Integral Calculus MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Integral Calculus - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

Last updated on May 14, 2025

పొందండి Integral Calculus సమాధానాలు మరియు వివరణాత్మక పరిష్కారాలతో బహుళ ఎంపిక ప్రశ్నలు (MCQ క్విజ్). వీటిని ఉచితంగా డౌన్‌లోడ్ చేసుకోండి Integral Calculus MCQ క్విజ్ Pdf మరియు బ్యాంకింగ్, SSC, రైల్వే, UPSC, స్టేట్ PSC వంటి మీ రాబోయే పరీక్షల కోసం సిద్ధం చేయండి.

Latest Integral Calculus MCQ Objective Questions

Integral Calculus Question 1:

ఇచ్చిన సమాకలని \(\rm \int\left(1+x-\frac{1}{x}\right) e^{x+\frac{1}{x}} d x\) కు సమానమైనది

  1. \(\rm (x-1) e^{x+\frac{1}{x}}+c \)
  2. \(\rm x e^{x+\frac{1}{x}}+c \)
  3. \(\rm (x+1) e^{x+\frac{1}{x}}+c \)
  4. \(\rm (x+1) e^{x-\frac{1}{x}}+c \)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\rm x e^{x+\frac{1}{x}}+c \)

Integral Calculus Question 1 Detailed Solution

గణన:

I = \(\rm \int\left(1+x-\frac{1}{x}\right) e^{x+\frac{1}{x}} d x\) అనుకుందాం

= \(\rm \int e^{x+\frac{1}{x}} d x+ \int x\left(1-\frac{1}{x^2}\right) e^{x+\frac{1}{x}} d x\)

= \(\rm \int e^{x+\frac{1}{x}} d x+ \int x\left(1-\frac{1}{x^2}\right) e^{x+\frac{1}{x}} d x\)

= \(\rm \int e^{x+\frac{1}{x}} d x+xe^{x+\frac{1}{x}} d x-\int\frac{d}{dx}(x)e^{x+\frac{1}{x}} d x\)

= \(\rm \int e^{x+\frac{1}{x}} d x+xe^{x+\frac{1}{x}} d x-\int e^{x+\frac{1}{x}} d x\) [∵ \(\rm \int \left(1-\frac{1}{x^2}\right) e^{x+\frac{1}{x}} d x = e^{x+\frac{1}{x}}\)]

= \(\rm x e^{x+\frac{1}{x}}+c \)

కాబట్టి, సమాకలని విలువ \(\rm x e^{x+\frac{1}{x}}+c\).

సరైన సమాధానం 2వ ఎంపిక .

Integral Calculus Question 2:

ఇచ్చిన సమాకలని \(\displaystyle \int (1+x-\displaystyle \frac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}} dx \) కు సమానమైనది

  1. \((x-1)e^{x+ \frac{1}{x}} +c \)
  2. \(xe^{x+\frac{1}{x}} +c \)
  3. \((x+1)e^{x+\frac{1}{x}} +c \)
  4. \(-xe^{x+\frac{1}{x}} +c \)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(xe^{x+\frac{1}{x}} +c \)

Integral Calculus Question 2 Detailed Solution

గణన

\(\displaystyle \int (1+x-\displaystyle \frac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}} dx \)

\(\Rightarrow\int e^{(x+\frac{1}{x})}dx + \int x(1-\displaystyle \frac{1}{x^{2}})e^{(x+\frac{1}{x})}dx\)

భాగాల ద్వారా సమాకలనం ఉపయోగించి

\(\Rightarrow\int e^{(x+\frac{1}{x})}dx + xe^{(x+\frac{1}{x})}-\int e^{(x+\frac{1}{x})}dx\)

\(\Rightarrow xe^{(x+\frac{1}{x})}+c\)

కాబట్టి 2వ ఎంపిక సరైనది

Integral Calculus Question 3:

వక్రం y = x3 - 19x + 30 మరియు X-అక్షం లచే ఆవరించబడిన ప్రాంత వైశాల్యం (చదరపు యూనిట్లలో)

  1. \( \frac{167}{2} \)
  2. \(\frac{517}{2}\)
  3. 36
  4. 72

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\frac{517}{2}\)

Integral Calculus Question 3 Detailed Solution

Integral Calculus Question 4:

\(\int_1^2 \frac{x^4-1}{x^6-1} d x=\)

  1. \(\frac{1}{\sqrt{3}} \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
  2. \( \frac{121}{6}\)
  3. \(\sqrt{2}-1\)
  4. \(\frac{1}{\sqrt{2}} \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\frac{1}{\sqrt{3}} \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

Integral Calculus Question 4 Detailed Solution

Integral Calculus Question 5:

\(\int_{\log 4}^{\log 5} \frac{e^{2 x}+e^x}{e^{2 x}-5 e^x+6} d x=\)

  1. \(\log \left(\frac{64}{9}\right)\)
  2. \(\log \left(\frac{256}{81}\right)\)
  3. \( \log \left(\frac{32}{3}\right)\)
  4. \( \log \left(\frac{128}{27}\right)\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \( \log \left(\frac{128}{27}\right)\)

Integral Calculus Question 5 Detailed Solution

Top Integral Calculus MCQ Objective Questions

 \(\rm \int_{1}^{\infty} \frac{4}{x^4}dx\) విలువ ఎంత?

  1. \(\frac 2 3\)
  2. \(\frac 4 3\)
  3. \(​​\frac 1 3\)
  4. పైవేవీ కాదు

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\frac 4 3\)

Integral Calculus Question 6 Detailed Solution

Download Solution PDF

పద్ధతి:

\(\rm \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)

సాధన: 

I = \(\rm \int_{1}^{\infty} \frac{4}{x^4}dx\)

\(\rm \int_{1}^{\infty}4{x^{-4}}dx\)

\(\rm \left[\frac{4x^{-3}}{-3} \right ]_1^{\infty}\)

\(\rm \frac{-4}{3}\left[\frac{1}{x^3} \right ]_1^{\infty}\)

\(\rm \frac{-4}{3}\left[\frac{1}{\infty} - \frac{1}{1}\right ]\)

\(\rm \frac{-4}{3}[0-1]\)

\(\frac 4 3\)

x2 పరంగా f(x) = 1 + x2 + x4 యొక్క సమాకలనం ఏమిటి?

  1. \(\rm x + \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+C\)
  2. \(\rm \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+C\)
  3. \(\rm x^2 + \frac{x^4}{4}+\frac{x^6}{6}+C\)
  4. \(\rm x^2 + \frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{3}+C\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\rm x^2 + \frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{3}+C\)

Integral Calculus Question 7 Detailed Solution

Download Solution PDF

భావన: 

\(\rm \int x^{n}\space dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\)

\(\rm \int f(x) \space dx^2\) = \(\rm \int (1 + x^{2} + x^{4}) \space d(x^2)\)      ....(i)

గణన:

x2 = u అనుకోండి

సమీకరణం (i) నుండి

\(\rm \int f(x) \space dx^2\) = \(\rm \int (1 + u + u^{2}) \space du\)

⇒ u + \(\rm \frac{u^{2}}{2}\) + \(\rm \frac{u^{3}}{3}\)+ C

ఇప్పుడు u యొక్క విలువను ప్రతిక్షేపించగా,

​⇒ \(\rm \int f(x)dx^2\) = x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C

∴ అవసరమైన సమాకలనం x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C.

 \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\sin^8 x}}{\sqrt{\sin^8 x}+ \sqrt{\cos^8 x}}dx\) యొక్క విలువను కనుగొనండి

  1. \(\dfrac{\pi}{4}\)
  2. \(\dfrac{\pi}{2}\)
  3. 0
  4. \(\dfrac{3\pi}{4}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\dfrac{\pi}{4}\)

Integral Calculus Question 8 Detailed Solution

Download Solution PDF

కాన్సెప్ట్:

\(\rm \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx = \displaystyle\int_{a}^{b} f(a+b-x) dx\)

సాధన:

I పరిగణించండి= \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\sin^8 x}}{\sqrt{\sin^8 x}+ \sqrt{\cos^8 x}}dx\)  ----(i)

⇒ I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\sin^8 x}}{\sqrt{\sin^8 x}+ \sqrt{\cos^8 x}}dx\)

⇒ I = -\(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\cos^8 x}}{\sqrt{\sin^8 x}+ \sqrt{\cos^8 x}}dx\)---(ii)

(i) మరియు (ii) జోడించండి, మేము పొందుతాము

⇒ 2I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\cos^8 x}+ \sqrt{sin^8x}}{\sqrt{\cos^8 x}+ \sqrt{\sin^8 x}}dx\)

⇒ 2I = \(\rm \displaystyle\int_0^{\pi/2}dx\)

⇒ 2I = \(\rm[x]^\frac{\pi}{2}_0\)

⇒ I = \(\dfrac{\pi}{4}\)

y = x2 వక్రరేఖ క్రింద ఉన్న వైశాల్యం  మరియు రేఖలు x = -1, x = 2 మరియు x-అక్షరేఖ:

  1. 3   చదరపు యూనిట్లు.
  2. 5 చదరపు యూనిట్లు.
  3. 7   చదరపు యూనిట్లు.
  4. 9   చదరపు యూనిట్లు.

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3   చదరపు యూనిట్లు.

Integral Calculus Question 9 Detailed Solution

Download Solution PDF

కాన్సెప్ట్:

ఇంటిగ్రేషన్ ద్వారా వక్రరేఖ కింద ఉన్న వైశాల్యం:

F1 Aman.K 10-07-2020 Savita D1

క్షితిజ సమాంతరంగా సంగ్రహించడం ద్వారా ఈ వక్రరేఖ కింద ఉన్న వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

ఈ సందర్భంలో, వైశాల్యం దీర్ఘచతురస్రాల మొత్తం, ఎత్తులు y = f(x) మరియు వెడల్పు dx అని మనం కనుగొంటాము.

మనం ఎడమ నుండి కుడికి సంకలనం చేయాలి.

∴ వైశాల్యం = \( \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{ydx}} = {\rm{\;}}\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}\)

 

లెక్కింపు:

ఇక్కడ, y = x2, x-అక్షరేఖ మరియు నిరూపకాల (ఆర్డినేట్స్) x = -1 మరియు x = 2 వక్రరేఖలతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని మనం కనుగొనాలి.

F1 Aman.K 14-12-20 Savita D2

కాబట్టి, ఇవ్వబడిన వక్రరేఖలతో చుట్టబడిన వైశాల్యం \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\) ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

మనకు తెలిసినట్లుగా, \(\smallint {{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{dx}} = \frac{{{{\rm{x}}^{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} + {\rm{C}}\)

వైశాల్యం = \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\)

= \( \rm \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_{-1}^2\)

= \(\left[\frac 83 - \frac {-1}{3}\right] = \frac 93=3\)

వైశాల్యం = 3 చ. యూనిట్లు .

మూల్యాంకనం చేయండి: \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\)

  1. \(- \frac{1}{2}\log \left| {\frac{2x}{{x + 2}}} \right| + C\)
  2. \(\frac{1}{2}\log \left| {\frac{2x}{{x + 2}}} \right| + C\)
  3. \(- \frac{1}{2}\log \left| {\frac{x}{{x + 2}}} \right| + C\)
  4. \(\frac{1}{2}\log \left| {\frac{x}{{x + 2}}} \right| + C\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\frac{1}{2}\log \left| {\frac{x}{{x + 2}}} \right| + C\)

Integral Calculus Question 10 Detailed Solution

Download Solution PDF

భావన :

పాక్షిక భిన్నం :

హారంలోని కారణా౦కాలు

సంబంధిత పాక్షిక భిన్నం

(x - a)

\(\frac{A}{{x - a}}\)

(x – b) 2

\(\frac{A}{{x - b}} + \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}\)

(x - a) (x - b)

\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\)

(x – c) 3

\(\frac{A}{{x - c}} + \frac{B}{{{{\left( {x - c} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x - c} \right)}^3}}}\)

(x – a) (x 2 – a)

\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{{Bx + C}}{{\left( {{x^2} - a} \right)}}\)

(ax2 + bx + c)

\(\frac{{Ax + B}}{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\)

గణన :

ఇక్కడ మనం \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\) విలువను కనుగొనాలి

\(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)

⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)

(1)కి రెండు వైపులా x = 0 పెట్టడం ద్వారా మనకు A = 1/2 వస్తుంది

(1)కి రెండు వైపులా x = - 2 పెట్టడం ద్వారా మనకు B = - 1/2 వస్తుంది

 

\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)

\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)

మనకు తెలిసినట్లుగా \(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\) ఇక్కడ C స్థిరాంకం

\(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) ఇక్కడ C అనేది స్థిరాంకం

\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)

\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)

వక్రరేఖ x = f(y), y-అక్షం మరియు y = a మరియు y = b అనే రెండు రేఖలతో చుట్టబడిన వ్యాసార్థం దీనికి సమానం:

  1. \(\int_a^b y \ dx\)
  2. \(\int_a^b y^2 \ dx\)
  3. \(\int_a^b x \ dy\)
  4. పైవేవీ కాదు

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\int_a^b x \ dy\)

Integral Calculus Question 11 Detailed Solution

Download Solution PDF

భావన:

x = a & x = b మధ్య y = f(x) వక్రరేఖ క్రింద ఉన్న వ్యాసార్థం (A) ద్వారా ఇవ్వబడింది,

A = \(\rm \displaystyle\int_a^b f(x) \ dx\)

లెక్కింపు:

ఇక్కడ, వక్రరేఖ x = f(y) మరియు రేఖలు y = a మరియు y = b

∴వ్యాసార్థం = \(\rm \int _a^bf(y)dy \cdots (\text{function is f(y)})\)

= \(\rm \displaystyle\int_a^b x \ dy\)

(∵ f(y) = x)

కాబట్టి, ఎంపిక (3) సరైనది.

y2 = 4ax అనే పరావలయం దాని నాభిలంబము ద్వారా పరిబద్ధమైన వైశాల్యం కనుగొనండి.

  1. \(\rm 4a^2\over3\)
  2. \(\rm 8a^2\over3\)
  3. \(\rm 10a^2\over3\)
  4. ఏదీకాదు.

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\rm 8a^2\over3\)

Integral Calculus Question 12 Detailed Solution

Download Solution PDF

భావన:

పరావలయం:

  • y2 = 4ax అనే పరావలయం యొక్క నాభి (a, 0) వద్ద ఉంటుంది.
  • y2 = 4ax అనే పరావలయం యొక్క నాభిలంబము పరావలయాన్ని (a, 2a) మరియు (a, -2a) వద్ద ఖండించింది.

 

వక్రరేఖ క్రింద వైశాల్యం:

  • x = a నుండి x = b వరకు y = f(x) ఫంక్షన్ మరియు x-అక్షం క్రింద వైశాల్యం \(\rm \left|\int_a^b f(x)\ dx\right|\) ఖచ్చిత సమాకలని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఇచ్చిన పరిధిలో x-అక్షం యొక్క ఒకే వైపున ఉన్న వక్రరేఖలకు.
  • వక్రరేఖలు x-అక్షం యొక్క రెండు వైపులా ఉంటే, మనం రెండు వైపులా వైశాల్యాలను వేరుగా లెక్కిస్తాము మరియు వాటిని కలుపుతాము.

 

గణన:

parabola

పరావలయం y2 = 4ax గ్రాఫ్ x-అక్షానికి సమమితిగా ఉన్నందున, కావలసిన వైశాల్యం:

2 x \(\rm \left|\int_0^{a} \sqrt{4ax}\ dx\right|\)

= 2 x 2√a \(\rm \int_0^{a} \sqrt x\ dx\)

= 2 x 2√a \(\rm \left[\frac{2}{3}x^{\tfrac32}\right]_0^{a}\)

= \(\rm {8\over3} \sqrt a\times a^{\tfrac32}\) = \(\rm 8a^2\over3\).

Additional Information:

నాభిలంబము అనేది నాభి గుండా వెళ్లి నియతరేఖ సమాంతరంగా ఉండే రేఖ.

|x|< 5, y = 0 మరియు y = 8తో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యం ఎంత ?

  1. 40 చదరపు యూనిట్లు
  2. 80 చదరపు యూనిట్లు
  3. 120 చదరపు యూనిట్లు
  4. 160 చదరపు యూనిట్లు

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 80 చదరపు యూనిట్లు

Integral Calculus Question 13 Detailed Solution

Download Solution PDF

భావన:

|x| < a ⇒ - a < x < a

x-అక్షం యొక్క సమీకరణం దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది: y = 0

y = a ≠ 0 మరియు a > 0 అయితే, y = a అనేది x-అక్షానికి సమాంతరంగా మరియు x-అక్షం పైన ఉన్న రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది.

y = a ≠ 0 మరియు a <0 అయితే, y = a అనేది x-అక్షానికి సమాంతరంగా మరియు x-అక్షం క్రింద ఉన్న రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది.

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: |x| < 5, y = 0 మరియు y = 8

దిగువ చిత్రంలో చూపిన విధంగా కో-ఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో పై సమీకరణాలను మరియు సమీకరణంలో ప్లాట్ చేయడం ద్వారా:

NDA-II-19-Math ( 26 to 120).docx 7

షేడెడ్ భాగం అందించిన సమీకరణాలు మరియు సమీకరణాల ద్వారా సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతాన్ని సూచిస్తుంది.

సరిహద్దు ప్రాంతం పొడవు l = 10 యూనిట్లు మరియు వెడల్పు b = 8 యూనిట్లతో దీర్ఘచతురస్రం అని మనం చూడవచ్చు.

⇒ సరిహద్దు ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యం = l × b = 10 × 8 = 80 చ. యూనిట్లు

\(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - kx + 1\)అయితే, f(0) = 0 మరియు f(3) = 15. k విలువను కనుగొనండి.

  1. 5 / 3
  2. 3 / 5
  3. – 5 / 3
  4. – 3 / 5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : – 5 / 3

Integral Calculus Question 14 Detailed Solution

Download Solution PDF

భావన:

ఏకీకరణ అనేది భేదం యొక్క విలోమ ప్రక్రియ కాబట్టి దీనిని వ్యతిరేక భేదం అంటారు.

అంటే g (x) = f'(x) అయితే \(\smallint g\left( x \right)\;dx = \smallint f'\left( x \right)\;dx = f\left( x \right) + C\)

\(\smallint \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)\;dx = \smallint f\left( x \right)\;dx + \smallint g\left( x \right)\;dx\)

\(\smallint a{x^n}\;dx = a \times \frac{{{x^{n\; + \;1}}}}{{n + 1}} + C\)

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - kx + 1\), f(0) = 0 మరియు f(3) = 15.

ఇప్పుడు, f’(x)ని ఏకీకృతం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \smallint f'\left( x \right)\;dx = \smallint \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - kx + 1} \right)\;dx\)

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \smallint \frac{{{x^2}}}{2}\;dx - k\smallint x\;dx + \;\smallint dx\)

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{6} - k \times \frac{{{x^2}}}{2} + x + C\)

అది ఇచ్చినట్లుగా, f(0) = 0 మరియు f(3) = 15.

\(\Rightarrow f\left( 0 \right) = C = 0\)

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{6} - k \times \frac{{{x^2}}}{2} + x\)

\(\Rightarrow f\left( 3 \right) = \frac{9}{2} - \frac{9}{2}\;k + 3 = 15\)

⇒ k = - 5/3

4y = 3x2 పరావలయాన్ని 2y = 3x + 12 సరళ రేఖ ద్వారా ఖండించిన ప్రాంతం

  1. 15 చ.యూనిట్లు 
  2. 18 చ.యూనిట్లు 
  3. 24 చ.యూనిట్లు 
  4. 27 చ.యూనిట్లు 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 27 చ.యూనిట్లు 

Integral Calculus Question 15 Detailed Solution

Download Solution PDF

భావన:

  • పరావలయం: పరావలయం అనేది అద్దం-సుష్టంగా మరియు దాదాపు U- ఆకారంలో ఉండే ఒక సమతల వక్రరేఖ.
  • పరావలయం యొక్క సాధారణ సమీకరణం: y = a(x - h)2 + k or x = a(y - k)2 + h, ఇక్కడ (h, k) శీర్షాన్ని సూచిస్తుంది.
  • సాధారణ పరావలయం యొక్క ప్రామాణిక సమీకరణం y2 = 4ax
  • సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం. y = m x + c, ఇక్కడ m అనేది వాలు మరియు c అనేది అంతరాయం.

గణనలు:

ఇవ్వబడిన పరావలయం 4y = 3xసరళ రేఖ 2y = 3x + 12 ద్వారా ఖండించబడుతుంది.

ఒక సమీకరణాన్ని మరొకదానిలో ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా పరావలయం మరియు సరళ రేఖ యొక్క ఖండన బిందువును కనుగొనండి

అంటే, 4y = 3x2లో 2y = 3x + 12, మనకు లభిస్తుంది

2(3x + 12)= 3x2

 x2 - 2x - 8 = 0

⇒ x = 4 లేదా -2 అనేవి x2 - 2x - 8 = 0 అనే వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు

ఇప్పుడు ఈ విలువలను సరళ రేఖ 2y = 3x + 12 సమీకరణంలో ఉంచడం వల్ల మనకు y విలువ వస్తుంది

అనగా, \(y=\frac{3x+12}{2}\)

దీనిలో x = 4 ఉంచండి, మనకు లభిస్తుంది

\(y=\frac{3(4)+12}{2}\)

⇒ y = 12

ఇప్పుడు, x = - 2ని సరళ రేఖ 2y = 3x + 12 సమీకరణంలో ఉంచితే మనకు y విలువ వస్తుంది

\(y=\frac{3(-2)+12}{2}\)

⇒ y = 3

అందువల్ల పారాబొలా మరియు సరళ రేఖ యొక్క ఖండన బిందువులు (-2, 3) మరియు (4, 12)

F1 Tapesh Madhuri 26.08.2021 D2

చివరగా, పైన ఉన్న రేఖాచిత్రంలో షేడెడ్ ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని మనం కనుగొనాలి అంటే, ప్రాంతం యొక్క అవసరమైన వైశాల్యం OABO యొక్క వైశాల్యం.

మరియు ఈ ప్రాంతం సరళ రేఖ 2y = 3x + 12 మరియు పారాబొలా 4y = 3x2 ద్వారా సరిహద్దులుగా ఉంటుంది.

సరళ రేఖ యొక్క y అక్షాంశాలు \(y=\frac{3x+12}{2}\) = f(x) మరియు పరావలయం \(y=\frac{3x^2}{4}\) = g(x)

కాబట్టి f(x) - g(x)ని ఏకీకృతం చేయడం ద్వారా మనం సరళ రేఖ మరియు వక్రరేఖ క్రింద ఉన్న ప్రాంతాన్ని పొందుతాము.

అందువలన, అవసరమైన ప్రాంతం

\(\int\limits_{-2}^4[{f(x)-g(x)]}dx\)

\(\int\limits_{-2}^4\bigg({\frac{3x+12}{2}-\frac{3x^2}{4}}\bigg)dx\)

దీన్ని సరళీకృతం చేయడం మరియు పరిమితులను పెట్టడం ద్వారా మనకు లభిస్తుంది,

= 27 చ.యూనిట్లు

కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఎంపిక 4).

Get Free Access Now
Hot Links: teen patti glory teen patti gold apk download teen patti noble