Indefinite Integrals MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Indefinite Integrals - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన:

I = \(\rm \int\left(1+x-\frac{1}{x}\right) e^{x+\frac{1}{x}} d x\) అనుకుందాం

= \(\rm \int e^{x+\frac{1}{x}} d x+ \int x\left(1-\frac{1}{x^2}\right) e^{x+\frac{1}{x}} d x\)

= \(\rm \int e^{x+\frac{1}{x}} d x+ \int x\left(1-\frac{1}{x^2}\right) e^{x+\frac{1}{x}} d x\)

= \(\rm \int e^{x+\frac{1}{x}} d x+xe^{x+\frac{1}{x}} d x-\int\frac{d}{dx}(x)e^{x+\frac{1}{x}} d x\)

= \(\rm \int e^{x+\frac{1}{x}} d x+xe^{x+\frac{1}{x}} d x-\int e^{x+\frac{1}{x}} d x\) [∵ \(\rm \int \left(1-\frac{1}{x^2}\right) e^{x+\frac{1}{x}} d x = e^{x+\frac{1}{x}}\)]

= \(\rm x e^{x+\frac{1}{x}}+c \)

కాబట్టి, సమాకలని విలువ \(\rm x e^{x+\frac{1}{x}}+c\).

సరైన సమాధానం 2వ ఎంపిక .

గణన

\(\displaystyle \int (1+x-\displaystyle \frac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}} dx \)

\(\Rightarrow\int e^{(x+\frac{1}{x})}dx + \int x(1-\displaystyle \frac{1}{x^{2}})e^{(x+\frac{1}{x})}dx\)

భాగాల ద్వారా సమాకలనం ఉపయోగించి

\(\Rightarrow\int e^{(x+\frac{1}{x})}dx + xe^{(x+\frac{1}{x})}-\int e^{(x+\frac{1}{x})}dx\)

\(\Rightarrow xe^{(x+\frac{1}{x})}+c\)

కాబట్టి 2వ ఎంపిక సరైనది

భావన: 

\(\rm \int x^{n}\space dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\)

\(\rm \int f(x) \space dx^2\) = \(\rm \int (1 + x^{2} + x^{4}) \space d(x^2)\)      ....(i)

గణన:

x2 = u అనుకోండి

సమీకరణం (i) నుండి

​\(\rm \int f(x) \space dx^2\) = \(\rm \int (1 + u + u^{2}) \space du\)

⇒ u + \(\rm \frac{u^{2}}{2}\) + \(\rm \frac{u^{3}}{3}\)+ C

ఇప్పుడు u యొక్క విలువను ప్రతిక్షేపించగా,

​⇒ \(\rm \int f(x)dx^2\) = x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C

∴ అవసరమైన సమాకలనం x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C.

భావన :

పాక్షిక భిన్నం :

గణన :

ఇక్కడ మనం \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\) విలువను కనుగొనాలి

\(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)

⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)

(1)కి రెండు వైపులా x = 0 పెట్టడం ద్వారా మనకు A = 1/2 వస్తుంది

(1)కి రెండు వైపులా x = - 2 పెట్టడం ద్వారా మనకు B = - 1/2 వస్తుంది

\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)

\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)

మనకు తెలిసినట్లుగా \(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\) ఇక్కడ C స్థిరాంకం

\(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) ఇక్కడ C అనేది స్థిరాంకం

\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)

\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)

భావన:

ఏకీకరణ అనేది భేదం యొక్క విలోమ ప్రక్రియ కాబట్టి దీనిని వ్యతిరేక భేదం అంటారు.

అంటే g (x) = f'(x) అయితే \(\smallint g\left( x \right)\;dx = \smallint f'\left( x \right)\;dx = f\left( x \right) + C\)

\(\smallint \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)\;dx = \smallint f\left( x \right)\;dx + \smallint g\left( x \right)\;dx\)

\(\smallint a{x^n}\;dx = a \times \frac{{{x^{n\; + \;1}}}}{{n + 1}} + C\)

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - kx + 1\), f(0) = 0 మరియు f(3) = 15.

ఇప్పుడు, f’(x)ని ఏకీకృతం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \smallint f'\left( x \right)\;dx = \smallint \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - kx + 1} \right)\;dx\)

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \smallint \frac{{{x^2}}}{2}\;dx - k\smallint x\;dx + \;\smallint dx\)

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{6} - k \times \frac{{{x^2}}}{2} + x + C\)

అది ఇచ్చినట్లుగా, f(0) = 0 మరియు f(3) = 15.

\(\Rightarrow f\left( 0 \right) = C = 0\)

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{6} - k \times \frac{{{x^2}}}{2} + x\)

\(\Rightarrow f\left( 3 \right) = \frac{9}{2} - \frac{9}{2}\;k + 3 = 15\)

⇒ k = - 5/3

భావన:

పూర్ణ లక్షణము:

• ∫ x n dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\) + C ; n ≠ -1
• \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C
• ∫ e x dx = e x + C
• ∫ a x dx = (a x /ln a) + C ; a > 0, a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C

భాగాల వారీగా ఇంటిగ్రేషన్ : భాగాల ద్వారా ఇంటిగ్రేషన్ అనేది ఉత్పత్తుల సమగ్రాలను కనుగొనే పద్ధతి. భాగాల వారీగా సమగ్రపరచడానికి సూత్రం దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది:

⇒ \(\rm ∫ u vdx=u ∫ vdx- ∫ \left({du\over dx}\times ∫ vdx\right)dx \) + C

ఇక్కడ u అనేది ఫంక్షన్ u(x) మరియు v అనేది ఫంక్షన్ v(x)

ILATE నియమం సాధారణంగా, ఈ నియమం యొక్క ప్రాధాన్యత క్రమం విలోమం, సంవర్గమానం, బీజగణితం, త్రికోణమితి మరియు ఘాతాంకం వంటి కొన్ని ఫంక్షన్‌లపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

లెక్కింపు:

I = \(\rm \int xlog xdx \)

I = \(\rm \ln x∫ xdx- ∫ \left({d\over dx}(\log x)\times ∫ xdx\right)dx +c\)

I = \(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({1\over x}\times{x^2\over2}\right)dx +c\)

I= \(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({x\over2}\right)dx +c\)

I = \(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({x\over2}\right)dx +c\)

భావన:

\(\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\)

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన,

∫(cos x - sin x)/ \(\rm \sqrt{8-\sin 2x)}\) dx = a sin -1 (sin x + cos x)/b + c

I = ∫(cos x - sin x)/ \(\rm \sqrt{8-\sin 2x)}\) dx అని అనుకుందాం.

sin x + cos x = t ⇒ (cos x -sin x ) dx = dt అని ఉంచండి.

మరియు, 1 + sin 2x = t2

⇒ I = ∫dt/√(8-(t2 -1))

= ∫dt/(9-t2 )

= sin-1 (t/3) + c

= sin-1 (sin x + cos x)/3 + c = a sin-1 (sin x + cos x)/b + c

⇒ a = 1 మరియు b = 3

∴ క్రమ జత (a, b) (1, 3)కి సమానం.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.

భావన: 

\(\rm \int x^{n}\space dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\)

\(\rm \int f(x) \space dx^2\) = \(\rm \int (1 + x^{2} + x^{4}) \space d(x^2)\)      ....(i)

గణన:

x2 = u అనుకోండి

సమీకరణం (i) నుండి

​\(\rm \int f(x) \space dx^2\) = \(\rm \int (1 + u + u^{2}) \space du\)

⇒ u + \(\rm \frac{u^{2}}{2}\) + \(\rm \frac{u^{3}}{3}\)+ C

ఇప్పుడు u యొక్క విలువను ప్రతిక్షేపించగా,

​⇒ \(\rm \int f(x)dx^2\) = x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C

∴ అవసరమైన సమాకలనం x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C.

భావన :

పాక్షిక భిన్నం :

గణన :

ఇక్కడ మనం \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\) విలువను కనుగొనాలి

\(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)

⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)

(1)కి రెండు వైపులా x = 0 పెట్టడం ద్వారా మనకు A = 1/2 వస్తుంది

(1)కి రెండు వైపులా x = - 2 పెట్టడం ద్వారా మనకు B = - 1/2 వస్తుంది

\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)

\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)

మనకు తెలిసినట్లుగా \(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\) ఇక్కడ C స్థిరాంకం

\(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) ఇక్కడ C అనేది స్థిరాంకం

\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)

\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)

భావన:

ఏకీకరణ అనేది భేదం యొక్క విలోమ ప్రక్రియ కాబట్టి దీనిని వ్యతిరేక భేదం అంటారు.

అంటే g (x) = f'(x) అయితే \(\smallint g\left( x \right)\;dx = \smallint f'\left( x \right)\;dx = f\left( x \right) + C\)

\(\smallint \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)\;dx = \smallint f\left( x \right)\;dx + \smallint g\left( x \right)\;dx\)

\(\smallint a{x^n}\;dx = a \times \frac{{{x^{n\; + \;1}}}}{{n + 1}} + C\)

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - kx + 1\), f(0) = 0 మరియు f(3) = 15.

ఇప్పుడు, f’(x)ని ఏకీకృతం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \smallint f'\left( x \right)\;dx = \smallint \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - kx + 1} \right)\;dx\)

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \smallint \frac{{{x^2}}}{2}\;dx - k\smallint x\;dx + \;\smallint dx\)

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{6} - k \times \frac{{{x^2}}}{2} + x + C\)

అది ఇచ్చినట్లుగా, f(0) = 0 మరియు f(3) = 15.

\(\Rightarrow f\left( 0 \right) = C = 0\)

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{6} - k \times \frac{{{x^2}}}{2} + x\)

\(\Rightarrow f\left( 3 \right) = \frac{9}{2} - \frac{9}{2}\;k + 3 = 15\)

⇒ k = - 5/3

భావన:

పూర్ణ లక్షణము:

• ∫ x n dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\) + C ; n ≠ -1
• \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C
• ∫ e x dx = e x + C
• ∫ a x dx = (a x /ln a) + C ; a > 0, a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C

భాగాల వారీగా ఇంటిగ్రేషన్ : భాగాల ద్వారా ఇంటిగ్రేషన్ అనేది ఉత్పత్తుల సమగ్రాలను కనుగొనే పద్ధతి. భాగాల వారీగా సమగ్రపరచడానికి సూత్రం దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది:

⇒ \(\rm ∫ u vdx=u ∫ vdx- ∫ \left({du\over dx}\times ∫ vdx\right)dx \) + C

ఇక్కడ u అనేది ఫంక్షన్ u(x) మరియు v అనేది ఫంక్షన్ v(x)

ILATE నియమం సాధారణంగా, ఈ నియమం యొక్క ప్రాధాన్యత క్రమం విలోమం, సంవర్గమానం, బీజగణితం, త్రికోణమితి మరియు ఘాతాంకం వంటి కొన్ని ఫంక్షన్‌లపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

లెక్కింపు:

I = \(\rm \int xlog xdx \)

I = \(\rm \ln x∫ xdx- ∫ \left({d\over dx}(\log x)\times ∫ xdx\right)dx +c\)

I = \(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({1\over x}\times{x^2\over2}\right)dx +c\)

I= \(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({x\over2}\right)dx +c\)

I = \(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({x\over2}\right)dx +c\)

గణన

\(\displaystyle \int (1+x-\displaystyle \frac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}} dx \)

\(\Rightarrow\int e^{(x+\frac{1}{x})}dx + \int x(1-\displaystyle \frac{1}{x^{2}})e^{(x+\frac{1}{x})}dx\)

భాగాల ద్వారా సమాకలనం ఉపయోగించి

\(\Rightarrow\int e^{(x+\frac{1}{x})}dx + xe^{(x+\frac{1}{x})}-\int e^{(x+\frac{1}{x})}dx\)

\(\Rightarrow xe^{(x+\frac{1}{x})}+c\)

కాబట్టి 2వ ఎంపిక సరైనది