Transpose of a Matrix MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Transpose of a Matrix - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा

(A + B)^t = A^t + B^t

गणना

दिया गया है:

\(3A + 4B^T = \begin{pmatrix} 7 & -10 & 17 \\ 0 & 6 & 31 \end{pmatrix}\) .....(1)

\(2B - 3A^T = \begin{pmatrix} -1 & 18 \\ 4 & -6 \\ -5 & -7 \end{pmatrix}\) .......(2)

(1) का परिवर्त: \(3A^T + 4B = \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ -10 & 6 \\ 17 & 31 \end{pmatrix}\) .....(3)

(2) और (3) को जोड़ने पर: \(6B = \begin{pmatrix} 6 & 18 \\ -6 & 0 \\ 12 & 24 \end{pmatrix}\)

⇒ \(B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 0 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\)

⇒ \(5B = \begin{pmatrix} 5 & 15 \\ -5 & 0 \\ 10 & 20 \end{pmatrix}\)

⇒ \((5B)^T = \begin{pmatrix} 5 & -5 & 10 \\ 15 & 0 & 20 \end{pmatrix}\)

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

अवधारणा -

यदि A = \(\begin{bmatrix}a&b\\\ c&d\end{bmatrix}\) है, तब परिवर्त (A) = A' = \(\begin{bmatrix}a&c\\\ b&d\end{bmatrix}\)

स्पष्टीकरण -

हमें प्राप्त है: A' = \(\begin{bmatrix}-2&3\\\ 1&2\end{bmatrix}\) और B = \(\begin{bmatrix}-1&0\\\ 2&3\end{bmatrix}\) है, यहाँ A', A का परिवर्त है।

अब A = \(\begin{bmatrix}-2&1\\\ 3&2\end{bmatrix}\)

इसलिए, 3A = \(\begin{bmatrix}-6&3\\\ 9&6\end{bmatrix}\) और 2B = \(\begin{bmatrix}-2&0\\\ 4&6\end{bmatrix}\)

अब 3A + 2B = \(\begin{bmatrix}-6&3\\\ 9&6\end{bmatrix}\) + \(\begin{bmatrix}-2&0\\\ 4&6\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}-8&3\\\ 13&12\end{bmatrix}\)

अब, (3A + 2B)' = \(\begin{bmatrix}-8&13\\\ 3&12\end{bmatrix}\)

अत:, विकल्प (3) सही है।

अवधारणा -

यदि A = \(\begin{bmatrix}a&b\\\ c&d\end{bmatrix}\) है, तब परिवर्त (A) = A' = \(\begin{bmatrix}a&c\\\ b&d\end{bmatrix}\)

स्पष्टीकरण -

हमें प्राप्त है: A' = \(\begin{bmatrix}-2&3\\\ 1&2\end{bmatrix}\) और B = \(\begin{bmatrix}-1&0\\\ 2&3\end{bmatrix}\) है, यहाँ A', A का परिवर्त है।

अब A = \(\begin{bmatrix}-2&1\\\ 3&2\end{bmatrix}\)

इसलिए, 3A = \(\begin{bmatrix}-6&3\\\ 9&6\end{bmatrix}\) और 2B = \(\begin{bmatrix}-2&0\\\ 4&6\end{bmatrix}\)

अब 3A + 2B = \(\begin{bmatrix}-6&3\\\ 9&6\end{bmatrix}\) + \(\begin{bmatrix}-2&0\\\ 4&6\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}-8&3\\\ 13&12\end{bmatrix}\)

अब, (3A + 2B)' = \(\begin{bmatrix}-8&13\\\ 3&12\end{bmatrix}\)

अत:, विकल्प (3) सही है।

दिया गया है:

A एक 2 × 2 आव्यूह है जो इस प्रकार है

1. A + AT = I
2. ATA = I​

संकल्पना:

• आव्यूह गुणन पंक्ति में स्तंभ-वार है।
• AT द्वारा दर्शाए गए आव्यूह A का परिवर्त पंक्तियों को स्तम्भ में परिवर्तित करके और इसके विपरीत प्राप्त किया जाता है।

​हल:

माना कि A = \(\begin {bmatrix} a & b \\ c & d \end {bmatrix} \)

तब AT = \(\begin {bmatrix} a & c \\ b & d \end {bmatrix} \)

∵ A + AT = I

⇒ \(\begin {bmatrix} 2a & b+c \\ b+c & 2d \end {bmatrix} \) = \(\begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {bmatrix} \)

अवयवों को बराबर करने पर -

2a = 1

⇒ a = 1/2    - (i)

b + c = 0

⇒ b = -c    - (ii)

2d = 1

⇒ d = 1/2    - (iii)

साथ ही, 

ATA = I

⇒ \(\begin {bmatrix} a^2+c^2 & ab+cd \\ ab+cd & b^2+d^2 \end {bmatrix} \) = \(\begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {bmatrix} \)

(i), (ii) और (iii) से a, b, c के मान रखने पर -

हम देखते है a2 + c2 = 1

⇒ c2 = 3/4

⇒ c = ±\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 

इसी प्रकार, देख सकते है, b = ±\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 

इसलिए, संभव आव्यूह \(\begin {bmatrix} 1/2 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end {bmatrix}\) और \(\begin {bmatrix} 1/2 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end {bmatrix} \) है

इसलिए, आव्यूह की कुल संख्या = 2

संकल्पना:

• सबसे पहले, हमें यह जांचना होगा कि P और P^T का गुणन संभव है या नहीं।
• [P] _{2 × 3} .[P^T] _{3 × 2} = [Q] _{2 × 2}

गणना:

दिया गया है: \(P = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right]\), Q = P{P^T}

\(\Rightarrow Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 2\\ 1 \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 3\\ 1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6&8\\ 8&{11} \end{array}} \right)\)

∴ | Q | = 66 - 64 = 2. 

संकल्पना:

आव्यूह का पक्षांतर:

साधारण आव्यूह के पंक्तियों और स्तंभों को एक-दूसरे से परिवर्तित करके प्राप्त नए आव्यूह को आव्यूह का पक्षांतर कहा जाता है। 

इसे A′ या AT द्वारा दर्शाया गया है। 

गणना:

दिया गया है A = \(\begin{bmatrix} 1& -1 &0 \\ 3& 2 & -1 \end{bmatrix}\) और B = \(\begin{bmatrix} 1 \\ 3\\ 5 \end{bmatrix}\)

AB = \(\begin{bmatrix} 1& -1 &0 \\ 3& 2 & -1 \end{bmatrix}\) × \(\begin{bmatrix} 1 \\ 3\\ 5 \end{bmatrix}\)

AB = \(\begin{bmatrix} 1-3+0 \\ 3+6-5 \end{bmatrix}\)

AB = \(\begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}\)

∴ (AB)^T = \(\begin{bmatrix} -2 & 4 \end{bmatrix}\)

अवधारणा:

एक आव्यूह का परिवर्त​:

मूल आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में परिवर्तित कर प्राप्त नए आव्यूह को आव्यूह का परिवर्त कहा जाता है।

इसे A′ या A^T द्वारा दर्शाया गया है

समान आव्यूह​:

दो आव्यूह समान हैं यदि उनके समान आयाम या कोटि हैं और संबंधित तत्व समान हैं।

गणना:

दिए गया है कि \(\rm A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos 2θ }&{ - \sin 2θ }\\ {\sin 2θ }&{\cos 2θ } \end{array}} \right]\) और A + AT = I

\(\rm A^T = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\cos 2θ }&{ \sin 2θ }\\ {-\sin 2θ }&{\cos 2θ } \end{array}} \right]\)

A + A^T = \(\rm \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos 2θ }&{ - \sin 2θ }\\ {\sin 2θ }&{\cos 2θ } \end{array}} \right]\) + \(\rm \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos 2θ }&{ \sin 2θ }\\ {-\sin 2θ }&{\cos 2θ } \end{array}} \right]\) = I

\(\rm \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\cos 2θ }&{ 0 }\\ {0 }&{2\cos 2θ } \end{array}} \right]\) = \(\rm \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 }&{0 }\\ {0 }&{1 } \end{array}} \right]\)

∴ 2cos 2θ = 1

cos 2θ = \(1\over2\)

2θ = \(\pi\over3\)

θ = \(\boldsymbol{\pi\over6}\)

संकल्पना:

आव्यूह का पक्षांतर:

वास्तविक आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों को एक-दूसरे से परिवर्तित करके प्राप्त नए आव्यूह को आव्यूह का पक्षांतर कहा जाता है। 

उदाहरण के लिए:

\(\rm A=\begin{bmatrix} \rm a & \rm b \\ \rm x & \rm y \end{bmatrix}\Rightarrow A'=\begin{bmatrix} \rm a & \rm x \\ \rm b & \rm y \\ \end{bmatrix}\).

इसे A' या A^T द्वारा दर्शाया गया है। 

आव्यूह के पक्षांतर के गुण:

• दो आव्यूहों के गुणनफल का पक्षांतर विपरीत क्रम में उनके पक्षांतरों के गुणनफल के समकक्ष होता है। 

  (AB)' = B'A'

• (ABC)' = C'B'A'

• (A')' = A

गणना:

यह दिया गया है कि B विषम-सममित आव्यूह है। 

∴ B' = -B

अब, माना कि गुणनफल आव्यूह का पक्षांतर A′BA है। 

(A′BA)' = A'B'(A')'

= A'(-B)A               [∵ B' = -B]

= -(A'BA)

चूँकि पक्षांतर इसके ऋणात्मक के बराबर होता है, इसलिए यह विषम-सममित आव्यूह है। 

संकल्पना:

एक आव्यूह का पक्षांतर:

वास्तविक आव्यूह के पंक्तियों और स्तंभों को एक-दूसरे से परिवर्तित करके प्राप्त नए आव्यूह को आव्यूह का पक्षांतर कहा जाता है। 

इसे A′ या A^T द्वारा दर्शाया गया है। 

गणना:

दिया गया है:

A = \(\begin{bmatrix} -3 & 4\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

अब आव्यूह A का पक्षांतर ज्ञात करने के लिए,

A^T = \(\begin{bmatrix} -3 & 0\\ 4 & 1 \end{bmatrix}\)

अब,

A - AT = \(\begin{bmatrix} -3 & 4\\ 0 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -3 & 0\\ 4 & 1 \end{bmatrix}\)

\(= \begin{bmatrix} 0 &4 \\ -4&0 \end{bmatrix}\)

संकल्पना:

एक आव्यूह का पक्षांतर:

वास्तविक आव्यूह के पंक्तियों और स्तंभों को एक-दूसरे से परिवर्तित करके प्राप्त नए आव्यूह को आव्यूह का पक्षांतर कहा जाता है। 

इसे A′ या AT द्वारा दर्शाया जाता है। 

गणना:

दिया गया है:

A = \(\begin{bmatrix} 4 & -3\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)

अब आव्यूह A का पक्षांतर ज्ञात करने के लिए,

AT = \(\begin{bmatrix} 4 & 1\\ -3 & 0 \end{bmatrix} \)

अब, 

A + AT = \(\begin{bmatrix} 4 & -3\\ 1 & 0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 4 & 1\\ -3 & 0 \end{bmatrix}\)

\(= \begin{bmatrix} 4+4 &-3+1 \\ 1+(-3)&0+0 \end{bmatrix}\)

\(= \begin{bmatrix} 8 & -2\\ -2 & 0 \end{bmatrix} \)

धारणा:

एक आव्यूह का परावर्त:

मूल आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त किए गए नए आव्यूह को आव्यूह का परावर्त कहा जाता है।

उदाहरण के लिए: \(\rm A=\begin{bmatrix} a & b & c \\ x & y & z \end{bmatrix}\Rightarrow A'=\begin{bmatrix} a & x \\ b & y \\ c & z \end{bmatrix}\)

इसे \(\rm A'\) या A^T द्वारा दर्शाया जाता है।

गणना:

दिया हुआ, \(\rm A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\\ - \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}\)

A' को आव्यूह A की पंक्ति और स्तंभ को आपस में बदलकर प्राप्त किया जा सकता है

\(\rm A' = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}\)

मान लें, AA' =\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\\ - \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}\)

⇒AA' = \(\rm \begin{bmatrix} \cos ^2\alpha+\sin^2\alpha & -\cos\alpha\sin \alpha +\sin\alpha \cos\alpha \\\ -\cos\alpha\sin \alpha +\sin\alpha \cos\alpha & \cos ^2\alpha+\sin^2\alpha \end{bmatrix}\)

⇒AA' = \(\rm \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

⇒AA' = I

इसलिए यदि \(\rm A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\\ - \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}\) तो AA' = I

संकल्पना:

1) एक आव्यूह का परिवर्त:

मूल आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त किए गए नए आव्यूह को आव्यूह का परिवर्त कहा जाता है।

उदाहरण के लिए: \(A = \begin{bmatrix} a &b & c \\[0.3em] x & y & z \\[0.3em] \end{bmatrix}\) ⇒ \(A^T = \begin{bmatrix} a &x \\[0.3em] b & y \\[0.3em] c & z \\[0.3em] \end{bmatrix}\)

इसे A' या A^T से निरूपित करते हैं।
2) दो आव्यूहों के जोड़ने और घटाने के लिए, आव्यूहों का क्रम बराबर होना चाहिए।

गणना:

दिया गया:

\(A = \begin{bmatrix} 1 &0 & 0 \\[0.3em] 0& 1 &0\\[0.3em] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) और \(B = A^T= \begin{bmatrix} 1 &0 & 0 \\[0.3em] 0& 1 &0\\[0.3em] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

C = A + B

⇒ \(C = \begin{bmatrix} 1 &0 & 0 \\[0.3em] 0& 1 &0\\[0.3em] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 1 &0 & 0 \\[0.3em] 0& 1 &0\\[0.3em] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

⇒ \(C = \begin{bmatrix} 2 &0 & 0 \\[0.3em] 0& 2 &0\\[0.3em] 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\)

⇒ ∣C∣ = 2(4 - 0)

⇒ ∣C∣ = 8

∴ आव्यूह C का सारणिक 8 है।

संकल्पना:

एक योग का पक्षांतर: दो आव्यूहों के योग का पक्षांतर उनके पक्षांतरों के योग के समकक्ष होता है: (A + B)^T = A^T + B^T

एक गुणनफल का पक्षांतर: दो आव्यूहों के गुणनफल का पक्षांतर विपरीत क्रम में उनके पक्षांतरों के गुणनफल के समकक्ष है: (AB)^T = B^T A^T

गणना:

दिया गया है: (AB + B)^T = B^TX

⇒ (AB + B)^T 

= (AB)^T + B^T

= B^TA^T + B^TI

= B^T (A^T + I) = B^T X

∴ X = (A^T + I)

संकल्पना:

एक आव्यूह का पक्षांतर:

वास्तविक आव्यूह के पंक्तियों और स्तंभों को एक-दूसरे से परिवर्तित करके प्राप्त नए आव्यूह को आव्यूह का पक्षांतर कहा जाता है। 

उदाहरण के लिए:\(\rm A=\begin{bmatrix} \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x & \rm y & \rm z \end{bmatrix}\Rightarrow A'=\begin{bmatrix} \rm a & \rm x \\ \rm b & \rm y \\ \rm c & \rm z \end{bmatrix}\)

• इसे \(\rm A'\) या A^T  द्वारा दर्शाया जाता है। 

एक आव्यूह के पक्षांतर का गुण:

• एक आव्यूह का पक्षांतर स्वयं आव्यूह होता है: \(\rm (A')'=A\).
• बराबर आव्यूहों के पक्षांतर भी बराबर होते हैं: \(\rm A=B\Rightarrow A'=B'\).
• दो आव्यूहों के योग/अंतर का पक्षांतर उनके पक्षांतरों के योग/अंतर के समकक्ष होता है:\(\rm (A\pm B)'=A'\pm B'\).
• दो आव्यूह के गुणनफल का पक्षांतर विपरीत क्रम में उनके पक्षांतरों के गुणनफल के समकक्ष होता है: \(\rm (AB)'=B'A'\).

गणना:

एक आव्यूह के पक्षांतर के गुणों का प्रयोग करने पर:

\(\rm 3A + 4B' = \begin{bmatrix} 7 & -10 & 17 \\ 0 & \ \ \ 6 & 31 \end{bmatrix}\)

\(\rm \Rightarrow (3A + 4B')' = \begin{bmatrix} 7 & -10 & 17 \\ 0 & \ \ \ 6 & 31 \end{bmatrix}'\)

\(\rm \Rightarrow 3A' + 4(B')' = \begin{bmatrix} 7 & -10 & 17 \\ 0 & \ \ \ 6 & 31 \end{bmatrix}'\)

\(\rm \Rightarrow 3A' + 4B = \begin{bmatrix} \ \ \ 7 & 0 \\-10 & 6 \\ \ \ \ 17 & 31 \end{bmatrix}\qquad\qquad\qquad ...(1)\)

साथ ही, \(\rm 2B-3A' = \begin{bmatrix}-1 & \ \ \ 18\\\ \ \ 4 & \ \ \ 0\\-5 & -7\end{bmatrix}\qquad\qquad\qquad ...(2)\)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है,\(\rm (3A'+4B)+(2B-3A')= \begin{bmatrix} \ \ 7 & 0 \\-10 & 6 \\ \ \ 17 & 31 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1 & \ \ 18\\ \ \ 4 & \ \ 0\\-5 & -7\end{bmatrix}\)

\(\rm \Rightarrow 6B+0=\begin{bmatrix}\ \ 7-1 & \ 0+18\\-10+4 & \ 6+0\\ \ \ 17-5 & \ 31-7\end{bmatrix}\)

\(\rm \Rightarrow 6B=\begin{bmatrix} \ \ 6 & 18 \\-6 & 6 \\ \ \ 12 & 24 \end{bmatrix}\)

\(\rm \Rightarrow B=\begin{bmatrix} \ \ \ 1 & 3 \\-1 & 1 \\ \ \ \ 2 & 4 \end{bmatrix}\)

अवधारणा:

एक आव्यूह का परावर्त:

मूल आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त किए गए नए आव्यूह को आव्यूह का परावर्त कहा जाता है।

इसे A′ या AT द्वारा दर्शाया गया है

उदाहरण के लिए: \(\rm A=\begin{bmatrix} \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x & \rm y & \rm z \end{bmatrix}\Rightarrow A'=\begin{bmatrix} \rm a & \rm x \\ \rm b & \rm y \\ \rm c & \rm z \end{bmatrix}\)

गणना:

माना आव्यूह A =\(\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}&a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\)

a₁₁ = 2 × (1) - 1 = 1

a₁₂ = 2 × (1) - 2 = 0

a₁₃ = 2 × (1) - 3 = -1

a₂₁ = 2 × (2) - 1 = 3

a₂₂ = 2 × (2) - 2 = 2

a₂₃ = 2 × (2) - 3 = 1

a₃₁ = 2 × (3) - 1 = 5

a₃₂ = 2 × (3) - 2 = 4

a₃₃ = 2 × (3) - 3 = 3

∴ A = \(\begin{bmatrix} 1& 0 & -1\\ 3 & 2 & 1\\ 5& 4 & 3 \end{bmatrix}\)

A^T = \(\begin{bmatrix} a_{11}& a_{21}&a_{31}\\ a_{12}& a_{22}& a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{bmatrix}\)

⇒ A^T = \(\boldsymbol{\begin{bmatrix} 1& 3 & 5\\ 0 & 2 & 4\\ -1& 1 & 3 \end{bmatrix}}\)

Additional Information

आव्यूह के परावर्त के गुण:

• आव्यूह के परावर्त का परावर्त आव्यूह ही होता है:
• समान आव्यूहों के परावर्त भी समान हैं
• दो आव्यूहों के योग/अंतर का परावर्त उनके परावर्तो के योग/अंतर के समतुल्य है:
• दो आव्यूहों के गुणनफल का परावर्त विपरीत क्रम में उनके परावर्त के गुणनफल के समतुल्य है: