గరిష్ట మరియు కనిష్ట విలువలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Maxima and Minima - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన:

ఇచ్చినది, S = {x ∈ ℝ/x² + 30 ≤ 11x}

∴ x² + 30 ≤ 11x

⇒ x² - 11x + 30 ≤ 0

⇒ (x - 5)(x - 6) ≤ 0

⇒ x ∈ [5, 6]

ఇప్పుడు, f(x) = 3x³ - 18x² + 27x - 40

⇒ f'(x) = 9x² - 36x + 27

⇒ f'(x) = 9(x² - 4x + 3)

= 9[(x² - 4x + 4) - 1]

= 9(x - 2)² - 9

∴ f'(x) > 0 ∀x ∈ [5, 6]

∴ [5, 6] అంతరంలో f(x) క్రమంగా పెరుగుతుంది

∴ x ∈ [5, 6] అయినప్పుడు f(x) యొక్క గరిష్ట విలువ f(6)

= 122

∴ గరిష్ట విలువ 122.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.

భావన:

రెండవ ఉత్పన్న పరీక్ష: I అనే అంతరం మీద నిర్వచించబడిన ఒక ఫంక్షన్ f మరియు c ∈ I అనుకుందాం. c వద్ద f రెండుసార్లు డెరివేటివ్ చేయగలదు. అప్పుడు

• f ′(c) = 0 మరియు f ″(c) < 0 అయితే x = c స్థానిక గరిష్ఠ బిందువు. f యొక్క స్థానిక గరిష్ఠ విలువ f (c).
• f ′(c) = 0 మరియు f ″(c) > 0 అయితే x = c స్థానిక కనిష్ఠ బిందువు. ఈ సందర్భంలో, f (c) f యొక్క స్థానిక కనిష్ఠ విలువ.
• f ′(c) = 0 మరియు f ″(c) = 0 అయితే పరీక్ష విఫలమవుతుంది.

గణన:

ఇవ్వబడింది

f(x) = - \(\frac{3}{4}\)x4 - 8x3 - \(\frac{45}{2}\)x2 + 105

x కి సంబంధించి భేదం గురించి

⇒ f'(x) = -3x³ - 24x² - 45x

మళ్ళీ x కి సంబంధించి భేదం గురించి

⇒ f''(x) = -9x² - 48x - 45

ఇప్పుడు, స్థానిక కనిష్ఠ మరియు గరిష్ఠాల కోసం f'(x) = 0 ఇస్తుంది

⇒ -3x³ - 24x² - 45x = 0

⇒ -3x(x² + 8x + 15) = 0 ⇒ 3x(x + 3)(x + 5) = 0

⇒ x = 0, -3, -5

x = 0 వద్ద మనకు ఉంది

f''(0) = -45 < 0

కాబట్టి, x = 0 స్థానిక గరిష్ఠ బిందువు

x = -3 వద్ద , f''(-3) = 18 > 0

కాబట్టి, x = -3 స్థానిక కనిష్ఠ బిందువు

x = -5 వద్ద, f"(-5) = -30 < 0

కాబట్టి, x = -5 స్థానిక గరిష్ఠ బిందువు

∴ 3వ ఎంపిక సరైనది=nxn−1

గణన:

ఇచ్చినది, f(x) = \(\left(\frac{3}{x^2}\right)^x\), x > 0

⇒ ln f(x) = x[ln 3 - 2ln x]

⇒ f '(x) = f(x)[ln 3 - 2ln x - 2]

గరిష్ట విలువకు, f '(x) = 0

 f(x)[ln 3 - 2ln x - 2] = 0

⇒ ln 3 - 2ln x - 2 = 0

⇒ 2ln x = ln 3 - 2 = ln (\(\frac{3}{e^2}\))

⇒ x² = \(\frac{3}{e^2}\)

⇒ x = \(\frac{\sqrt{3}}{e}\)

∴ f(\(\frac{\sqrt{3}}{e}\)) = \(\left(\frac{3}{\frac{3}{e^2}}\right)^\frac{\sqrt{3}}{e}\) = \(\left(e^2\right)^\frac{\sqrt{3}}{e}\) = \(e^\frac{2\sqrt{3}}{e}\)

∴ స్థానిక గరిష్ట విలువ \(e^\frac{2\sqrt{3}}{e}\).

సరైన సమాధానం 3వ ఎంపిక .

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

\(\rm \frac{d}{dx} x^{n} = nx^{n - 1}\)

గణన:

f(x) = x3 + x2 + kx

f'(x) = 3x2 + 2x + k

శీర్షాలు లేకుండా, f తప్పనిసరిగా సున్నా మలుపులను కలిగి ఉండాలి, అంటే పైన ఉన్న చతురస్రాకారానికి అసలు మూలం లేదు.

22 - 4 × 3 × k < 0

4 - 12k <0

4 <12k

1 <3k

3k > 1

∴ f(x) = x3 + x2 + kxకి స్థానిక శీర్షం 3k > 1 లేదు అనే షరతు

ఉపయోగించిన సూత్రం:

• sin θ/cos θ = tan θ 
• cos θ/sin θ = cot θ 
• sin2θ + cos2θ = 1
• 2sin θ cos θ = sin 2θ

గణన:

\(f(x) = \frac{1}{\tan x+\cot x},\)    \(0 < x < \frac{\pi}{2}?\)

⇒ \(f(x) = \frac{1}{\tan x+\cot x},\)

⇒ \(f(x) = \frac{1}{\frac{sin x}{cosx}+\frac{cosx}{sinx}}\)

⇒ \(f(x) =\frac{sinx\ cosx}{sin^2x+cos^2x}\)

⇒ f(x) = sin x cos x (\(\frac{2}{2}\))    [∵ sin2θ + cos2θ = 1]  

⇒ f(x) = \(\frac{1}{2}\)sin 2x        [∵ 2sin θ cosθ = sin 2θ]

మనకు తెలుసు, -1 ≤ sin θ ≤ 1 

⇒  -1 ≤ sin 2x ≤ 1 

∴  f(x)max = \(\frac{1}{2}\)(1) = 1/2

భావన:

స్థిరమైన చుట్టుకొలత కలిగిన త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం సమబాహుగా ఉన్నప్పుడు గరిష్టంగా ఉంటుంది.

లెక్కింపు:

పైన పేర్కొన్న ప్రొపెర్టీ ని ఉపయోగించి, త్రిభుజం సమబాహుగా ఉన్నప్పుడు వైశాల్యం గరిష్టంగా ఉంటుంది.

త్రిభుజం ఎత్తు = \(\rm \frac{\sqrt3}{2}a=\frac{\sqrt3}{2}8=4\sqrt3\)సెం.మీ.

అదనపు సమాచారం

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం \(\rm\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) (హెరాన్ సూత్రం), ఇక్కడ s = (a + b + c)/2.

మేము ప్రాంతాన్ని గరిష్టీకరించడానికి ప్రయత్నిస్తున్నాము కాబట్టి, మేము s(s - a)(s - b)(s - c)ని పెంచడానికి ప్రయత్నిస్తున్నామని చెప్పవచ్చు.

s స్థిరాంకం (ఎందుకంటే చుట్టుకొలత స్థిర పరిమాణం) కాబట్టి, ఇది గరిష్టీకరించడం (s - a)(s - b)(s - c)కి సమానం.

(s - a) + (s - b) + (s - c) = 3s - (a + b + c) = 3s - 2s = s, ఇది స్థిరాంకం అని గమనించండి.

కాబట్టి, AM-GM అసమానత ద్వారా, ఉత్పత్తి xyz గరిష్టంగా ఉంటుంది, మొత్తం x + y + z స్థిరంగా ఉంటే, x = y = z.

∴ (s - a) = (s - b) = (s - c)

⇒ a = b = c, లేదా త్రిభుజం సమబాహుగా ఉంటుంది.

భావన:

గరిష్ట మరియు కనిష్టాన్ని కనుగొనడానికి దశలు

1. \(\rm \dfrac {dy}{dx}\) ని కనుగొనండి మరియు సున్నాకి సమానం చేయండి

2. x విలువను అంటే నిపుణ బిందువును కనుగొనండి

3. గరిష్ట విలువ కోసం మనం బిందువు వద్ద f(x) విలువను పొందడానికి f(x)లో xని ఉంచుతాము.

గణన:

ఇవ్వబడింది, f(x) = \(\rm \left(\dfrac{1}{x}\right)^x\)

పరిగణించండి, y = \(\rm \left(\dfrac{1}{x}\right)^x\)

ఇరువైపులా log ని తీసుకొనగా, మనం పొందుతాము 

ln y = x ln(\(\rm \dfrac 1 x\))

⇒ln y = -x ln x

⇒\(\rm \dfrac {dy}{dx}= -ln\; x -1\)

 \(\rm \dfrac {dy}{dx} = 0\) కి సమానం చేయండి

⇒\(\rm -ln\; x -1 = 0\)

⇒ x = \(\dfrac 1 e\)

కాబట్టి, గరిష్ట విలువ కోసం మనం బిందువు వద్ద f(x) విలువను పొందడానికి f(x)లో x = \(\dfrac 1 e\)ని ఉంచుతాము.

f(x) = e1/e

కావున, \(\rm \left(\dfrac{1}{x}\right)^x\) యొక్క గరిష్ట విలువ e1/e

భావన:

అవకలన సూత్రం

\(\rm \frac{d}{dx} \sin x = \cos x\)

\(\rm \frac{d}{dx} \sin ax = a\cos ax\)

గణన:

f(x) = k sin x + \(\rm \frac{1}{3}\)sin 3x

⇒ f’(x) = k cos x + cos 3x 

⇒ f’(\(\rm \frac{\pi}{3}\)) = k cos (\(\rm \frac{\pi}{3}\)) + cos (π) = 0

⇒ \(\rm \frac{k}{2}\) – 1 = 0

⇒ k – 2 = 0

⇒ k = 2

∴ k యొక్క విలువ 2.

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

\(\rm \frac{d}{dx} x^{n} = nx^{n - 1}\)

గణన:

f(x) = x3 + x2 + kx

f'(x) = 3x2 + 2x + k

శీర్షాలు లేకుండా, f తప్పనిసరిగా సున్నా మలుపులను కలిగి ఉండాలి, అంటే పైన ఉన్న చతురస్రాకారానికి అసలు మూలం లేదు.

22 - 4 × 3 × k < 0

4 - 12k <0

4 <12k

1 <3k

3k > 1

∴ f(x) = x3 + x2 + kxకి స్థానిక శీర్షం 3k > 1 లేదు అనే షరతు

భావన:

f'(x) = 0 అయ్యే బిందువులను సందిగ్ధ విలువలు అంటారు.

సందిగ్ధ బిందువు వద్ద, f''(x) > 0 అయితే ప్రమేయం కనిష్ఠ విలువను కలిగి ఉంటుంది.

f''(x) < 0 అయితే ప్రమేయం గరిష్ఠ విలువను కలిగి ఉంటుంది.

గణన:

ఇచ్చినది, f (x) = \(\left\{\begin{array}{cc} x^3+x^2+10 x, & x<0 \\ -3 \sin x, & x ≥ 0 \end{array}\right.\)

x ≥ 0 కు

f(x) = − 3sin x

⇒ f '(x) = − 3cos x

⇒ f '(0) = -3

x < 0 కు, f (x) = x³ + x² + 10x

⇒ f '(x) = 3x² + 2x + 10

⇒ f '(0) = 10

⇒ x < 0 కు f '(x) > 0 మరియు x ≥ 0 కు f '(x) < 0

⇒ f (x) కు x = 0 వద్ద గరిష్ఠ విలువ ఉంటుంది.

∴ x = 0 వద్ద, గరిష్ఠ బిందువు ఉంది.

సరైన సమాధానం 1వ ఎంపిక.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

• sin θ/cos θ = tan θ 
• cos θ/sin θ = cot θ 
• sin2θ + cos2θ = 1
• 2sin θ cos θ = sin 2θ

గణన:

\(f(x) = \frac{1}{\tan x+\cot x},\)    \(0 < x < \frac{\pi}{2}?\)

⇒ \(f(x) = \frac{1}{\tan x+\cot x},\)

⇒ \(f(x) = \frac{1}{\frac{sin x}{cosx}+\frac{cosx}{sinx}}\)

⇒ \(f(x) =\frac{sinx\ cosx}{sin^2x+cos^2x}\)

⇒ f(x) = sin x cos x (\(\frac{2}{2}\))    [∵ sin2θ + cos2θ = 1]  

⇒ f(x) = \(\frac{1}{2}\)sin 2x        [∵ 2sin θ cosθ = sin 2θ]

మనకు తెలుసు, -1 ≤ sin θ ≤ 1 

⇒  -1 ≤ sin 2x ≤ 1 

∴  f(x)max = \(\frac{1}{2}\)(1) = 1/2

భావన:

స్థిరమైన చుట్టుకొలత కలిగిన త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం సమబాహుగా ఉన్నప్పుడు గరిష్టంగా ఉంటుంది.

లెక్కింపు:

పైన పేర్కొన్న ప్రొపెర్టీ ని ఉపయోగించి, త్రిభుజం సమబాహుగా ఉన్నప్పుడు వైశాల్యం గరిష్టంగా ఉంటుంది.

త్రిభుజం ఎత్తు = \(\rm \frac{\sqrt3}{2}a=\frac{\sqrt3}{2}8=4\sqrt3\)సెం.మీ.

అదనపు సమాచారం

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం \(\rm\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) (హెరాన్ సూత్రం), ఇక్కడ s = (a + b + c)/2.

మేము ప్రాంతాన్ని గరిష్టీకరించడానికి ప్రయత్నిస్తున్నాము కాబట్టి, మేము s(s - a)(s - b)(s - c)ని పెంచడానికి ప్రయత్నిస్తున్నామని చెప్పవచ్చు.

s స్థిరాంకం (ఎందుకంటే చుట్టుకొలత స్థిర పరిమాణం) కాబట్టి, ఇది గరిష్టీకరించడం (s - a)(s - b)(s - c)కి సమానం.

(s - a) + (s - b) + (s - c) = 3s - (a + b + c) = 3s - 2s = s, ఇది స్థిరాంకం అని గమనించండి.

కాబట్టి, AM-GM అసమానత ద్వారా, ఉత్పత్తి xyz గరిష్టంగా ఉంటుంది, మొత్తం x + y + z స్థిరంగా ఉంటే, x = y = z.

∴ (s - a) = (s - b) = (s - c)

⇒ a = b = c, లేదా త్రిభుజం సమబాహుగా ఉంటుంది.

భావన:

•  మాడ్యులస్ ఫంక్షన్‌లోని ఎంటిటీ పాజిటివ్‌గా ఉంటే, మాడ్యులస్ ఫంక్షన్ పాజిటివ్‌గా తెరవబడుతుంది, లేకపోతే మాడ్యులస్ ఫంక్షన్ నెగిటివ్‌గా ఉండకూడదు కాబట్టి మొత్తం పాజిటివ్‌గా చేయడానికి నెగటివ్ గుర్తును తీసుకోవడం ద్వారా తెరవబడుతుంది.

లెక్కింపు

ఇచ్చిన:

• f(x) = | x2 - 3x -4 | 
• -1 ≤ x ≤ 4కి మాడ్యులస్ ఫంక్షన్‌లోని ఫంక్షన్ (x2- 3x - 4 ) ధనాత్మకంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేయడానికి,
• ∵ x2- 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)
• ఇక్కడ ఇచ్చిన ఫంక్షన్ కోసం విలోమ బిందువులు -1 మరియు 4 ఈ ఫంక్షన్ దాని గుర్తును మారుస్తుంది.
• 
•  
• ⇒ కోసం -1 ≤ x ≤ 4, x2 - 3x - 4 ≤  0.
• కాబట్టి, ప్రతికూల గుర్తును తీసుకోవడం ద్వారా మాడ్యులస్ ఫంక్షన్ తెరవబడుతుంది.
• ∴ f(x) = - (x2 - 3x -4) = (4 - x)(x + 1)      ...(1)
•  
• గరిష్ట మరియు కనిష్ట విలువల కోసం, సమీకరణం 1ని ఉపయోగించి,
• -1 ≤ x ≤ 4లో f(x) నిరంతరాయంగా ఉన్నందున, x యొక్క ఈ విలువలకు ఇది భేదాత్మకంగా ఉంటుంది,
• ∴ f(x) = - (x2 - 3x -4)
• ⇒ f'(x) = 3 - 2x = 0
• ⇒ x = ϵ [-1, 4]
• ⇒ f''(x) = - 2 < 0 కోసం x = 3/2 =1.5
• కాబట్టి x = 1.5 వద్ద ఫంక్షన్ గరిష్టంగా ఉంటుంది మరియు దాని గరిష్ట విలువ f(1.5) అవుతుంది.
• ⇒ ⇒ f(3/2) = | 1.52 - 3 × 1.5  - 4 |
•  ⇒ f(3/2) = 6.25
• కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఎంపిక 1 అవుతుంది.