Integral Calculus MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Integral Calculus - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన:

I = \(\rm \int\left(1+x-\frac{1}{x}\right) e^{x+\frac{1}{x}} d x\) అనుకుందాం

= \(\rm \int e^{x+\frac{1}{x}} d x+ \int x\left(1-\frac{1}{x^2}\right) e^{x+\frac{1}{x}} d x\)

= \(\rm \int e^{x+\frac{1}{x}} d x+ \int x\left(1-\frac{1}{x^2}\right) e^{x+\frac{1}{x}} d x\)

= \(\rm \int e^{x+\frac{1}{x}} d x+xe^{x+\frac{1}{x}} d x-\int\frac{d}{dx}(x)e^{x+\frac{1}{x}} d x\)

= \(\rm \int e^{x+\frac{1}{x}} d x+xe^{x+\frac{1}{x}} d x-\int e^{x+\frac{1}{x}} d x\) [∵ \(\rm \int \left(1-\frac{1}{x^2}\right) e^{x+\frac{1}{x}} d x = e^{x+\frac{1}{x}}\)]

= \(\rm x e^{x+\frac{1}{x}}+c \)

కాబట్టి, సమాకలని విలువ \(\rm x e^{x+\frac{1}{x}}+c\).

సరైన సమాధానం 2వ ఎంపిక .

గణన

\(\displaystyle \int (1+x-\displaystyle \frac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}} dx \)

\(\Rightarrow\int e^{(x+\frac{1}{x})}dx + \int x(1-\displaystyle \frac{1}{x^{2}})e^{(x+\frac{1}{x})}dx\)

భాగాల ద్వారా సమాకలనం ఉపయోగించి

\(\Rightarrow\int e^{(x+\frac{1}{x})}dx + xe^{(x+\frac{1}{x})}-\int e^{(x+\frac{1}{x})}dx\)

\(\Rightarrow xe^{(x+\frac{1}{x})}+c\)

కాబట్టి 2వ ఎంపిక సరైనది

పద్ధతి:

\(\rm \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)

సాధన: 

I = \(\rm \int_{1}^{\infty} \frac{4}{x^4}dx\)

= \(\rm \int_{1}^{\infty}4{x^{-4}}dx\)

= \(\rm \left[\frac{4x^{-3}}{-3} \right ]_1^{\infty}\)

= \(\rm \frac{-4}{3}\left[\frac{1}{x^3} \right ]_1^{\infty}\)

= \(\rm \frac{-4}{3}\left[\frac{1}{\infty} - \frac{1}{1}\right ]\)

= \(\rm \frac{-4}{3}[0-1]\)

= \(\frac 4 3\)

భావన: 

\(\rm \int x^{n}\space dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\)

\(\rm \int f(x) \space dx^2\) = \(\rm \int (1 + x^{2} + x^{4}) \space d(x^2)\)      ....(i)

గణన:

x2 = u అనుకోండి

సమీకరణం (i) నుండి

​\(\rm \int f(x) \space dx^2\) = \(\rm \int (1 + u + u^{2}) \space du\)

⇒ u + \(\rm \frac{u^{2}}{2}\) + \(\rm \frac{u^{3}}{3}\)+ C

ఇప్పుడు u యొక్క విలువను ప్రతిక్షేపించగా,

​⇒ \(\rm \int f(x)dx^2\) = x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C

∴ అవసరమైన సమాకలనం x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C.

కాన్సెప్ట్:

\(\rm \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx = \displaystyle\int_{a}^{b} f(a+b-x) dx\)

సాధన:

I పరిగణించండి= \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\sin^8 x}}{\sqrt{\sin^8 x}+ \sqrt{\cos^8 x}}dx\)  ----(i)

⇒ I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\sin^8 x}}{\sqrt{\sin^8 x}+ \sqrt{\cos^8 x}}dx\)

⇒ I = -\(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\cos^8 x}}{\sqrt{\sin^8 x}+ \sqrt{\cos^8 x}}dx\)---(ii)

(i) మరియు (ii) జోడించండి, మేము పొందుతాము

⇒ 2I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\cos^8 x}+ \sqrt{sin^8x}}{\sqrt{\cos^8 x}+ \sqrt{\sin^8 x}}dx\)

⇒ 2I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2}dx\)

⇒ 2I = \(\rm[x]^\frac{\pi}{2}_0\)

⇒ I = \(\dfrac{\pi}{4}\)

కాన్సెప్ట్:

ఇంటిగ్రేషన్ ద్వారా వక్రరేఖ కింద ఉన్న వైశాల్యం:

క్షితిజ సమాంతరంగా సంగ్రహించడం ద్వారా ఈ వక్రరేఖ కింద ఉన్న వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

ఈ సందర్భంలో, వైశాల్యం దీర్ఘచతురస్రాల మొత్తం, ఎత్తులు y = f(x) మరియు వెడల్పు dx అని మనం కనుగొంటాము.

మనం ఎడమ నుండి కుడికి సంకలనం చేయాలి.

∴ వైశాల్యం = \( \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{ydx}} = {\rm{\;}}\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}\)

లెక్కింపు:

ఇక్కడ, y = x2, x-అక్షరేఖ మరియు నిరూపకాల (ఆర్డినేట్స్) x = -1 మరియు x = 2 వక్రరేఖలతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని మనం కనుగొనాలి.

కాబట్టి, ఇవ్వబడిన వక్రరేఖలతో చుట్టబడిన వైశాల్యం \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\) ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

మనకు తెలిసినట్లుగా, \(\smallint {{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{dx}} = \frac{{{{\rm{x}}^{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} + {\rm{C}}\)

వైశాల్యం = \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\)

= \( \rm \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_{-1}^2\)

= \(\left[\frac 83 - \frac {-1}{3}\right] = \frac 93=3\)

వైశాల్యం = 3 చ. యూనిట్లు .

భావన :

పాక్షిక భిన్నం :

గణన :

ఇక్కడ మనం \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\) విలువను కనుగొనాలి

\(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)

⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)

(1)కి రెండు వైపులా x = 0 పెట్టడం ద్వారా మనకు A = 1/2 వస్తుంది

(1)కి రెండు వైపులా x = - 2 పెట్టడం ద్వారా మనకు B = - 1/2 వస్తుంది

\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)

\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)

మనకు తెలిసినట్లుగా \(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\) ఇక్కడ C స్థిరాంకం

\(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) ఇక్కడ C అనేది స్థిరాంకం

\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)

\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)

భావన:

x = a & x = b మధ్య y = f(x) వక్రరేఖ క్రింద ఉన్న వ్యాసార్థం (A) ద్వారా ఇవ్వబడింది,

A = \(\rm \displaystyle\int_a^b f(x) \ dx\)

లెక్కింపు:

ఇక్కడ, వక్రరేఖ x = f(y) మరియు రేఖలు y = a మరియు y = b

∴వ్యాసార్థం = \(\rm \int _a^bf(y)dy \cdots (\text{function is f(y)})\)

= \(\rm \displaystyle\int_a^b x \ dy\)

(∵ f(y) = x)

కాబట్టి, ఎంపిక (3) సరైనది.

భావన:

పరావలయం:

• y² = 4ax అనే పరావలయం యొక్క నాభి (a, 0) వద్ద ఉంటుంది.
• y² = 4ax అనే పరావలయం యొక్క నాభిలంబము పరావలయాన్ని (a, 2a) మరియు (a, -2a) వద్ద ఖండించింది.

వక్రరేఖ క్రింద వైశాల్యం:

• x = a నుండి x = b వరకు y = f(x) ఫంక్షన్ మరియు x-అక్షం క్రింద వైశాల్యం \(\rm \left|\int_a^b f(x)\ dx\right|\) ఖచ్చిత సమాకలని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఇచ్చిన పరిధిలో x-అక్షం యొక్క ఒకే వైపున ఉన్న వక్రరేఖలకు.
• వక్రరేఖలు x-అక్షం యొక్క రెండు వైపులా ఉంటే, మనం రెండు వైపులా వైశాల్యాలను వేరుగా లెక్కిస్తాము మరియు వాటిని కలుపుతాము.

గణన:

పరావలయం y² = 4ax గ్రాఫ్ x-అక్షానికి సమమితిగా ఉన్నందున, కావలసిన వైశాల్యం:

2 x \(\rm \left|\int_0^{a} \sqrt{4ax}\ dx\right|\)

= 2 x 2√a \(\rm \int_0^{a} \sqrt x\ dx\)

= 2 x 2√a \(\rm \left[\frac{2}{3}x^{\tfrac32}\right]_0^{a}\)

= \(\rm {8\over3} \sqrt a\times a^{\tfrac32}\) = \(\rm 8a^2\over3\).

Additional Information:

నాభిలంబము అనేది నాభి గుండా వెళ్లి నియతరేఖ సమాంతరంగా ఉండే రేఖ.

భావన:

|x| < a ⇒ - a < x < a

x-అక్షం యొక్క సమీకరణం దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది: y = 0

y = a ≠ 0 మరియు a > 0 అయితే, y = a అనేది x-అక్షానికి సమాంతరంగా మరియు x-అక్షం పైన ఉన్న రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది.

y = a ≠ 0 మరియు a <0 అయితే, y = a అనేది x-అక్షానికి సమాంతరంగా మరియు x-అక్షం క్రింద ఉన్న రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది.

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: |x| < 5, y = 0 మరియు y = 8

దిగువ చిత్రంలో చూపిన విధంగా కో-ఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో పై సమీకరణాలను మరియు సమీకరణంలో ప్లాట్ చేయడం ద్వారా:

షేడెడ్ భాగం అందించిన సమీకరణాలు మరియు సమీకరణాల ద్వారా సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతాన్ని సూచిస్తుంది.

సరిహద్దు ప్రాంతం పొడవు l = 10 యూనిట్లు మరియు వెడల్పు b = 8 యూనిట్లతో దీర్ఘచతురస్రం అని మనం చూడవచ్చు.

⇒ సరిహద్దు ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యం = l × b = 10 × 8 = 80 చ. యూనిట్లు

భావన:

ఏకీకరణ అనేది భేదం యొక్క విలోమ ప్రక్రియ కాబట్టి దీనిని వ్యతిరేక భేదం అంటారు.

అంటే g (x) = f'(x) అయితే \(\smallint g\left( x \right)\;dx = \smallint f'\left( x \right)\;dx = f\left( x \right) + C\)

\(\smallint \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)\;dx = \smallint f\left( x \right)\;dx + \smallint g\left( x \right)\;dx\)

\(\smallint a{x^n}\;dx = a \times \frac{{{x^{n\; + \;1}}}}{{n + 1}} + C\)

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - kx + 1\), f(0) = 0 మరియు f(3) = 15.

ఇప్పుడు, f’(x)ని ఏకీకృతం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \smallint f'\left( x \right)\;dx = \smallint \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - kx + 1} \right)\;dx\)

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \smallint \frac{{{x^2}}}{2}\;dx - k\smallint x\;dx + \;\smallint dx\)

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{6} - k \times \frac{{{x^2}}}{2} + x + C\)

అది ఇచ్చినట్లుగా, f(0) = 0 మరియు f(3) = 15.

\(\Rightarrow f\left( 0 \right) = C = 0\)

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{6} - k \times \frac{{{x^2}}}{2} + x\)

\(\Rightarrow f\left( 3 \right) = \frac{9}{2} - \frac{9}{2}\;k + 3 = 15\)

⇒ k = - 5/3

భావన:

• పరావలయం: పరావలయం అనేది అద్దం-సుష్టంగా మరియు దాదాపు U- ఆకారంలో ఉండే ఒక సమతల వక్రరేఖ.
• పరావలయం యొక్క సాధారణ సమీకరణం: y = a(x - h)2 + k or x = a(y - k)2 + h, ఇక్కడ (h, k) శీర్షాన్ని సూచిస్తుంది.
• సాధారణ పరావలయం యొక్క ప్రామాణిక సమీకరణం y2 = 4ax
• సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం. y = m x + c, ఇక్కడ m అనేది వాలు మరియు c అనేది అంతరాయం.

గణనలు:

ఇవ్వబడిన పరావలయం 4y = 3x² సరళ రేఖ 2y = 3x + 12 ద్వారా ఖండించబడుతుంది.

ఒక సమీకరణాన్ని మరొకదానిలో ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా పరావలయం మరియు సరళ రేఖ యొక్క ఖండన బిందువును కనుగొనండి

అంటే, 4y = 3x²లో 2y = 3x + 12, మనకు లభిస్తుంది

2(3x + 12)= 3x²

⇒  x2 - 2x - 8 = 0

⇒ x = 4 లేదా -2 అనేవి x2 - 2x - 8 = 0 అనే వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు

ఇప్పుడు ఈ విలువలను సరళ రేఖ 2y = 3x + 12 సమీకరణంలో ఉంచడం వల్ల మనకు y విలువ వస్తుంది

అనగా, \(y=\frac{3x+12}{2}\)

దీనిలో x = 4 ఉంచండి, మనకు లభిస్తుంది

\(y=\frac{3(4)+12}{2}\)

⇒ y = 12

ఇప్పుడు, x = - 2ని సరళ రేఖ 2y = 3x + 12 సమీకరణంలో ఉంచితే మనకు y విలువ వస్తుంది

\(y=\frac{3(-2)+12}{2}\)

⇒ y = 3

అందువల్ల పారాబొలా మరియు సరళ రేఖ యొక్క ఖండన బిందువులు (-2, 3) మరియు (4, 12)

చివరగా, పైన ఉన్న రేఖాచిత్రంలో షేడెడ్ ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని మనం కనుగొనాలి అంటే, ప్రాంతం యొక్క అవసరమైన వైశాల్యం OABO యొక్క వైశాల్యం.

మరియు ఈ ప్రాంతం సరళ రేఖ 2y = 3x + 12 మరియు పారాబొలా 4y = 3x² ద్వారా సరిహద్దులుగా ఉంటుంది.

సరళ రేఖ యొక్క y అక్షాంశాలు \(y=\frac{3x+12}{2}\) = f(x) మరియు పరావలయం \(y=\frac{3x^2}{4}\) = g(x)

కాబట్టి f(x) - g(x)ని ఏకీకృతం చేయడం ద్వారా మనం సరళ రేఖ మరియు వక్రరేఖ క్రింద ఉన్న ప్రాంతాన్ని పొందుతాము.

అందువలన, అవసరమైన ప్రాంతం

= \(\int\limits_{-2}^4[{f(x)-g(x)]}dx\)

= \(\int\limits_{-2}^4\bigg({\frac{3x+12}{2}-\frac{3x^2}{4}}\bigg)dx\)

దీన్ని సరళీకృతం చేయడం మరియు పరిమితులను పెట్టడం ద్వారా మనకు లభిస్తుంది,

= 27 చ.యూనిట్లు

కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఎంపిక 4).