ 2)}\)

সমাধান করার জন্য, উভয় সমীকরণ যোগ করুন:

\((a + b) + (-a + b) = -10 + (-8)\)

⇒ \(2b = -18\)

⇒ \(b = -9\)

সমীকরণ 1 এ b = -9 প্রতিস্থাপন করুন

\(a + (-9) = -10\)

⇒ \(a = -1\)

সুতরাং, সঠিক বিকল্পটি বিকল্প 4

গণনা:

প্রদত্ত সংখ্যাটি হলো

4x² + x

এটি এভাবে লেখা যেতে পারে

⇒ 4x² + x + (\(1 \over 4\))² - (\(1 \over 4\))²

⇒ (2x + \(1 \over 4\))² - \(1 \over 16\)

(2x + \(1 \over 4\))² এর সর্বনিম্ন মান = 0

পুরো রাশির সর্বনিম্ন মান হল (- \(1 \over 16\))

এই সর্বনিম্ন মান দেয় এমন x এর মান খুঁজে বের করতে:

ধরা যাক (2x + \(1 \over 4\))2 = 0

⇒ (2x + \(1 \over 4\)) = 0

⇒ x = - \(1 \over 8\) = - 0.125

∴ বাস্তব সংখ্যাটি - 0.125 হিসাবে গণনা করা হয়।

Alternate Methodগণনা:

প্রশ্ন অনুযায়ী,

⇒ f (x) = x + 4 × x2

ক্রিটিক্যাল পয়েন্ট "x " এর জন্য, f ' (x) = 0

ডেরিভেটিভ করে পাই,

⇒ f ' (x) = 1 + 4 × (2x) = 0

⇒ f ' (x) = 1 + 8x = 0

⇒ 8x = - 1

⇒ x = - 1 / 8 = - 0.125

∴ বাস্তব সংখ্যাটি - 0.125 হিসাবে গণনা করা হয়।

প্রদত্ত 

2x5 + 2x3y3 + 4y4 + 5।

ধারণা

একটি বহুপদের ডিগ্রী, অ-শূন্য সহগের সাথে তার একক পদের ডিগ্রী সর্বাধিক হয়। 

সমাধান

2x ⁵ এর বহুপদের ডিগ্রি = 5 

2x ³ y ³ এর বহুপদের ডিগ্রি = 3 + 3 = 6

4y ⁴ এর বহুপদের ডিগ্রি = 4 

5 এর বহুপদের ডিগ্রি = 0

সুতরাং, সর্বোচ্চ ডিগ্রি হল 6।

∴ বহুপদের ডিগ্রি = 6

অনুসৃত ধারণা:

যদি বহুপদী p(x) এর α এবং β শূন্যক হয় তাহলে,

p(α) = 0 এবং p(β) = 0

গণনা:

ধরি, p(x) = (k - 1)x2 + kx +1

প্রশ্ন অনুসারে, x = -3 তার শূন্যকের একটি, অতএব

x = -3 এ p(x) শূন্য হয়ে যায়।

অতএব,

(k - 1)(-3)2 + k(-3) +1 = 0

⇒ 9k - 9 - 3k + 1 = 0

⇒ 6k = 8

⇒ k = 4/3

অতএব, বিকল্প 2 সঠিক।

অনুসৃত সূত্র:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

গণনা:

ধরা যাক a = x2, b = -y2, c = z2

⇒ (x2 + y2 - z2)2 = x4 + y4 + z4 + 2x2y2 – 2y2z2 – 2z2x2      ----(1)

ধরা যাক a = x2, b = y2, c = -z2

⇒ (x2 - y2 + z2)2 = x4 + y4 + z4 – 2x2y2 – 2y2z2 + 2z2x2      ----(2)

(1) – (2)

⇒ 4x2y2 – 4z2x2

∴ আবশ্যক উত্তরটি হল 4x2y2 – 4x2z2

Alternate Method

ধরি x = 1, y = 2 এবং z = -3

এখন (x2 + y2 - z2)2 - (x2 - y2 + z2)2 -তে মান বসিয়ে পাই

(1 + 4 - 9)2 - (1 - 4 + 9)2

16 - 36 = - 20

এখন বিকল্পে x = 1, y = 2 এবং z = -3 বসিয়ে পাই

1)  4x2y2 - 4x2z2 = 4(1)(2)2 - 4(1)(3)2 = 16 - 36 = -20

সুতরাং বিকল্প 1 সঠিক উত্তর

প্রদত্ত 

4x4 + 3x3 + 2x2 + x + 1

ধারণা

একটি বহুপদী সংখ্যামালার ডিগ্রী, অ-শূন্য সহগের সাথে তার কোন একক পদের ডিগ্রীর সর্বাধিক হয়। 

সমাধান

4x⁴ এর বহুপদী সংখ্যামালার ডিগ্রি = 4  

3x3 এর বহুপদী সংখ্যামালার ডিগ্রি = 3 

2x² এর বহুপদী সংখ্যামালার ডিগ্রি = 2

x এর বহুপদী সংখ্যামালার ডিগ্রি = 1 

সুতরাং, সর্বোচ্চ ডিগ্রি হল 4।

∴ বহুপদী সংখ্যামালার ডিগ্রি হল = 4

আমরা জানি যে 

x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2 – xy)

এখন আমাদের কাছে আছে x3 + y3 = 22 এবং x + y = 5

⇒ 22 = 5(x2 + y2 – xy)

⇒ 22 = 5[(x + y)2 − 3xy)]

⇒ 22 = 5[(5)2 − 3xy)]

⇒ xy = 103/15

এখন x3 + y3 = 22 কে x + y = 5 সাথে গুণ করে পাই 

⇒ x4 + y4 + xy(x2 + y2) = 110

⇒ x4 + y4 = 110 – xy{(x2 + y2 − 2xy + 2xy)}

⇒ x4 + y4 = 110 – xy{(x + y)2 − 2xy}

xy = 103/15 এবং x + y = 5

⇒ x4 + y4 = 110 – 103/15{(5)2 − 2 × 103/15}

⇒ x4 + y4 = 110 – 6.87{(25 –  13.73}

⇒ x4 + y4 = 110 – 6.87 {(11.27)}

⇒ x4 + y4 = 110 – 77.42

⇒ x4 + y4 = 32.58

∴  x4 + y4 এর মান হল s 33.

অনুসৃত ধারণা:

ভাগশেষ উপপাদ্য:

যদি একটি বহুপদী p(x) কে (x−a) দ্বারা ভাগ করা হয়, তাহলে ভাগশেষ a হয়

p(a) দ্বারা প্রদত্ত ধ্রুবক।

গণনা:

ধরুন p(x) = 5x3 + 5x2 – 6x + 9

যেহেতু, (x + 3) দ্বারা p(x)-কে ভাগ করা হলে, ভাগশেষ হবে p(-3)

⇒ p(-3) = 5 × (-3)3 + 5 × (-3)2 – 6 × (-3) + 9

⇒ p(-3) = -63

ধারণা:

ভাগশেষ উপপাদ্য: ধরুন p(x) একের চেয়ে বড় বা সমান যেকোন ঘাতের বহুপদী এবং 'a' যেকোন বাস্তব সংখ্যা। যদি p(x) কে (x - a) দ্বারা ভাগ করা হয়, তাহলে ভাগশেষ p(a) এর সমান।

গণনা:

আমাদের আছে, x + 2 = x - (-2)

সুতরাং, ভাগশেষ উপপাদ্য দ্বারা, যখন p(x) কে (x + 2) = (x - (-2)) দ্বারা ভাগ করা হয় তখন ভাগশেষ p(-2) এর সমান।

এখন, p(x) = 2x5 + 4x4 + 7x3 - x2 + 3x + 12

⇒ p(-2) = 2(-2)5 + 4(-2)4 + 7(-2)3 - (-2)2 + 3(-2) + 12

⇒ p(-2) = -2(32) + 4(16) - 7(8) - (4) - 6 + 12

⇒ p(-2) = -64 + 64 - 56 - 4 + 6

⇒ p(-2) = -54

অতএব, নির্ণেয় ভাগশেষ = -54

অনুসৃত সূত্র:

(a + b)² = (a2 + b2 + 2ab)

(a - b)(a + b) = a2 - b2

গণনা:

= 25 - (x2 + y2 + 2xy)

= 5² - (x + y)²

= ( 5 + x + y ) (5 - (x + y))

∴ উৎপাদকগুলি হল ( 5 + x + y ) (5 - x - y)

ধরুন, f(x) = 4x6 – 5x3 – 3

⇒ f(x) = 4 × (x3)2 – 5x3 – 3

এখন, x3 – 2 = 0

⇒ x3 = 2 

x3 = 2 কে f(x) এর স্থানে রাখলে আমরা পাই 

⇒ 4 × 22 – 5 × 2 – 3

⇒ 16 – 10 – 3

⇒ 3

গণনা:

x + 1/y = 3      ----(1) 

y + 1/z = 2      ----(2) 

z + 1/x = 4      ----(3)

সমীকরণটিকে যোগ করুন। (1), (2) এবং (3)

⇒ x + y + z + 1/x + 1/y + 1/z = 9      ----(4)

এখন সমীকরণটিকে গুণ করুন। (1), (2) এবং (3)

⇒ (x + 1/y) × (y + 1/z) × (z + 1/x) = 3 × 2 × 4

⇒ (xy + x/z + 1 + 1/zy)(z + 1/x) = 24

⇒ (xyz + y + x + 1/z + z + 1/x + 1/y + 1/xyz) = 24

⇒ [xyz + (1/xyz) + x + y + z + 1/x + 1/y + 1/z] = 24

⇒ xyz + 1/xyz + 9 = 24 

⇒ xyz + 1/xyz = 24 – 9 = 15

∴ উত্তর হল 15